習題課：電磁感應中的綜合應用——電磁感應中的電路問題和動力學問題[學習目標]1.能綜合應用楞次定律和法拉第電磁感應定律解決電磁感應中的圖象問題.2.掌握電磁感應中動力學問題的分析方法.3.能解決電磁感應中的動力學與能量結合的綜合問題．一、電磁感應中的圖象問題1．問題類型(1)由給定的電磁感應過程選出或畫出正確的圖象．(2)由給定的圖象分析電磁感應過程，求解相應的物理量．2．圖象類型(1)各物理量隨時間t變化的圖象，即B－t圖象、Φ－t圖象、E－t圖象和I－t圖象．(2)導體切割磁感線運動時，還涉及感應電動勢E和感應電流I隨導體位移變化的圖象，即E－x圖象和I－x圖象．3．解決此類問題需要熟練掌握的規律：安培定則、左手定則、楞次定律、右手定則、法拉第電磁感應定律、歐姆定律等．例1將一段導線繞成圖1甲所示的閉合回路，并固定在紙面內，回路的ab邊置于垂直紙面向里的勻強磁場Ⅰ中．回路的圓環區域內有垂直紙面的磁場Ⅱ，以向里為磁場Ⅱ的正方向，其磁感應強度B隨時間t變化的圖象如圖乙所示．用F表示ab邊受到的安培力，以水平向右為F的正方向，能正確反映F隨時間t變化的圖象是()圖1答案B解析由題圖乙可知0～eq\f(T,2)時間內，磁感應強度隨時間線性變化，即eq\f(ΔB,Δt)＝k(k是一個常數)，圓環的面積S不變，由E＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB·S,Δt)可知圓環中產生的感應電動勢大小不變，則回路中的感應電流大小不變，ab邊受到的安培力大小不變，從而可排除選項C、D；0～eq\f(T,2)時間內，由楞次定律可判斷出流過ab邊的電流方向為由b至a，結合左手定則可判斷出ab邊受到的安培力的方向向左，為負值，故選項A錯誤，B正確．本類題目線圈面積不變而磁場發生變化，可根據E＝neq\f(ΔB,Δt)S判斷E的大小及變化，其中eq\f(ΔB,Δt)為B－t圖象的斜率，且斜率正、負變化時對應電流的方向發生變化．例2如圖2所示，在x≤0的區域內存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xOy平面(紙面)向里．具有一定電阻的矩形線框abcd位于xOy平面內，線框的ab邊與y軸重合．令線框從t＝0時刻起由靜止開始沿x軸正方向做勻加速運動，則線框中的感應電流i(取逆時針方向的電流為正)隨時間t的變化圖象正確的是()圖2答案D解析因為線框做勻加速直線運動，所以感應電動勢為E＝Blv＝Blat，因此感應電流大小與時間成正比，由楞次定律可知電流方向為順時針．二、電磁感應中的動力學問題1．電磁感應中產生的感應電流在磁場中將受到安培力作用，所以電磁感應問題往往與力學問題聯系在一起，處理此類問題的基本方法是：(1)用法拉第電磁感應定律和楞次定律求感應電動勢的大小和方向．(2)求回路中的感應電流的大小和方向．(3)分析研究導體受力情況(包括安培力)．(4)列動力學方程或平衡方程求解．2．兩種狀態處理(1)導體處于平衡狀態——靜止或勻速直線運動狀態．處理方法：根據平衡條件——合力等于零列式分析．(2)導體處于非平衡狀態——加速度不為零．處理方法：根據牛頓第二定律進行動態分析或結合功能關系分析．例3如圖3甲所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導軌間距為L，M、P兩點間接有阻值為R的電阻，一根質量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直，整套裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于斜面向下，導軌和金屬桿的電阻可忽略，讓ab桿沿導軌由靜止開始下滑，導軌和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦．