第04講二次函數的應用（2大知識點+12大典例+變式訓練+過關檢測）典型例題一圖形問題典型例題二圖形運動問題典型例題三拱橋問題典型例題四銷售問題典型例題五投球問題典型例題六噴水問題典型例題七增長率問題典型例題八二次函數綜合一一特殊三角形問題典型例題九二次函數綜合一一特殊四邊形典型例題十二次函數綜合一一相似三角形問題典型例題十一二次函數綜合一一周長問題典型例題十二二次函數綜合一一面積問題知識點01二次函數的應用1.審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系(即函數關系)。2.設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確。3.列函數表達式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數。4.按題目要求，結合二次函數的性質解答相應的問題。5.檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案。6.寫出答案。【即時訓練】A．正比例函數關系，一次函數關系 B．正比例函數關系，二次函數關系C．一次函數關系，正比例函數關系 D．一次函數關系，二次函數關系【答案】D【分析】本題考查了一次函數，二次函數．根據題意分別求出y與t，S與t滿足的函數關系式，然后判定作答即可．∴y是t的一次函數，S是t的二次函數，故選：D．【即時訓練】2．（2425九年級上·安徽淮北·階段練習）紅光公司今年月份生產兒童玩具萬件，計劃之后兩個月增加產量，如果月平均增長率為，那么第三季度兒童玩具的產量（萬件）與之間的關系應表示為（

）【答案】D【分析】本題考查了二次函數的應用，根據題意列出函數解析式即可，讀懂題意是解題的關鍵．故選：．知識點02二次函數的應用最值與軌跡問題1、最值問題(最大值/最小值)利潤最大化：總利潤=(售價成本)×銷量。售價或銷量通常是變量，且銷量常隨售價增加而減少（線性關系），總利潤函數常為二次函數。求使利潤最大的定價或產量。成本最小化：材料成本、運輸成本、庫存成本等組合優化問題中，總成本可能表示為某個變量的二次函數。固定周長圍最大面積：如用一定長度的籬笆圍矩形菜地、養雞場等。設一邊長為x，另一邊用周長表示，面積S=x*(L/2x)是二次函數。固定表面積求最大體積：如從矩形紙板四角剪去相同大小的正方形折成無蓋盒子，求盒子最大容積。設剪去正方形邊長為x，則盒子容積V=x(L2x)(W2x)展開后是三次函數，但在特定約束下（如對稱）可能轉化為二次函數問題，或通過導數解決（高中）。路徑最值問題：如幾何中求線段和的最小值（常需利用對稱性轉化為兩點間線段最短），有時涉及二次函數。拋物線軌跡問題拋體運動：投擲鉛球、籃球投籃、炮彈發射等。已知初速度v?和發射角度θ（或初始水平速度v?x、豎直速度v?y），建立高度y與水平距離x的函數關系y=ax2+bx+c。求最大高度（頂點縱坐標）。求射程（落地點水平距離，令y=0解二次方程）。求達到某一高度時的水平距離。判斷是否能命中目標（特定點的坐標是否滿足拋物線方程或在軌跡上）。橋梁拱形、隧道頂部：橋梁、隧道的縱截面輪廓是拋物線形。已知關鍵點坐標（如橋墩位置和高度、拱頂高度），建立拋物線方程，用于計算任意點的支撐高度、車輛通過高度限制判斷等。噴泉的水柱：水從噴口噴出的路徑近似拋物線。【即時訓練】第一次訓練數據水平距離x/m

豎直高度y/m【答案】A【分析】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是根據表格中數據求出頂點坐標．根據表格中數據求出頂點坐標即可．故選：A．【即時訓練】2．（2324九年級上·安徽合肥·階段練習）在特定條件下，籃球賽中進攻球員投球后，籃球的運行軌跡是開口向下的拋物線的一部分．“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規”．對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大．收集幾次籃球比賽的數據之后，某球員投籃可以簡化為下述數學模型：如圖所示，該球員的投籃出手點為P，籃框中心點為Q，他可以選擇讓籃球在運行途中經過A，B，C，D四個點中的某一點并命中Q，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”P的可能性最大的線路是（

