大學(xué)高數(shù)題目題庫及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.44.不定積分\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)5.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=1\)和\(x=-1\)D.\(x=0\)6.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(4x\)7.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.28.函數(shù)\(y=e^x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\lnx\)B.\(y=-\lnx\)C.\(y=e^{-x}\)D.\(y=-e^x\)9.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小10.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)與\(\int_{a}^{b}f(t)dt\)（）A.相等B.不相等C.互為相反數(shù)D.無法確定多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.以下哪些是求導(dǎo)的基本公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)B.極限\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在C.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)D.函數(shù)在\(x_0\)處有定義4.下列積分中，哪些是定積分（）A.\(\int_{1}^{2}x^2dx\)B.\(\intx^2dx\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx\)5.以下哪些是函數(shù)取得極值的可能點（）A.駐點B.不可導(dǎo)點C.區(qū)間端點D.函數(shù)值為0的點6.關(guān)于不定積分，正確的有（）A.\(\intkdx=kx+C\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)）C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)D.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)7.下列說法正確的是（）A.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)B.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積C.可積函數(shù)一定有界D.有界函數(shù)一定可積8.函數(shù)\(y=f(x)\)的圖像的漸近線可能有（）A.水平漸近線B.垂直漸近線C.斜漸近線D.不存在漸近線9.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)（\(x>0\)）D.\(y=2x+1\)10.關(guān)于定積分的性質(zhì)，正確的有（）A.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geq0\)在\([a,b]\)上成立，則\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0\)判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)處處連續(xù)。（）2.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號無關(guān)。（）4.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減。（）5.不定積分\(\intf^\prime(x)dx=f(x)\)。（）6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積。（）7.曲線\(y=\sinx\)的周期是\(2\pi\)。（）8.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）9.兩個無窮小的和一定是無窮小。（）10.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，得\(0<x<2\)，此為單調(diào)減區(qū)間。2.計算不定積分\(\int\frac{1}{x^2}dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），這里\(n=-2\)，則\(\int\frac{1}{x^2}dx=\intx^{-2}dx=-\frac{1}{x}+C\)。3.求\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：對原式化簡，\(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\)（\(x\neq1\)），當(dāng)\(x\to1\)時，極限為\(1+1=2\)。4.已知函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=2x\)，且\(f(0)=1\)，求\(f(x)\)。答案：由\(f^\prime(x)=2x\)積分得\(f(x)=x^2+C\)，將\(x=0\)，\(f(0)=1\)代入，得\(1=0+C\)，所以\(C=1\)，則\(f(x)=x^2+1\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖像特征。答案：定義域為\(x\neq1\)。當(dāng)\(x\to1^+\)，\(y\to+\infty\)；\(x\to1^-\)，\(y\to-\infty\)，有垂直漸近線\(x=1\)。當(dāng)\(x\to\pm\infty\)，\(y\to0\)，有水平漸近線\(y=0\)。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。2.定積分和不定積分有哪些聯(lián)系與區(qū)別？答案：聯(lián)系：定積分計算常通過求不定積分得到原函數(shù)后用牛頓-萊布尼茨公式計算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果帶常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)，計算結(jié)果無常數(shù)\(C\)。3.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性？答案：先求函數(shù)\(f(x)\)的二階導(dǎo)數(shù)\(f^{\prime\prime}(x)\)。若在某區(qū)間內(nèi)\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，則函數(shù)在該區(qū)間是凹的；若\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，則函數(shù)在該區(qū)間是凸的。4.舉例說明無窮小的性質(zhì)在極限計算中的應(yīng)用。答案：比如\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)，因為\(\sin\frac{1}{x}\)有界，\(x\)是\(x\to0\)時的無窮小，根據(jù)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，所以該極限值為\(0\)。答案單