圖3(1)在加速下滑過程中，當ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大小；(2)求在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值．答案(1)eq\f(BLv,R)gsinθ－eq\f(B2L2v,mR)(2)eq\f(mgRsinθ,B2L2)解析(1)如圖所示，ab桿受重力mg，豎直向下；支持力FN，垂直于斜面向上；安培力F安，沿斜面向上．當ab桿的速度大小為v時，感應電動勢E＝BLv，此時電路中的電流I＝eq\f(E,R)＝eq\f(BLv,R)ab桿受到安培力F安＝BIL＝eq\f(B2L2v,R)根據牛頓第二定律，有mgsinθ－F安＝ma聯立解得a＝gsinθ－eq\f(B2L2v,mR).(2)當a＝0時，ab桿有最大速度：vm＝eq\f(mgRsinθ,B2L2).電磁感應現象中涉及到具有收尾速度的力學問題時，關鍵是做好受力情況和運動情況的動態分析：eq\x(\a\vs4\al\co1(導體運動產生,感應電動勢))→eq\x(\a\vs4\al\co1(感應,電流))→eq\x(\a\vs4\al\co1(導體受,安培力))→eq\x(\a\vs4\al\co1(合力,變化))→eq\x(\a\vs4\al\co1(加速度,變化))→eq\x(\a\vs4\al\co1(速度,變化))→eq\x(\a\vs4\al\co1(感應電動,勢變化))周而復始地循環，達到最終狀態時，加速度等于零，導體達到穩定運動狀態，即平衡狀態，根據平衡條件建立方程，所求解的收尾速度也是導體運動的最大速度．針對訓練(多選)如圖4所示，MN和PQ是兩根互相平行豎直放置的光滑金屬導軌，已知導軌足夠長，且電阻不計．ab是一根與導軌垂直而且始終與導軌接觸良好的金屬桿．開始時，將開關S斷開，讓桿ab由靜止開始自由下落，一段時間后，再將S閉合，若從S閉合開始計時，則金屬桿ab的速度v隨時間t變化的圖象可能是()圖4答案ACD解析設ab桿的有效長度為l，S閉合時，若eq\f(B2l2v,R)>mg，桿先減速再勻速，D項有可能；若eq\f(B2l2v,R)＝mg，桿勻速運動，A項有可能；若eq\f(B2l2v,R)<mg，桿先加速再勻速，C項有可能；由于v變化，eq\f(B2l2v,R)－mg＝ma中的a不恒定，故B項不可能.1.如圖5所示，勻強磁場存在于虛線框內，矩形線圈豎直下落，不計空氣阻力．如果線圈中受到的磁場力總小于其重力，則它在1、2、3、4位置時的加速度關系為()圖5A．a1＞a2＞a3＞a4B．a1＝a2＝a3＝a4C．a1＝a3＞a2＞a4D．a1＝a3＞a2＝a4答案C解析線圈自由下落時，加速度為a1＝g.線圈完全在磁場中時，磁通量不變，不產生感應電流，線圈不受安培力作用，只受重力，加速度為a3＝g.線圈進入和穿出磁場過程中，切割磁感線產生感應電流，將受到向上的安培力，根據牛頓第二定律得知，a2＜g，a4＜g.線圈完全在磁場中時做勻加速運動，到達4處的速度大于2處的速度，則線圈在4處所受的安培力大于在2處所受的安培力，又知，磁場力總小于重力，則a2＞a4，故a1＝a3＞a2＞a4.所以選C.2．如圖6所示，一底邊為L，底邊上的高也為L的等腰三角形導體線框以恒定的速度v沿垂直于磁場區域邊界的方向穿過長為2L、寬為L的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里．t＝0時刻，三角形導體線框的底邊剛進入磁場，取沿逆時針方向的感應電流為正，則在三角形導體線框穿過磁場區域的過程中，感應電流I隨時間t變化的圖象可能是()圖6答案A3.如圖7所示，有一垂直紙面向里、磁感應強度B＝0.1T的水平勻強磁場，垂直于勻強磁場放置一很長的U型金屬框架，框架上有一導體ab保持與框架垂直接觸，且由靜止開始下滑．