）【答案】B【分析】根據題意即可得出結論．【詳解】解：B、D兩點，橫坐標相同，而D點的縱坐標大于B點的縱坐標，顯然，B點上升階段的水平距離長；A、B兩點，縱坐標相同，而A點的橫坐標小于B點的橫坐標，等經過.A點的籃球運行到與B點橫坐標相同時，顯然在B點上方，故B點上升階段的水平距離長；同理可知C點路線優于A點路線，綜上：P→B→Q是被“蓋帽”的可能性最大的線路．故選：B．【點睛】本題主要考查學生的細心程度，認真分析是解決本題的關鍵．【典型例題一圖形問題】【答案】C本題考查了矩形的周長與面積，函數的表達式，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．故選：C．【答案】192故答案為：192．(1)請寫出倉庫面積S（），與邊的長（m）之間的函數關系式；(2)當邊的長是多少米時，倉庫的面積最大?(2)當邊的長為9米時，倉庫的面積最大【分析】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意；（2）根據（1）中函數關系式及二次函數的性質可進行求解．【詳解】（1）解：設為米，∵S與的二次函數圖象開口向下，答：當邊的長為9米時，倉庫的面積最大．(1)設甲、乙兩塊材料的面積之和為，求與之間的函數解析式；(3)丙部分面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【分析】本題主要考查二次函數的運用，掌握二次函數解析式的計算，最值的計算方法是關鍵．（3）解：存在，理由如下：①的長可以為；其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C設矩形的菜園面積為，故選：C．2．（2024·安徽滁州·模擬預測）“冪勢既同，則積不容異”是我國古代數學家祖暅提出的體積計算原理，稱作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一種求面積的方法：“夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果被截得的兩條線段長總相等，那么這兩個平面圖形的面積相等”．【答案】43【分析】本題考查了祖暅原理，正確理解祖暅原理，利用祖暅原理將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積是解題的關鍵．（2）根據祖暅原理，將陰影部分面積轉化為三角形面積進行求解．【詳解】解：（1）∵祖暅原理，故答案為：4；（2）如圖，∵平行于，平行于的直線在平移前后圖象上截得的線段長是2，故答案為：3．(1)求x的取值范圍．(2)如何種植才能使草坪的面積最小？最小面積是多少？【分析】本題考查了二次函數的應用、一元一次不等式組的應用，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（2）先求出關于的函數關系式，再由二次函數的性質求解即可．4．（2025·安徽滁州·模擬預測）如圖，某苗圃師傅用木制柵攔設計了一個矩形育苗試驗田，一面緊靠圍墻，圍墻的長度為21米，提供的木制柵欄的總長度為40米，在安裝過程中柵欄不重疊使用，且無損耗和浪費．設該矩形育苗試驗田的一邊長為（單位：），另一邊長為（單位：），面積為（單位：）．(1)直接寫出與之間的函數關系式（寫出的取值范圍）．(3)當的值是多少時，該矩形育苗試驗田的面積最大？最大面積是多少？(2)不能；理由見解析【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的求出函數解析式，是解題的關鍵：（1）根據矩形的面積公式，列出函數關系式，根據矩形的邊長大于0，圍墻的長度為21米，求出的取值范圍即可；（3）利用二次函數的性質，求最值即可．（2）不能．【典型例題二圖形運動問題】

A．0.5 B．1.5 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查二次函數的最值，將問題轉化成方便求的值是本題的關鍵．設時間為秒，故選：B．【答案】4故答案為：4．【點睛】本題考查了二次函數的應用，勾股定理，線段最值問題，解題的關鍵是表示出的長．【答案】(1)1(2)2或1.5【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，二次函數的性質，勾股定理：（2）根據三角形的面積公式可得到關于t的方程，即可求解；A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數圖象性質和銳角三角函數的知識；根據題意可知，點C為臨界點，分別研究D在C點兩側時的情況即可．根據解析式可知C正確，故選：C．

【點睛】本題主要考查了矩形，三角形面積．解決問題的關鍵是熟練掌握矩形角的性質和三角形面積公式．【分析】本題考查了二次函數的幾何應用，利用數形結合的思想是解題的關鍵．（1）由題意可直接利用表示出，，進而表示出；

(1)求線段的長和點的運動速度；【分析】本題是二次函數與幾何綜合題，考查了動點函數圖象，二次函數的性質，三角形的面積，熟練掌握全二次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：圖2是點在上運動時，與的函數圖象，補全圖象如圖所示：

【典型例題三拱橋問題】【例1】（2324九年級上·四川綿陽·期中）如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是時，拱頂到水面的距離是，則當水面寬為時，水面上升了（）

A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】解：如圖所示建立平面直角坐標系，故選：D．

【答案】故答案為：26．【例3】（2425九年級上·安徽宣城·期中）交通規則上有許多標志，如圖所示是某地的兩個限制數量，某貨車的迎面的截面圖形坐標如圖所示，問該車能否通過此路段，并說明理由．【答案】不能通過，見解析【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據二次函數的性質即可求解．【詳解】解：不能通過，理由：∴寬能通過；∴高度不能通過，故該車不能通過此路段．(1)求拋物線的函數表達式；(2)米或米【分析】本題主要考查二次函數的運用，掌握待定系數法，根據函數值求自變量的值的方法是解題的關鍵．（1）運用待定系數法即可求解；∴吊床上該處離右邊樹的距離為米或米．1．（2324九年級上·安徽阜陽·階段練習）如圖，某拱橋呈拋物線形狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】D【詳解】解：以M為坐標原點，AB所在直線為x軸，建直角坐標系，如圖：∵橋的最大高度是16米，跨度是40米，∴拋物線頂點C（0，16），A（20，0），B（20，0），設拋物線解析式為y=ax2+16，將A（20，0）代入得：∴在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是15米，故選：D．【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是建立直角坐標系，求出拋物線的解析式．2．（2324九年級上·安徽常德·期中）如圖是一座截面邊緣為拋物線的拱形橋，當拱頂離水面2米高時，水面l為4米，則當水面下降1米時，水面寬度米．【詳解】解：建立平面直角坐標系如圖：當水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：3．（2025·安徽馬鞍山·模擬預測）如圖1，這是一座位于山谷中的大橋，全長70米，橋面水平，橋底近似為拋物線，橋面和橋底用若干混凝土石柱豎直支撐．經測量，當在橋面上距離橋頭35米時，橋面和橋底的支撐石柱最長，長度為20米．以橋面為x軸，左側橋頭為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．(1)求該拋物線的函數表達式．(2)若其中一根石柱的長度為16.8米，則這根石柱安放的位置距離左側橋頭多遠？(2)21米或49米【分析】本題考查了二次函數的應用，正確求出二次函數的解析式是解題的關鍵．這根石柱安放的位置在距離左側橋頭21米或49米的地方．(1)求橋洞所在拋物線的函數表達式；【分析】本題考查了二次函數的實際應用，正確理解題意，求出函數解析式是解題的關鍵．【典型例題四銷售問題】【例1】（2425九年級上·河北石家莊·期中）某暢銷書的售價為每本20元，每星期可賣出300本，書城準備開展“讀書節活動”，決定降價促銷．經調研，如果調整書籍的售價，每降價1元，每星期可多賣出20本．設每本降價元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為元，則與之間的函數表達式為（

