專題18實際問題與一元一次方程內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：10大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01列一元一次方程解應用題的步驟①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數量之間關系②設：設未知數（一般求什么，就設什么為x） ③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系④列：根據這個相等關系列出需要的代數式，進而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數的值⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）知識點02用一元一次方程解決實際問題的常見類型1.行程問題：路程＝速度×時間2.順水逆水問題：順水速度=船速+水速；逆水速度=船速水速3.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率4.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價5.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量6.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數【題型1實際問題與一元一次方程之古代問題】例題：（2025·安徽淮北·三模）我國古代《孫子算經》記載了“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？”其意思是“每3人共乘一輛車，恰好空余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有9人無車可乘，問人和車的數量各是多少？”求人和車的數量．【變式訓練】1．（2025·陜西西安·模擬預測）《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一輛車，則空余兩輛車，其余車恰好坐滿；如果兩人同乘一輛車，則所有車都坐滿后還有九人步行．請問共有多少人出行？2．（2425七年級上·四川成都·期末）隔墻聽得客分銀，不知人數不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．問：人、銀各幾何？(選自《算法統宗》)題目大意：幾個人分銀子，若每人分兩，則剩余兩；若每人分兩，則差兩問：有多少個人？有多少兩銀子？(1)設人數為，請求解此題；(2)設銀子總數為兩，請求解此題．3．（2425七年級上·河南信陽·階段練習）“曹沖稱象”的故事取材于《三國志》，故事中的稱象方案是這樣的：先將象牽到船上，并在船的側面標記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個體重相同的士兵，這時水位恰好在標記位置；如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個士兵，水位在標記位置不變，已知每塊條形石的質量都是140千克．設每個士兵的體重是x千克．(1)可列出等量關系：20塊條形石的質量個士兵的體重=_______塊條形石的質量+_______個士兵的體重．(2)求x的值．(3)象的質量是_______千克．【題型2實際問題與一元一次方程之銷售問題】例題：（2025·安徽蚌埠·三模）某商場采購甲、乙兩種籃球，采購40個甲種籃球和30個乙種籃球共需要5550元，其中甲、乙兩種籃球的進價和售價如下表：甲種籃球乙種籃球進價（元/個）售價（元/個）10075(1)求上表中m的值；(2)第二次商場采購了35個甲種籃球和45個乙種籃球，由于兩種籃球進價都比上次優惠了20%，商場準備對甲種籃球進行打折出售，讓利于顧客，乙種籃球價格不變，全部售完后總利潤為1665元，求甲種籃球打了幾折．【變式訓練】(1)甲的進價______元，乙的進價______元；甲乙進價（元/袋）售價（元/袋）3．（2425七年級上·江蘇揚州·階段練習）水果批發市場批發豐水梨的價格如表：購買豐水梨（千克）單價不超過千克的部分元千克超過千克但不超過千克的部分元千克超過千克的部分元千克(1)若陳阿姨第一次購買豐水梨千克,需要付費______元；第二次購買豐水梨千克，需要付費______元；第三次購買豐水梨千克，（超過千克），需要付費______元（化簡結果用含的式子表示）．(2)若陳阿姨購買豐水梨花了元，求她買了多少千克的豐水梨？【題型3實際問題與一元一次方程之方案問題】請你算一算，按哪種方案出售比較合算．【變式訓練】1．（2425六年級下·山東威海·期中）“五一”期間，甲、乙兩個商場以同樣價格出售相同的商品，并且各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購物超過250元后，超出部分打八五折；在乙商場累計購物超過100元后，超出部分打九五折．(1)購買多少元商品時（大于250元），兩個商場的實際花費相同？(2)張阿姨要選定一個商場購買500元的商品，通過計算說明她選哪個商場購物實際花費會少些．2．（2425七年級下·湖南衡陽·期中）根據下面的兩種移動電話計費方式，考慮下列問題：方式一方式二月租費30元／月0本地通話費0.3元／分鐘0.4元／分鐘(1)一個月內在本地通話200分鐘，按方式一需交費多少元？按方式二呢？(2)本地累計通話時間為多少分鐘時，兩種計費方式收費一樣多？3．（2425七年級上·安徽合肥·階段練習）某農產品基地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為100元；經粗加工后銷售，每噸利潤可達450元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至750元．