已知ab長1m，質量為0.1kg，電阻為0.1Ω，框架光滑且電阻不計，取g＝10m/s2，求：圖7(1)導體ab下落的最大加速度大小；(2)導體ab下落的最大速度大小；(3)導體ab達到最大速度時產生的電功率．答案(1)10m/s2(2)10m/s(3)10W解析(1)對導體ab受力分析可知，其開始運動時所受的合力最大，即為重力．由牛頓第二定律可知，最大加速度為a＝g＝10m/s2.(2)導體ab下落的速度最大時，加速度為零，此時有mg＝F安F安＝BILI＝eq\f(E,R)E＝BLvmax聯立以上各式得：vmax＝eq\f(mgR,B2L2)＝eq\f(0.1×10×0.1,0.12×12)m/s＝10m/s.(3)導體ab達到最大速度時其電功率為P＝IE由以上各式得P＝eq\f(BLvmax2,R)＝eq\f(0.1×1×102,0.1)W＝10W.一、選擇題(1～6題為單選題，7～10題為多選題)圖11．如圖1所示，在一勻強磁場中有一U形導線框abcd，線框處于水平面內，磁場與線框平面垂直，R為一電阻，ef為垂直于ab的一根導體桿，它可在ab、cd上無摩擦地滑動．桿ef及線框中導線的電阻都可不計．開始時，給ef一個向右的初速度，則()A．ef將減速向右運動，但不是勻減速B．ef將勻減速向右運動，最后停止C．ef將勻速向右運動D．ef將往返運動答案A解析導體桿ef向右運動，切割磁感線，產生感應電動勢和感應電流，會受到向左的安培力而做減速運動，直到停止，但不是勻減速，由F＝BIL＝eq\f(B2L2v,R)＝ma知，桿ef做的是加速度減小的減速運動．故A正確．2．如圖2所示，平行導軌間有一矩形的勻強磁場區域．細金屬棒PQ沿導軌從MN處勻速運動到M′N′的過程中，棒上感應電動勢E隨時間t的變化圖象可能正確的是()圖2答案A解析金屬棒在到達勻強磁場之前，不產生感應電動勢，金屬棒在磁場中運動時，勻速切割磁感線，并且切割的有效長度也不變，由公式E＝BLv知此段時間內感應電動勢為定值，金屬棒離開磁場后，無感應電動勢產生，選項A正確．3．如圖3所示，在光滑水平桌面上有一邊長為L、電阻為R的正方形導線框；在導線框右側有一寬度為d(d＞L)的條形勻強磁場區域，磁場的邊界與導線框的一邊平行，磁場方向豎直向下．導線框以某一初速度向右運動，t＝0時導線框的右邊恰與磁場的左邊界重合，隨后導線框進入并通過磁場區域．下列v－t圖象中，正確描述上述過程的是()圖3答案D解析導線框進入磁場的過程中，線框受到向左的安培力作用，根據E＝BLv、I＝eq\f(E,R)、F＝BIL得F＝eq\f(B2L2v,R)，隨著v的減小，安培力F減小，導線框做加速度逐漸減小的減速運動．整個導線框在磁場中運動時，無感應電流，導線框做勻速運動，導線框離開磁場的過程中，根據F＝eq\f(B2L2v,R)，導線框做加速度逐漸減小的減速運動，所以選項D正確．4．如圖4(a)，線圈ab、cd繞在同一軟鐵芯上．在ab線圈中通以變化的電流，用示波器測得線圈cd間電壓如圖(b)所示．已知線圈內部的磁場與流經線圈的電流成正比，則下列描述線圈ab中電流隨時間變化關系的圖中，可能正確的是()圖4答案C5.如圖5所示的區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B.一個電阻為R、半徑為L、圓心角為45°的扇形閉合導線框繞垂直于紙面的O軸勻速轉動(O軸位于磁場邊界)，周期為T，t＝0時刻線框置于如圖所示位置，則線框內產生的感應電流的圖象為(規定電流順時針方向為正)()圖5答案A解析在本題中由于扇形導線框勻速轉動，因此導線框進入磁場的過程中產生的感應電動勢是恒定的．注意線框在進入磁場和離開磁場時，有感應電流產生，當完全進入時，由于磁通量不變，故無感應電流產生．由右手定則可判斷導線框進入磁場時，電流方向為逆時針，故A正確．6.如圖6所示，在空間中存在兩個相鄰的、磁感應強度大小相等、方向相反的有界勻強磁場，其寬度均為L.