）【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并正確列方程是解題關鍵．根據“每降價1元，每星期可多賣出20本”列方程即可．【詳解】解：設每本降價元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為元，故選：B．（1）設該網店每周銷售該禮盒所獲利潤為(元，則與的函數關系式為；（2）該網店每周銷售該禮盒所獲最大利潤為元．【分析】本題主要考查二次函數的應用（1）依據題意，由該網店每周銷售該禮盒所獲利潤為單個利潤銷量，進而列式可以得解；（2）依據題意，由（1）得解析式，配方成頂點式后，結合自變量的取值范圍進行判斷可以得解．(1)求售價定為多少時，每天的銷售利潤最大；(2)若商店希望每天的利潤不低于4000元，直接寫出售價x的取值范圍．【答案】(1)售價定為每個70元時，每天的銷售利潤最大【分析】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．得到利潤的關系式是解題的關鍵．（1）依據題中的相等關系列出函數解析式，分漲價、降價兩種情況，再依據二次函數的性質求解可得．（2）根據題意列不等式，分兩種情況，即可求解．【例4】（2025·遼寧丹東·模擬預測）某水果超市購進一批水果，進價為每千克40元，在一段時間內，銷售量y（千克）是每千克售價x（元）的一次函數，其圖象如圖所示．(1)求這段時間內y與x之間的函數關系式；(2)在這段時間內，當每千克售價為多少元時，銷售利潤最大，最大利潤為多少？(2)當每千克售價80元時，銷售利潤最大，銷售利潤最大為4800元【分析】本題考查的是一次函數的應用，二次函數的應用，正確列出關系式是解題的關鍵．（1）利用待定系數法解答即可；（2）利用二次函數的性質解答即可．（2）解：設這批水果的利潤為w元．有最大值答：當每千克售價80元時，銷售利潤最大為4800元．1．（2425九年級上·四川涼山·期末）彝族年假期期間，某店銷售特產苦蕎餅，經調查發現每盒苦蕎餅售價為20元時，日銷售量為500盒，當每盒售價每下降1元時，日銷售量會增加10盒．已知每盒苦蕎餅的成本為10元，設每盒降價x元，商家每天的利潤為y元，則y與x之間的函數關系式為（

