高中滿分數列題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.9B.10C.11D.122.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=3\)，則\(a_3\)是（）A.18B.16C.14D.123.數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=3n-1\)，則\(a_4\)為（）A.10B.11C.12D.134.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_2\)等于（）A.3B.4C.5D.65.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=4\)，\(a_4=16\)，則公比\(q\)為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.46.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=2\)，\(a_1=1\)，則\(a_3\)是（）A.5B.4C.3D.27.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，則\(a_4\)的值為（）A.5B.6C.7D.88.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=4\)，則\(a_2\)為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.39.數列\(\{a_n\}\)的通項\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，則\(a_2\)是（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{2}\)10.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(S_5=25\)，則\(a_3\)的值是（）A.5B.6C.7D.8二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于等差數列的有（）A.\(1,3,5,7\)B.\(2,4,8,16\)C.\(5,5,5,5\)D.\(1,2,3,5\)2.等比數列的性質正確的有（）A.\(a_m\cdota_n=a_{m+n}\)B.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}\)C.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)D.\(S_n\)為前\(n\)項和，\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}\)成等比數列3.已知等差數列\(\{a_n\}\)，公差\(d\gt0\)，則（）A.\(a_{n+1}\gta_n\)B.數列單調遞增C.\(a_1\lta_2\)D.\(a_n\)可能為常數數列4.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，公比\(q=2\)，下列正確的是（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(a_4=8\)D.\(a_5=16\)5.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\)，\(a_1=1\)，則（）A.數列是等比數列B.\(a_2=2\)C.\(a_3=4\)D.通項公式\(a_n=2^{n-1}\)6.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+n\)，則（）A.\(a_1=2\)B.\(a_2=4\)C.\(a_3=6\)D.公差\(d=2\)7.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_4=8\)，則（）A.公比\(q=2\)B.公比\(q=-2\)C.\(a_1=1\)D.\(a_3=4\)8.數列\(\{a_n\}\)通項\(a_n=2n+1\)，則（）A.是等差數列B.公差\(d=2\)C.\(a_1=3\)D.\(a_5=11\)9.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則（）A.公差\(d=2\)B.\(a_2=3\)C.\(a_4=7\)D.\(S_3=9\)10.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=9\)，\(a_5=81\)，則（）A.公比\(q=3\)B.公比\(q=-3\)C.\(a_1=1\)D.\(a_4=27\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.數列\(1,2,3,4,5\)是等差數列。（）2.等比數列的公比可以為\(0\)。（）3.等差數列\(\{a_n\}\)中，若\(a_3=5\)，則\(S_5=25\)。（）4.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=a_n+1\)，則是等差數列。（）5.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_2^2=a_1\cdota_3\)一定成立。（）6.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=An^2+Bn\)（\(A\)、\(B\)為常數）。（）7.數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=2^n\)是等比數列。（）8.等比數列\(\{a_n\}\)中，公比\(q\gt1\)時，數列單調遞增。（）9.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_5=a_2+a_4\)。（）10.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=3a_n\)，\(a_1=1\)，則\(a_3=9\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_n\)。答案：根據等差數列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，將\(a_1=2\)，\(d=3\)代入得\(a_n=2+3(n-1)=3n-1\)。2.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=9\)，求公比\(q\)。答案：由等比數列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，\(a_3=a_1q^2\)，把\(a_1=1\)，\(a_3=9\)代入得\(q^2=9\)，所以\(q=\pm3\)。3.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2-2n\)，求\(a_1\)和\(a_2\)。答案：當\(n=1\)時，\(a_1=S_1=1^2-2\times1=-1\)；當\(n=2\)時，\(S_2=2^2-2\times2=0\)，\(a_2=S_2-S_1=0-(-1)=1\)。4.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=4\)，\(a_4=16\)，求\(a_3\)。答案：因為\(a_3^2=a_2\cdota_4\)，將\(a_2=4\)，\(a_4=16\)代入得\(a_3^2=4\times16=64\)，所以\(a_3=\pm8\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數列與一次函數的關系。答案：等差數列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)\)，與一次函數\(y=kx+b\)形式相似。當\(d\neq0\)時，\(a_n\)的圖象是直線\(y=dx+(a_1-d)\)上的孤立點；\(d=0\)時，\(a_n\)為常數列。2.等比數列的前\(n\)項和公式在\(q=1\)和\(q\neq1\)時不同，如何理解這種差異？答案：當\(q=1\)時，等比數列是常數列，前\(n\)項和\(S_n=na_1\)；\(q\neq1\)時，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)。\(q=1\)時數列各項相同，求和只需乘項數；\(q\neq1\)時需用錯位相減法推導公式來求和。3.如何根據數列的前幾項判斷是等差數列還是等比數列？答案：計算相鄰兩項的差，若差都相等，則可能是等差數列；計算相鄰兩項的比，若比值都相等，則可能是等比數列。但僅通過前幾項