乘法公式【要點(diǎn)梳理】兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.【典型例題】代數(shù)篇1．已知a2+b2+c2A．4 B．-4 C．8 D．-8【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性等，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．先將a2+b2+c2=2a-4b+6c-14變形化為【詳解】解：∵a2∴aa-12∵a-12∴a-1=0,b+2=0,c-3=0，解得：a=1,b=-2,c=3，∴abc故選：D．2.如果關(guān)于x的整式9x2-2m-1x+【答案】2或-1【分析】本題考查完全平方式，根據(jù)9x2-【詳解】解：∵9x∴9x∴2m-1=±2×3×1∴m=2或m=-1；故答案為：2或-1．3.若x，y是自然數(shù)，且滿足x2+y2【答案】2或4【分析】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)完全平方公式變形，再結(jié)合x，y是自然數(shù)討論即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2∴x-22∵x，y是自然數(shù)，∴x-22=0y-12=1或∴x-2=0，y-1=1，或x-2=0，y-1=-1，x-2=1，y-1=0，或x-2=-1，y-1=0，．當(dāng)x-2=0，y-1=1，時(shí)，解得：x=2，y=2，x+y=2+2=4，當(dāng)x-2=0，y-1=-1，時(shí)，解得：x=2，y=0，x+y=2+0=2，當(dāng)x-2=1，y-1=0，時(shí)，解得：x=3，y=1，x+y=3+1=4，當(dāng)x-2=-1，y-1=0，時(shí)，解得：x=1，y=1，x+y=1+1=2，故答案為：2或4．4.已知(x-2023)2+(x-2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【答案】B【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意巧妙構(gòu)造(x-2024)2【詳解】解：已知(x-2023)2則[(x-2024)+1]2那么(x-2024)2整理得：2(x-2024)則(x-2024)2故選：B．5.某同學(xué)在計(jì)算3(4+1)(42+1)時(shí)，把3寫成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算：3(4+1)(4【答案】2【分析】本題考查平方差公式，將原式乘以2×1-【詳解】解：1+=2×=2×=2-=2，故答案為：2．6.下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）A．x+yx+y2 BC．x+y-x-y D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，根據(jù)整式乘法及平方差公式逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、x+yx+yB、x+yy-xC、x+y-x-yD、-x+yy-x故選：B．＝－1＋1＝．9.先化簡，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．【答案】∵|m﹣1|+（n+）2=0，∴m﹣1=0，n+=0，∴m=1，n=﹣，∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）=m4n2﹣1==1×﹣1==﹣．10、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：12、觀察下列各式：(x-1)(x+1)=x(x-1)(x(x-1)(x…根據(jù)規(guī)律計(jì)算：22022-2A．22023-23 B．2【答案】A【分析】根據(jù)題中規(guī)律每一個(gè)式子的結(jié)果等于兩項(xiàng)的差，被減數(shù)的指數(shù)比第二個(gè)因式中第一項(xiàng)大1，減數(shù)都為1，即可得到規(guī)律為(x-1)(xn+xn-1本題考查了平方差公式、及數(shù)字類的規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀，總結(jié)規(guī)律，并利用規(guī)律解決問題．【詳解】解：由(x-1)(x+1)=x(x-1)(x(x-1)(x…觀察發(fā)現(xiàn)：(x-1)(x當(dāng)x=-2，n=2022時(shí)，得(-2-1)(2∴22022∴22022故選：A．幾何篇1.“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”在如圖的三角形中，一條中線將一個(gè)三角形分為面積相等的兩部分，在此基礎(chǔ)上再作一條中線，可得到原三角形一半面積的一半，即14，已知12+A．1 B．1-1C．1+1299 D【答案】結(jié)合圖形可知：121212……12則：12故選：B．2.為了美化校園，學(xué)校把一個(gè)邊長為ama>4的正方形跳遠(yuǎn)沙池的一組對邊各增加1m，另一組對邊各減少1A．變小 B．變大 C．沒有變化 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示變化前后的面積是正確解答的前提．用代數(shù)式表示變化前后的面積，比較得出答案．【詳解】解：由題意得正方形跳遠(yuǎn)沙池的面積為a2m2因?yàn)閍2所以沙池的面積會變小．故選：A．3.霍州鼓樓位于山西霍州市城內(nèi)中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結(jié)構(gòu)外表是明二假三層，它的間架結(jié)構(gòu)復(fù)雜新穎、巧妙結(jié)合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結(jié)合的連接方式——榫卯（sǔnmǎo）結(jié)構(gòu)，精密謹(jǐn)嚴(yán)天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個(gè)榫卯結(jié)構(gòu)的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個(gè)長為2a+bcm，寬為2a-bcm的長方形，中間鑿掉一個(gè)邊長為acm【答案】3【分析】本題考查了整式混合運(yùn)算和平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；根據(jù)零部件體積=（長方形的面積-和小正方形的面積）×零件的高，列式，然后運(yùn)用整式混合運(yùn)算法則和平方差公式即可解答．【詳解】由題意得，這個(gè)零部件的體積是a=a=a=3答：這個(gè)零件體積為3a4.用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式．(1)【知識探究】如圖1，是用長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線均分成四個(gè)小長方形，然后按照圖2拼成一個(gè)正方形，可以得到(a-b)2、(a+b)2、ab三者之間的等量關(guān)系式：(2)【知識遷移】類似的，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)等式，如圖3，觀察大正方體分割，寫出可以得到的等式_______________；若a+b=6，ab=7，求a3(3)【拓展探究】如圖4，兩個(gè)正方形ABCD、CEFG的邊長分別為x，yx>y若這兩個(gè)正方形的面積之和為34，且BE=8【答案】(1)(a+b)(2)(a+b)3=(3)31【分析】本題考查完全平方公式的幾何意義，注意掌握并能夠由面積相等并過渡到利用體積相等推導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵．（1）由題意利用面積相等推導(dǎo)公式：(a+b)2（2）由題意利用體積相等推導(dǎo)a+b3=a3+（3）由圖可知x2+y2=34，x+y=8．求得xy=15，由此即可解題．【詳解】（1）解：由圖可知：邊長為(a+b)的大正方形由四個(gè)邊長為a、b的長方形和一個(gè)邊長為(a-b)正方形組成，(a+b)知識生成：(a+b)2=故答案為：(a+b)2（2）正方體棱長為a+b，∴體積為a+b3∵正方體體積是長方體和小正方體的體積和，即a3+b3+3a∴a+b3∴a3∵a+b=6，ab=7，∴a（3）有圖可知：x2+y∴2xy=(x+y)∴(x-y)2=x∵x>y，∴x-y=2，圖中陰影部分的面積=====狀．6.（1）通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．如圖1，有四張長為b、寬為a的長方形紙片按如圖方式拼成了一個(gè)正方形，請你通過拼圖寫出（b+a）2、ab、（b﹣a）2之間的等量關(guān)系是（b+a）2﹣（b﹣a）2＝4ab．[應(yīng)用]（2）若2a﹣b＝5，ab＝