）【答案】D【分析】本題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，審清題意、弄清數量關系是解題的關鍵．故選：D．2．（2025·山西運城·模擬預測）一種商品在原售價的基礎上漲價銷售，每件的利潤y（元）與每件上漲的價格x（元）的函數關系如圖1，日銷售數量z（件）與每件上漲的價格x（元）的函數關系如圖2．則日銷售的最大利潤為元．【答案】2450【分析】本題考查了二次函數的實際應用，求一次函數解析式，讀懂題意，正確列出函數解析式是解題的關鍵；先求出每件的利潤y（元）與每件上漲的價格x（元）的函數關系，再求出日銷售數量z（件）與每件上漲的價格x（元）的函數關系，根據日銷售利潤等于日銷售數量與每件利潤的積，得到二次函數，由二次函數的性質求出最大值即可．故答案為：2450．3．（2025·貴州銅仁·模擬預測）“騎車戴頭盔，放心平安歸”．越來越多的人上下班會選擇騎行電動車，佩戴頭盔更能保證大家的行車安全．某商店統計了某品牌頭盔的銷售量，四月份售出350個，六月份售出504個，且從四月份到六月份月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)經市場調研發現，此種品牌頭盔如果每個盈利10元，月銷售量為500個，若在此基礎上每個漲價1元，則月銷售量將減少20個，現在既要使月銷售利潤達到6000元，又要盡可能讓顧客得到實惠，那么該品牌每個頭盔應漲價多少元？(3)該品牌頭盔每個漲價多少元時，月銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為(2)該品牌的每個頭盔應漲價5元(3)該品牌頭盔每個漲價元時，月銷售利潤最大，最大利潤是6125元【分析】本題主要考查了利用一元二次方程解決實際問題，利用二次函數解決最值問題，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為，找出等量關系列出方程求解即可；（2）設該品牌頭盔每個應漲價元，找出等量關系列出方程求解即可；【詳解】（1）解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為，答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為；（2）解：設該品牌頭盔每個應漲價元．∵要盡可能讓顧客得到實惠，答：該品牌的每個頭盔應漲價5元；（3）解：設該品牌頭盔每個漲價元，利潤為元．答：該品牌頭盔每個漲價元時，月銷售利潤最大，最大利潤是6125元．4．（2025·山西運城·模擬預測）“六一”兒童節期間，某超市以元/個的價格購入一批兒童禮品．在銷售前，銷售經理進行了市場調研．調研數據：下表是日銷售數量y（個）與銷售單價x（元）的部分調研數據：銷售單價x/元……日銷售數量y/個……建立模型：（1）根據調研數據可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函數，y關于x的函數表達式為_________．問題解決：（2）兒童禮品的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？（3）若該超市決定每銷售一個兒童禮品就向兒童福利院捐贈m元，捐贈后，該兒童禮品日銷售最大利潤為元，求m的值．【分析】本題考查了一次函數的實際應用，二次函數的實際應用，求二次函數的最值，解答關鍵是列出函數表達式再求解．（1）先判定為一次函數，再利用待定系數法求解；（2）設日銷售利潤為元，根據“利潤=單件利潤×銷售量”求出關于的函數表達式，然后利用二次函數的性質求解；【詳解】建立模型：問題解決：（2）設日銷售利潤為元．答：兒童禮品的銷售單價定為元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為元．（3）設捐贈后，日銷售利潤為元，的最大值為，答：的值為2．【典型例題五投球問題】A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查二次函數的應用，根據題意和題目中的函數解析式，可以分別計算出各個小題中的結論是否正確．∴這名男生鉛球推出的水平距離為，故①正確，符合題意；∴鉛球到達最高點時的高度為，故②錯誤，不符合題意；故③錯誤，不符合題意；故選：B．【答案】故答案為：．(1)經多少秒后足球回到地面？(2)經多少秒時球的高度為15米？(3)當達到最高時，求的值．【答案】(1)經4秒后足球回到地面；(2)經1秒或3秒時球的高度為15米；(3)的值為2．【分析】本題考查了二次函數在生活實際問題中的應用，將生活實際轉化為數學問題是解題的關鍵．（3）配成頂點式，利用二次函數的性質求解即可．答：經4秒后足球回到地面；答：經1秒或3秒時球的高度為15米；∴當達到最高時，的值為2．【例4】（2025·湖北隨州·模擬預測）如圖，以40m/s速度將小球沿著地面成的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間滿足二次函數關系．小明在一次擊球過程中測得一些數據，如表所示，根據相關信息解答下列問題．飛行時間(1)直接寫出小球的飛行高度關于飛行時間的二次函數關系式（不寫自變量取值范圍）；(2)若小球飛行時間不超過，則小球飛行高度能否達到？若能，求出此時的值，若不能，說明理由；(3)當值為多少時，小球飛行的高度最大？最大高度是多少？(2)小球飛行高度能達到，此時秒．【分析】此題主要考查一元二次方程與二次函數的實際應用，解題的關鍵是根據題意求出函數解析式，再根據題意進行解答．（1）利用待定系數法即可求解；（3）將解析式配方成頂點式，進而根據二次函數的性質，即可求解．∴小球飛行高度能達到，此時秒．【答案】A本題考查了數學與物理的跨學科綜合，正確理解方程根的意義是解題的關鍵．故A正確，符合題意；B，C，D都是錯誤的，不符合題意．故選：A．2．（2425九年級上·山東濱州·期中）足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：）與足球被踢出后經過的時間t（單位：）之間的關系．01234567．．．08141820201814．．．【答案】②③【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．先利用待定系數法求出二次函數的解析式，再根據二次函數的圖象與性質逐個判斷即可得．所以足球被踢出時落地，則結論③正確；綜上，正確的結論是②③，故答案為：②③．(1)求拋物線的表達式；(2)在無人防守的情況下，球能否射進球門，請說明理由；(3)當球飛過最高點后，防守球員才開始攔截．問防守球員站在離球門最大多遠的距離，可有效攔截射來的足球，請直接寫出你的答案．(2)球能射進球門，理由見解析(3)1米【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，正確理解題意求出對應的函數關系式是解題的關鍵．（2）求出當自變量為0時的函數值即可得到答案；（2）解：球能射進球門，理由如下：∴球能射進球門；答：防守球員站在離球門最大1米的距離，可有效攔截射來的足球．4．（2025·湖北襄陽·模擬預測）【發現問題】投擲實心球是某市中考體育考試項目之一，李明發現實心球從出手到落地的過程中，實心球豎直高度與水平距離一直在相應的發生變化．【提出問題】實心球豎直高度與水平距離之間有怎樣的函數關系？【分析問題】李明利用先進的鷹眼系統記錄了實心球在空中運動時的水平距離x（單位：m）與豎直高度y（單位：m）的數據如表：024568922根據表中的數據建立如圖所示的平面直角坐標系，根據圖中點的分布情況，李明發現其圖象是二次函數的一部分．【解決問題】(1)在李明投擲過程中，出手時實心球豎直高度是________m，實心球在空中的最大高度是________m；(2)求滿足條件的二次函數的解析式；【答案】(1)2，(3)李明在此次考試中能得到滿分，見解析【分析】（1）根據圖表即可求解；得在明明投擲過程中，出手時實心球的豎直高度是，（3）解：明明在此次考試中能得到滿分，理由如下：∴明明在此次考試中能得到滿分．【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，函數的圖表和關系式，本題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式及二次函數的性質．【典型例題六噴水問題】【例1】（2324九年級上·新疆哈密·期中）如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即OB的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭2米時，達到最大高度米，水流噴射的最遠水平距離OC是（

