第2課時正方形的判定過教材要點概覽1.正方形的判定(1)有一組鄰邊

的矩形是正方形;

(2)對角線互相

的矩形是正方形;

(3)有一個角是

角的菱形是正方形;

(4)對角線

的菱形是正方形.

如圖所示.相等垂直直相等2.中點四邊形的形狀(1)任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形;(2)對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形;(3)對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形;(4)對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形.精講練新知探究探究點一正方形的判定定理例1

如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F在對角線BD上,且BE=DF,OE=OA.求證:四邊形AECF是正方形.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OE=OF,∴四邊形AECF是菱形.∵OE=OA,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC,∴四邊形AECF是正方形.歸納總結判定正方形的基本思路(1)先證明四邊形是矩形,再說明鄰邊相等或對角線垂直;(2)先證明四邊形是菱形,再說明有一個角是直角或對角線相等.鞏固訓練1.添加下列一個條件,能使矩形ABCD成為正方形的是()A.AB=CD B.AC⊥BDC.∠BAD=90° D.AC=BDB2.如圖所示,在菱形ABCD中,E,F在BD上,∠ABC=45°,BE=DF=AE.求證:四邊形AECF是正方形.探究點二中點四邊形的形狀例2

在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,AC⊥BD,AC=BD,判斷四邊形EFGH的形狀并說明理由.解:四邊形EFGH是正方形.理由如下:∵點E,F,G,H分別為四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,∴EF∥AC,GH∥AC,FG∥BD,EH∥BD,即EF∥GH,FG∥EH.∴四邊形EFGH為平行四邊形.鞏固訓練3.如圖所示,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,若四邊形EFGH為矩形,則對角線AC與BD的位置關系是

.AC⊥BD4.如圖所示,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.要使四邊形EFGH是正方形,則BD,AC應滿足的條件是

.BD=AC且BD⊥AC5.如圖所示,在四邊形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,求EG2+FH2的值.∴EH=EF=GH=FG=3,∴四邊形EFGH為菱形,∴EG⊥HF,設垂足為點O,∴EG=2OE,FH=2OH.在Rt△OEH中,根據勾股定理,得OE2+OH2=EH2=9.等式兩邊同時乘4,得4OE2+4OH2=9×4=36,∴(2OE)2+(2OH)2=36,即EG2+FH2=36.第2課時正方形的判定基礎鞏固練011.如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,添加下列條件,能使菱形ABCD成為正方形的是()A.AC=BD B.AC⊥BDC.AD=AB D.AC平分∠DABA2.若順次連接四邊形ABCD四邊中點所得的四邊形是正方形,則四邊形ABCD一定滿足()A.是正方形

B.AB=CD且AB∥CDC.是矩形

D.AC=BD且AC⊥BDD3.如圖所示,AD是△ABC的一條角平分線,DE∥AC交AB于點E,DF∥AB交AC于點F,當∠BAC=

時,四邊形AEDF是正方形.90°4.如圖所示,在矩形ABCD內有一點F,BF與CF分別平分∠ABC和∠BCD,點E為矩形ABCD外一點,連接BE,CE.現添加下列條件:①EB∥CF,CE∥BF;②BE=CE,BE=BF;③BE∥CF,CE⊥BE;④BE=CE,CE∥BF.其中能判定四邊形BECF是正方形的有

(填序號).①②③④5.如圖所示,順次延長正方形ABCD的各邊AB,BC,CD,DA至點E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH.求證:四邊形EFGH是正方形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG.又∵BE=CF=DG=AH,∴CG=DH=AE=BF.∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE.∴EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA.∴四邊形EFGH為菱形.∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,∴∠FEB+∠HEA=90°,即∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形.能力提升練026.如圖所示,AC,BD是四邊形ABCD的對角線,點E,F分別是AD,BC的中點,點M,N分別是AC,BD的中點,連接EM,MF,FN,NE,要使四邊形EMFN為正方形,則需添加的條件是()A.AB=CD,AB⊥CD B.AB=CD,AD=BCC.AB=CD,AC⊥BD D.AB=CD,AD∥BCA題組正方形中的45°角

7.如圖所示,在正方形ABCD中,E,F為AD,CD上的點,若∠EBF=45°,△DEF周長為2,則AD的長為()

A.1 B.2 C.3 D.4A8.如圖所示,在正方形ABCD中,點E為BC的中點,F為AB上一點,AE,CF交于點O.若AB=6,∠AOF=45°,則BF的長為

.29.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是一個正方形?請給出證明.又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°.∴四邊形ADCE為矩形.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°.∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°.∴DC=AD.∴矩形ADCE是正方形.∴當∠BAC=90°時,四邊形ADCE是一個正方形.素養培優練03證明:(1)如圖所示,過點E作EM⊥BC于點M,EN⊥CD于點N,∴∠MEN=90°.∵點E是正方形ABCD對