現將寬度也為L的矩形閉合線圈，從圖示位置垂直于磁場方向勻速拉過磁場區域，則在該過程中，能正確反映線圈中所產生的感應電流或其所受的外力隨時間變化的圖象是()圖6答案D解析當矩形閉合線圈進入磁場時，由法拉第電磁感應定律判斷，當線圈處在兩個磁場中時，兩個邊切割磁感線，此過程中感應電流的大小是最大的，所以選項A、B是錯誤的．由楞次定律可知，當矩形閉合線圈進入磁場和離開磁場時，磁場力總是阻礙線圈的運動，方向始終向左，所以外力F始終水平向右．安培力的大小不同，線圈處在兩個磁場中時安培力最大．故選項D是正確的，選項C是錯誤的．7．如圖7甲所示，一個閉合線圈固定在垂直紙面的勻強磁場中，設磁場方向向里為磁感應強度B的正方向，線圈中的箭頭指向為電流I的正方向．線圈中感應電流i隨時間變化的圖線如圖乙所示，則磁感應強度B隨時間變化的圖線可能是()圖7答案CD8.如圖8所示，有兩根和水平方向成α角的光滑平行的金屬軌道，上端接有可變電阻R，下端足夠長，空間有垂直于軌道平面向上的勻強磁場，磁感應強度為B，一根質量為m的金屬桿從軌道上由靜止滑下．經過足夠長的時間后，金屬桿的速度會趨近于一個最大速度vm，則()圖8A．如果B增大，vm將變大B．如果α變大，vm將變大C．如果R變大，vm將變大D．如果m變小，vm將變大答案BC解析金屬桿由靜止開始滑下的過程中，金屬桿就是一個電源，與電阻R構成一個閉合回路；其受力情況如圖所示，根據牛頓第二定律得：mgsinα－eq\f(B2L2v,R)＝ma所以金屬桿由靜止開始做加速度減小的加速運動，當a＝0，即mgsinα＝eq\f(B2L2vm,R)時，此時達到最大速度vm，可得：vm＝eq\f(mgRsinα,B2L2)，故由此式知選項B、C正確．9.如圖9所示，勻強磁場中有一矩形閉合線圈，線圈平面與磁場垂直．已知線圈的面積S＝0.5m2，線圈電阻r＝0.2Ω，磁感應強度B在0～1s內從零均勻變化到2T，則()圖9A．0.5s時線圈內感應電動勢的大小為1VB．0.5s時線圈內感應電流的大小為10AC．0～1s內通過線圈的電荷量為5CD．0～0.5s內線圈產生的焦耳熱為5J答案AC解析根據法拉第電磁感應定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)可得：E＝eq\f(ΔBS,Δt)＝1V，故選項A正確；線圈內感應電流的大小I＝eq\f(E,r)＝eq\f(1,0.2)A＝5A，故選項B錯誤；0～1s內通過線圈的電荷量q＝It＝5×1C＝5C，故選項C正確；0～0.5s內線圈產生的焦耳熱Q＝I2rt＝52×0.2×0.5J＝2.5J，故選項D錯誤．10．如圖10所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向豎直向下，在磁場中有一個邊長為L的正方形剛性金屬框，ab邊的質量為m，電阻為R，其他三邊的質量和電阻均不計．cd邊上裝有固定的水平軸，將金屬框自水平位置由靜止釋放，第一次轉到豎直位置時，ab邊的速度為v，不計一切摩擦，重力加速度為g，則在這個過程中，下列說法正確的是()圖10A．通過ab邊的電流方向為a→bB．通過ab邊的電流方向為b→aC．ab邊經過最低點時的速度v＝eq\r(2gL)D．ab邊經過最低點時的速度v＜eq\r(2gL)答案BD解析ab邊向下擺動過程中，金屬框內磁通量逐漸減小，根據楞次定律及右手螺旋定則可知感應電流方向為b→a，選項A錯誤，B正確；ab邊由水平位置到達最低點過程中，重力勢能一部分轉化為焦耳熱，故v＜eq\r(2gL)，故選項C錯誤，選項D正確．二、非選擇題11.如圖11所示，電阻r＝0.3Ω、質量m＝0.1kg的金屬棒CD靜止在位于水平面上的兩條平行光滑的金屬導軌上，棒與導軌垂直且接觸良好，導軌的電阻不計，導軌的左端接有阻值為R＝0.5Ω的電阻，有一個理想電壓表接在電阻R的兩端，垂直導軌平面的勻強磁場向下穿過導軌平面．現給金屬棒加一個水平向右的恒定外力F，觀察到電壓表的示數逐漸變大，最后穩定在1.0V，此時金屬棒的速度為2m/s.圖11(1)求拉動金屬棒的外力F的大