）A．6米 B．5米 C．4米 D．1米【答案】B【分析】本題考查了二次函數的實際應用，根據題意求得函數解析式是解題的關鍵．根據頂點式求得拋物線解析式，進而求得與軸的交點坐標即可求解．【詳解】解：∵噴水頭的高度（即的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭米時，達到最大高度米，故選：B．【答案】22故答案為：22．【答案】(1)求噴水管的高度；(2)現重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點與噴水管距離5米，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點2米處達到最高，求噴水管要升高多少？【答案】(1)m【分析】本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握并靈活應用二次函數的性質是解題的關鍵．噴水管的高度為m；（2）解：設噴水管的高度要升高m，A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m【答案】D【分析】本題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是根據題意，求出相應的函數解析式．【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，故選：D．【答案】5【詳解】解：以A為坐標原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，∵點P是最高點，故答案為：5．(1)求拋物線的表達式；(2)匹配【分析】本題主要考查了二次函數的應用，求出二次函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法．（1）待定系數法求出拋物線的解析式即可；（2）解：∵點C在圓形洗手盆臺面中心的正上方，∴該圓形洗手盆與安裝的水龍頭是匹配的．4．（2425九年級上·陜西西安·期中）某公園的人工湖里安裝一個噴泉，在湖中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，在水管的頂端安一個噴頭，它噴出的拋物線形水柱在與噴水管的水平距離為1米處達到最高，水柱落到湖面處離噴水管4米．以噴水管與湖面的交點為原點，建立如圖的平面直角坐標系．

(1)求拋物線的函數表達式；(2)現公園準備通過只調節噴水管露出湖面的高度，使得游船能從拋物線水柱下方中間通過．為避免游客被噴泉淋濕，要求游船從拋物線水柱下方中間通過時，游船頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于1.5米，已知游船頂棚寬度為1米，頂棚到湖面的高度為2.5米，那么公園應將噴頭（噴頭大小忽略不計）至少向上移動多少米才能符合要求？(2)應將噴頭至少向上移動米才能符合要求【分析】本題考查了二次函數的應用，求出函數解析式是解答本題的關鍵．（1）用待定系數法求解即可；

頂棚寬度為1米，頂棚到湖面的高度為2.5米，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于1.5米，應將噴頭至少向上移動米才能符合要求．【典型例題七增長率問題】【例1】（2425九年級上·河南周口·期中）某商品原價100元，分兩次降價，設平均每次降價的百分率為x，降價后的價格為y元，則y與x的函數解析式為（

）【答案】C【分析】本題考查二次函數應用中的增長率問題，表示出兩次降價后的價格即可求解．【詳解】解：原價100元，故選：C．【例2】（2025·寧夏銀川·模擬預測）為執行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為64元，已知兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為．【答案】【詳解】解：設每次降價的百分率為x，由題意得∴每次降價的百分率為，故答案為：．【點睛】此題考查了一元二次方程的實際應用，正確理解百分率問題列方程的方法是解題的關鍵．【例3】（2324九年級上·全國·課后作業）某商場第1年銷售計算機5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，寫出第3年的銷售量y關于每年增加的百分率x的函數解析式．【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000．【分析】根據增長率第2年的銷量=第1年的銷量+增加百分率x×第1年的銷量=(1+x)×第1年的銷量，第3年的銷售量y=第2年的銷量+增加百分率x×第2年的銷量=(1+x)×第2年的銷量=(1+x)2×第1年的銷量即可．【詳解】解：由題意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000，∴y＝5000x2＋10000x＋5000．【點睛】本題考查增長率問題，利用增長率求函數解析式，掌握增長率的公式是解題關鍵．【例4】（2324九年級上·河北廊坊·階段練習）某工廠的前年生產總值為10萬元，去年比前年的年增長率為，預計今年比去年的年增長率為，設今年的總產值為萬元．(1)求與的關系式；【分析】（1）利用增長率公式即可找出y關于x的函數關系式；1．（2324九年級上·河南周口·階段練習）共享單車為市民的出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數量比第一個月多440輛，設該公司第二、三個月投放單車數量的月平均增長率為x，則x的值為（

