高中數(shù)列性質(zhì)題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.42.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=2\)，\(a_{4}=8\)，則公比\(q\)為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.43.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{1}=1\)，\(S_{3}=9\)，則\(a_{3}\)為（）A.3B.4C.5D.64.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}a_{5}=16\)，則\(a_{4}\)的值為（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.85.數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{n+1}=a_{n}+3\)，\(a_{1}=2\)，則\(a_{5}\)為（）A.14B.16C.18D.206.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}+a_{5}=10\)，\(a_{4}=7\)，則\(a_{n}\)的通項公式為（）A.\(a_{n}=2n-1\)B.\(a_{n}=3n-2\)C.\(a_{n}=4n-3\)D.\(a_{n}=n+3\)7.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}a_{6}=16\)，則\(a_{4}\)的值為（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.88.數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}\)，則\(a_{5}\)的值為（）A.9B.11C.13D.159.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{3}+a_{7}=10\)，則\(a_{5}\)的值為（）A.5B.6C.7D.810.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=8\)，則\(a_{2}\)的值為（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.6二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的性質(zhì)正確的有（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)B.\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等差數(shù)列C.公差\(d\gt0\)時，數(shù)列遞增D.\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的性質(zhì)正確的有（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)B.\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等比數(shù)列（\(q\neq-1\)）C.公比\(q\gt1\)時，數(shù)列遞增D.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)3.以下關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A.常數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列B.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=a_{m}+(n-m)d\)C.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=a_{m}q^{n-m}\)D.數(shù)列的通項公式唯一4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{7}=13\)，則（）A.公差\(d=2\)B.\(a_{1}=1\)C.\(a_{5}=9\)D.\(S_{5}=25\)5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=4\)，\(a_{4}=16\)，則（）A.公比\(q=2\)B.\(a_{1}=2\)C.\(a_{3}=8\)D.\(S_{3}=14\)6.下列數(shù)列是等差數(shù)列的有（）A.\(1,3,5,7,\cdots\)B.\(2,4,8,16,\cdots\)C.\(5,5,5,5,\cdots\)D.\(1,-1,1,-1,\cdots\)7.下列數(shù)列是等比數(shù)列的有（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(3,3,3,3,\cdots\)D.\(1,2,4,7,\cdots\)8.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=An^{2}+Bn\)，則（）A.\(a_{1}=A+B\)B.\(d=2A\)C.\(S_{2}=4A+2B\)D.\(a_{n}=2An+B-A\)9.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=256\)，\(q=2\)，則（）A.\(n=9\)B.\(S_{n}=511\)C.\(a_{5}=16\)D.\(a_{3}=4\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{n+1}-a_{n}=2\)，\(a_{1}=1\)，則（）A.\(a_{n}=2n-1\)B.\(S_{n}=n^{2}\)C.\(a_{5}=9\)D.數(shù)列是等差數(shù)列三、判斷題（每題2分，共10題）1.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\gt0\)，\(d\lt0\)，則數(shù)列遞減。（）2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(q=-1\)，則\(S_{n}=0\)（\(n\)為偶數(shù)）。（）3.常數(shù)列\(zhòng)(a_{n}=c\)（\(c\neq0\)）既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。（）4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項公式一定是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)。（）5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\gt0\)，\(q\gt1\)，則數(shù)列遞增。（）6.數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}+n\)，則\(a_{n}=2n\)。（）7.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{m}\)，\(a_{m+k}\)，\(a_{m+2k}\)（\(k\)為常數(shù)）成等差數(shù)列。（）8.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{m}\)，\(a_{m+k}\)，\(a_{m+2k}\)（\(k\)為常數(shù)）成等比數(shù)列。（）9.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項公式\(a_{n}=(-1)^{n}\)，則\(S_{100}=0\)。（）10.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(S_{n}\)是前\(n\)項和，若\(S_{n}=S_{m}\)（\(n\neqm\)），則\(S_{n+m}=0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{n}\)與\(S_{n}\)。答案：\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1\)；\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d=2n+\frac{3n(n-1)}{2}=\frac{3n^{2}+n}{2}\)。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(q=2\)，求\(a_{n}\)與\(S_{n}\)。答案：\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2^{n-1}\)；\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}-n\)，求\(a_{n}\)。答案：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}=0\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-n-[(n-1)^{2}-(n-1)]=2n-2\)，\(n=1\)時也滿足，所以\(a_{n}=2n-2\)。4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}+a_{7}=10\)，\(a_{5}=6\)，求公差\(d\)。答案：因為\(a_{3}+a_{7}=2a_{5}\)（等差數(shù)列性質(zhì)），已知\(a_{3}+a_{7}=10\)，\(a_{5}=6\)，矛盾，本題無解。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用場景。答案：等差數(shù)列在生活中如每月固定增加的水電費、逐年等額遞增的工資等。等比數(shù)列如定期復(fù)利的存款利息、細胞分裂數(shù)量等。它們都能幫助分析有規(guī)律變化的數(shù)量關(guān)系，進行預(yù)測和決策。2.探討如何根據(jù)數(shù)列的前幾項判斷它是等差數(shù)列還是等比數(shù)列。答案：若相鄰兩項的差相等，即\(a_{n+1}-a_{n}\)為常數(shù)，則是等差數(shù)列；若相鄰兩項的比相等，即\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\)為常數(shù)，則是等比數(shù)列。但要注意前幾項的規(guī)律不一定能代表整個數(shù)列，需進一步驗證。3.分析數(shù)列的通項公式與前\(n\)項和公式之間的聯(lián)系。答案：由通項公式\(a_{n}\)可通過\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)求前\(n\)項和公式；已知\(S_{n}\)，當(dāng)\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}\)，\(n\geq2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)，可求通項公式。二者相互關(guān)聯(lián)，能全面描述數(shù)列性質(zhì)。4.說一說在學(xué)習(xí)數(shù)列性質(zhì)過程中遇到的困難及解決方法。答案：困難如性質(zhì)易混淆，應(yīng)用時找不到思路。解決方法是對比記憶等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)，多做不同類型練習(xí)題，總結(jié)解題規(guī)律，遇到難題分析已知條件與性質(zhì)的聯(lián)系，