）【答案】C【分析】根據該公式第一個月及第三個月單車的投放量，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．所以該公司第二、三兩個月投放單車數量的月平均增長率為．故選：C【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．（2324九年級上·全國·單元測試）某廠加工一種產品，現在的年產量是萬件，計劃今后兩年增加產量．如果每年的增長率都為，那么兩年后這種產品的年產量（萬件）與之間的函數表達式為（要求化成一般式）．【分析】本題考查了根據題意列函數關系式，理解題意找到題目中的等量關系是關鍵．3．（2324九年級上·全國·課后作業）某種產品現在的年產量是，計劃今后兩年增加產量．如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？①式表示了兩年后的產量y與計劃增產的倍數x之間的關系，對于x的每一個值，y都有一個對應值，即y是x的函數．【電鋸】本題考查了函數關系式，利用增長問題獲得函數解析式是解題關鍵，注意增加x倍是原來的（x+1）倍．4．（2324九年級上·湖北荊州·期中）向陽村養雞專業戶李明2020年的純收入是6萬元，預計2022年的純收入是7.26萬元．(1)求李明這兩年純收入的年平均增長率；(2)隨著養雞規模不斷擴大，李明需要再建一個養雞場，他計劃用一段長為100米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養雞場（如圖），墻長50米，養雞場面積為1200米2，求養雞場與墻平行的一邊的長度．(2)40米．（2）解：設養雞場與墻平行的一邊的長度為a米，根據題意可得答：養雞場與墻平行的一邊的長度為40米．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是要理解題意，能正確列出方程．【典型例題八二次函數綜合一一特殊三角形問題】【例1】（2324九年級上·浙江臺州·期末）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，點D、點E分別是BC、AC邊上的點，DE//AB則S△BDE的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B故選：B．A．1＋ B．1－C．－1 D．1－或1＋【答案】A【分析】根據拋物線解析式求出點C的坐標，再求出CD中點的縱坐標，然后根據等腰三角形三線合一的性質可得點P的縱坐標，然后代入拋物線求解即可．【詳解】令x=0，則y=3，所以，點C的坐標為（0，3），∵點D的坐標為（0，1），∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，∴點P的縱坐標為2，∴x22x3=2，∵點P在第四象限，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質并確定出點P的縱坐標是解題的關鍵．【答案】【分析】過E作EF⊥x軸于F，交AB于D，求出E、A的坐標，代入函數解析式，即可求出答案．過E作EF⊥x軸于F，交AB于D，∵△ABE為等腰直角三角形，∴AD=BD=3，∴AB=6，DE=AB=3，∵四邊形OABC是正方形，∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9，∴A(0，6)，E(3，9)，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖象與性質，等腰直角三角形以及正方形的性質，準確求出A、E的坐標是解題關鍵．【例4】（2324九年級上·山東濟寧·期中）如圖，點A1、A2、A3、…、An在拋物線y＝x2圖象上，點B1、B2、B3、…、Bn在y軸上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都為等腰直角三角形（點B0是坐標原點），則△A2020B2019B2020的腰長＝．【詳解】解：如圖，作A1C⊥y軸，A2E⊥y軸，垂足分別為C、E，∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E．設A1（a，b），則a＝b，將其代入解析式y＝x2得：∴a＝a2，解得：a＝0（不符合題意）或a＝1，由勾股定理得：A1B0＝，∴B1B0＝2，過B1作B1N⊥A2F，設點A（x2，y2），可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，又點A2在拋物線上，所以y2＝x22，（x2+2）＝x22，解得x2＝2，x2＝﹣1（不合題意舍去），∴A2B1＝2，同理可得：A3B2＝3，A4B3＝4，

…∴A2020B2019＝2020，∴△A2020B2019B2020的腰長為：2020．故答案為2020．【點睛】本題考查點坐標找規律，解題的關鍵是掌握二次函數的性質和等腰直角三角形的性質．(1)此拋物線對應的函數表達式；【分析】（1）根據待定系數法可進行求解；【詳解】（1）解：由題意得：（2）解：連接，如圖所示：過點P作y軸的平行線，交直線于點H，如圖所示，【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數與幾何的綜合是解題的關鍵．(1)求該拋物線的解析式；（Ⅰ）當為直角頂點時，【點睛】此題主要考查了二次函數綜合以及待定系數法求二次函數解析式和相似三角形的判定與性質等知識，根據一個三角形是直角三角形，應分不同頂點為直角等多種情況進行分析；求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點關于所求的點在的直線的對稱點得出是解題關鍵．①若該函數的取值恒為非負數，求實數的取值范圍．【分析】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法、等腰三角形性質等知識，解題的關鍵是用含的代數式表示相關點坐標和相關線段的長度、分類討論思想的應用．（3）①根據拋物線的性質即可解答；②根據拋物線的性質即可解答．∵E為的中點，(1)求二次函數的解析式；(3)若M是拋物線對稱軸上一點，ACM是等腰三角形，直接寫出點M的坐標．【分析】（1）利用待定系數法求解即可；【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，待定系數法求二次函數解析式，兩點間距離公式，等腰三角形的定義，三角形面積計算，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【典型例題九二次函數綜合一一特殊四邊形】A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C拋物線的頂點在線段上運動，開口向上，

∴的橫坐標的最大值為，故③正確；∴正確的是①③④，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的綜合題，主要利用了二次函數的頂點坐標，二次函數的對稱性，根與系數關系，平行四邊形的性質，要注意頂點在軸上的情況和頂點分別在兩點的情況．【答案】D【詳解】解：如圖，設交于點，∵在上，∴的橫坐標為故選D【點睛】本題考查了拋物線的性質，待定系數法求解析式，正方形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，求得點的坐標是解題的關鍵．【例3】（2324九年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，拋物線y=－x2+4x+c交y軸正半軸于點A，過點A作AC∥x軸交拋物線于另一點C，點B在x軸上，點D在AC上方的拋物線上．當四邊形ABCD是菱形時，則c的值為．【答案】4【分析】先配方求出拋物線頂點坐標，再求出點A坐標，根據菱形性質得D坐標，從而得出關于c的方程，求解即可．令x=0，則y=c∴A(0,c)連接BD，∵AC∥x軸交拋物線于另一點C，∴DB⊥x軸，且DB在拋物線的對稱軸上∴B(2,0)∴D(2,2c)∴4+c=2c解得，c=4故答案為：4【點睛】本題主要考查了拋物線的性質以及菱形的性質，熟練掌握拋物線的性質是解答本題的關鍵．【分析】據點D的坐標，可得出點E的坐標，點C的坐標，繼而確定點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線解析式可求出m，n之間的關系式．【詳解】解：∵直線OA的解析式為：y=2x，點D的坐標為（m，n），∴點E的坐標為（n，n），點C的坐標為（m，2m），∴點B的坐標為（n，2m），【點睛】本題考查了二次函數的綜合，矩形的性質，函數圖象上點的坐標特征，解答本題需要同學們能理解矩形四個頂點的坐標之間的關系．(1)點A和點B坐標分別為______和______；四邊形APBQ的是一種特殊的四邊形，它是______，的解析式為______．(2)當點Q到x軸的距離為4時，①求m值和此時四邊形APBQ的面積．點A在點B左側，如圖，則是拋物線的對稱軸，平分，【點睛】本題考查了二次函數綜合，菱形的性質與判定，軸對稱的性質，數形結合是解題的關鍵．(1)求該拋物線的函數表達式；【分析】此題考查了二次函數圖象和性質、平行四邊形的性質等知識，數形結合是解題的關鍵．（1）利用待定系數法求解即可；（2）畫出圖形根據平行四邊形的性質進行解答即可．（2）∵點F為拋物線上一點，當以A，B，E，F為頂點的四邊形是以為邊的平行四邊形時，(1)求點，，的坐標及對稱軸；（）當為對角線時，由中點坐標公式列出方程組即可求解；當或為對角線時，同理可解；本題考查了二次函數的性質，平行四邊形的性質，中點坐標公式等，掌握知識點得應用及分類討論是解題的關鍵．（2）解：存在，理由：當為對角線時，當或為對角線時，同理可得：(1)求拋物線的函數表達式：(3)若M為拋物線上動點，點N在拋物線對稱軸上，是否存在點M、N使點A、C、M、N為平行四邊形？如果存在，直接寫出點N的坐標：如果不存在，請說明理由．①當線段為平行四邊形的邊時，則與為平行四邊形的對角線，如圖所示，或當點M在N下方時，則與為平行四邊形的對角線，如圖所示，②當線段為平行四邊形的對角線時，則與為平行四邊形的對角線，如圖所示，【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數與線段、特殊四邊形綜合問題，掌握二次函數的性質是解題關鍵.【典型例題十二次函數綜合一一相似三角形問題】【答案】C【詳解】故選C．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合知識、相似三角形的性質及求角的三角函數值，關鍵是根據二次函數解析式得到對稱軸，得到A、B的坐標，進而得到參數的等量關系式，最后根據射影定理得到線段的等量關系求解參數，然后根據求角的三角函數值求解即可．【例2】（2025·浙江杭州·模擬預測）如圖1，在矩形ABCD中，動點E從A出發，沿A→B→C方向運動，當點E到達點C時停止運動，過點E作EF⊥AE交CD于點F，設點E運動路程為x，CF＝y，如圖2所表示的是y與x的函數關系的大致圖象，給出下列結論：①a＝3；②當CF＝時，點E的運動路程為或或，則下列判斷正確的是(

)A．①②都對 B．①②都錯 C．①對②錯 D．①錯②對【答案】A【詳解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5，當E在BC上時，如圖，∵E作EF⊥AE，∴△ABE∽△ECF，解得a1=3，a2=（舍去），解得x1=，x2=，當E在AB上時，y=時，x=3﹣=，故①②正確，故選A．【點睛】本題考查了二次函數的應用，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，弄清題意，正確畫出符合條件的圖形，熟練運用二次函數的性質以及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．如圖，【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點，一元二次方程根與系數的關系，相似三角形的判定與性質等知識，綜合運用各知識點是解答本題的關鍵．

【點睛】本題為二次函數綜合知識運用，主要三角形相似、勾股定理運用等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關鍵．(2)不能，見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質以及二次函數的應用，正確理解題意、熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．

這時矩形花壇的兩條鄰邊的長分別為6米和12米．（2）解：不能，理由如下：故矩形花壇的面積不能占空地面積的．(1)求二次函數的表達式；(2)點D是拋物線的頂點，點P在拋物線上，并且位于對稱軸的右側，∴直線與拋物線的交點（不是A）即為點P的一個位置，如圖所示，過點P和點Q分別作直線的垂線．垂足分別為W、V，∵點Q在直線上，【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，一次函數與幾何綜合，平行線分線段成比例定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．(1)若一個函數的特征數是【1，，2】，將此函數的圖象先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到一個圖象對應的函數“特征數”是__________；【答案】(1)【1，，】【分析】（1）根據新定義得出二次函數的解析式，然后寫成頂點式，再根據二次函數的平移規律求解即可；（2）根據新定義得出一次函數的解析式，再根據一次函數的平移規律求解即可；∴其“特征數”是【1，，】，故答案為：【1，，】；當P在A的左側時，當P在A的右側時，即為，由對稱性知，和P關于y軸對稱，【點睛】本題考查了新定義，二次函數的平移，二次函數的圖象與性質，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質等知識，理解新定義，合理分類討論，構造相似三角形是解題的關鍵．(1)如圖1，求與的值：(2)如圖2，點在第一象限拋物線上，連接交軸于點，設點的橫坐標為，線段的長為，求與的函數解析式（不必寫出自變量的取值范圍）；∵點為的中點，【點睛】本題考查了二次函數與幾何綜合、一次函數的應用、相似三角形的判定與性質、勾股定理、一元二次方程的應用、解直角三角形等知識，綜合性很強，較難的是題（3），通過作輔助線，構造相似三角形和直角三角形是解題關鍵．【典型例題十一二次函數綜合一一周長問題】其中正確判斷有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C②根據二次函數的性質進行判斷；③根據平移的公式求出平移后的解析式便可；如圖，綜上所述，正確的結論是①②④．故選：C．【答案】B【詳解】解：令a1x2＝a2x2+bx，∴﹣1＝n﹣2，∴＝n﹣1，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，求得P的橫坐標，表示出PM、PN是解題的關鍵．∵拋物線經過坐標原點O，∵點A的縱坐標是，故答案為：．【答案】12故答案為：．【分析】本題考查二次函數的圖像和性質，軸對稱的性質，掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．（1）求出拋物線與坐標軸的交點坐標即可；（2）解：存在，(1)求直線和拋物線的解析式；(2)點是直線下方的拋物線上的一動點（不與點，重合），過點作軸的平行線，與直線交于點，連接．設點的橫坐標為．【分析】（1）利用待定系數法求解析式即可；∵過點M作x軸的平行線，與直線交于點N，∵過點M作x軸的平行線，與直線交于點N，【點睛】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，平面內兩點之間的距離公式，等腰三角形的性質，三角形的周長，極值的確定，解本題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．(1)求這個二次函數的解析式；【分析】此題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、三角形的面積，熟練掌握點的坐標與線段長度之間的轉換是解題的關鍵．（1）將點及點的坐標代入即可得出、的值，從而可得出二次函數解析式；(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；【分析】本題考查了二次函數的綜合運用,待定系數法求解析式,面積問題,線段周長問題,正確記憶超過知識點是解題關鍵.（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）根據三角形的面積公式求得E點的橫坐標為，即可求解；點得橫坐標為．M點橫坐標為m，【典型例題十二二次函數綜合一一面積問題】B．C．D．【答案】B觀察圖象可知選B．故選：B．【例2】（2425九年級上·安徽合肥·階段練習）如圖，用長為8的鋁合金條制成如圖的矩形窗框，使窗戶的透光面積最大，那么這個窗戶的最大透光面積是（

）．A． B． C． D．4【答案】C【分析】此題注意考查了二次函數的應用，解題的關鍵是得出面積的表達式，將實際問題轉化為函數問題解答，滲透了數學建模的思想．∴拋物線開口向下，取得最大值，最大值為，故選：C．【答案】故答案為：．(1)求該二次函數解析式及頂點的坐標；設把點往右平移兩個單位得到，再往下平移個單位得到點．如圖，(1)求二次函數的表達式；(2)【分析】本題考查二次函數與幾何綜合，待定系數法求函數表達式、重心的概念，正確利用中點公式是解題的關鍵．（1）由待定系數法即可求解；設交x軸于點H，點的縱坐標為，D為的中點，3．（2425九年級上·安徽合肥·階段練習）如圖1是某校操場實物圖，圖2是運動場示意圖，每條跑道由兩條直的跑道和兩端是半圓形的跑道組成，每兩條跑道之間的距離是相等的．最內側半圓形跑道的半徑為a米，最外側半圓形跑道的半徑為b為米，每條直道的長度為c米．(1)列式表示最內側一圈跑道的長度為________米（保留π）．【分析】本題主要考查列代數式和二次函數的性質，讀懂題意找出數量關系是解答本題的關鍵．（1）根據圓和矩形的周長公式即可得到結論；(1)求直線的表達式；(2)點D不在拋物線的對稱軸上，見解析【分析】（1）利用待定系數法可求得函數的表達式；（3）分別過A、P作x軸的垂線，利用解析式，用同一個字母m表示出P，N的坐標，進而用m表示出的值，根據二次函數的性質可以確定出的最大值，進而可確定出此時的P點坐標．（2）點D不在拋物線的對稱軸上，理由是：故點D不在拋物線的對稱軸上