現收獲這種蔬菜140噸，該基地加工能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果對蔬菜進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加式方式不能同時進行，受季節條件的限制，公司必須在15天之內將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案．方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒有來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好在15天完成．你認為選擇哪種方案獲利【題型4實際問題與一元一次方程之配套問題】例題：（2025·陜西西安·三模）某服裝加工廠要用工業機器人生產一批上衣和褲子，已知該加工廠共有8臺機器人，每臺機器人每天可完成件上衣或條褲子，為使每天生產的上衣和褲子剛好配套（每套含1件上衣和1條褲子），請問該服裝加工廠應該安排多少臺機器人生產上衣？多少臺機器人生產褲子？【變式訓練】1．（2425七年級上·湖南長沙·期末）在勞技課上，老師組織七年級一班的學生用硬紙制作圓柱形茶葉筒．該班共有學生55人，其中男生人數比女生人數少3人，并且每名學生每小時剪筒身50個或剪筒底120個．(1)該班有男生、女生各多少人？(2)要求一個筒身配兩個筒底，為了使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套，應該分配多少名學生剪筒身，多少名學生剪筒底？2．（2425七年級下·重慶萬州·階段練習）某車間有名工人，每人每天可加工甲種零件個或乙種零件個．在這名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．(1)如果某產品要求甲種零件與乙種零件每天生產的個數按照配比，那么應該安排幾名工人加工甲種零件，幾名工人加工乙種零件？3．（2425七年級下·海南海口·階段練習）機械廠加工車間有45名工人，為了加快速度完成任務，在原有工人的基礎上調入若干名工人，使得調整后車間的總人數比調入工人的人數2倍還多5人．（請用方程解答）(1)求新調入多少工人？(2)在（1）的條件下，若工人平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？【題型5實際問題與一元一次方程之工程問題】例題：（2025·陜西渭南·模擬預測）渭河特大橋作為渭河最長干線公路橋梁，在建設過程中，有甲、乙兩個工程隊參與其中，甲、乙兩個工程隊一天共鋪設橋梁構件80件，甲工程隊施工3天比乙工程隊施工2天多鋪設橋梁構件30件，求甲工程隊每天鋪設橋梁構件的件數．【變式訓練】1．（2025九年級下·江蘇南京·專題練習）我國首臺千萬億次超級計算機“天河一號”現在安裝的是由我國自行設計制造的“飛騰”計算機中央處理器（CPU）芯片．據了解，安裝“飛騰”芯片后，“天河一號”的運算速度將在原來的基礎上提速，達到每秒1200萬億次．已知一項復雜的運算任務在安裝“飛騰”芯片后比安裝前使用其他芯片快10分鐘，請算出“天河一號”以現在的運算速度完成這項任務需多長時間．2．（2025·陜西咸陽·二模）人工智能已經成為當今社會發展的重要驅動力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司開發了甲、乙兩款AI模型．為了提高效率，實驗中學同時使用這兩款模型處理一批數據，甲模型工作了2小時，乙模型工作了3小時，一共處理了255GB數據．已知乙模型每小時處理的數據比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小時分別處理多少GB的數據？3．（2425七年級下·山西臨汾·期中）甲、乙兩工程隊承接某段隧道挖掘工程，已知該段隧道長度為600米，甲工程隊每天挖掘的長度是乙工程隊每天挖掘長度的倍，甲、乙兩工程隊合作4天完成該工程的．(1)求甲、乙兩個工程隊每天分別可挖掘隧道多少米．(2)若甲工程隊先單獨挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊單獨完成，總費用剛好94萬元．已知甲工程隊每天的挖掘費用為5萬元，乙工程隊每天的挖掘費用為3萬元，求甲工程隊單獨挖掘的天數．【題型6實際問題與一元一次方程之行程問題】【變式訓練】1．（2425七年級下·全國·假期作業）一輛汽車在A，B兩地之間不停地往返行駛，小剛從A去B，每小時4千米，汽車從B去A，途中相遇，30分鐘后汽車由A返B追上小剛；再過70分鐘后汽車由B返A的途中又與小剛相遇，再過50分鐘后汽車由A返B又追上小剛．(1)求汽車的速度；(2)求A、B兩地之間的路程；(3)在前面的條件下，若人、車分別從A、B同時出發，同向行駛，汽車從B到C處后立即返回，回到B后繼續朝A行駛，直至與小剛相遇，共用了5小時，求之間的路程．3．（2425七年級下·山西臨汾·期中）隨著全民健身的理念逐漸深入人心，跑步作為一項簡單易行，老少皆宜的運動，成為許多人日常鍛煉的首選．周末，小聰和小明準備去迎澤大街進行跑步活動．已知迎澤大橋與五一廣場之間的距離為千米．小聰從迎澤大橋出發，以10千米/時的速度向五一廣場方向跑步；小明從五一廣場出發，以8千米/時的速度向迎澤大橋方向跑步．兩人同時出發，相向而行．(1)兩人出發后多長時間相遇？(2)若小聰在出發后5分鐘發現忘記帶水壺，于是停下來休息2分鐘后以原速度返回迎澤大橋取水壺，隨后再次以原速度向五一廣場方向跑步，求兩人出發后多長時間相遇？【題型7實際問題與一元一次方程之數字問題】例題：（2425七年級下·全國·假期作業）一個兩位數，個位與十位上的數字的和是．如果這個兩位數減去，那么得到的差正好是原來的數個位與十位數字交換．求原來的數？【變式訓練】1．（2425七年級下·全國·假期作業）一個兩位數，十位上的數字是個位上數字的2倍，如果把這兩個數字對調位置，組成一個新的兩位數，所得新數與原數的和是，原來的兩位數是多少？3．（2425七年級下·河南南陽·階段練習）小剛是個愛動腦筋的同學，他將連續的奇數，，，，…排成如圖所示的形式，并用一個十字形框架框住其中的五個數．請你仔細觀察十字形框架中的數字的規律，并解答下列問題．(1)設十字形框架中間的數為，求十字形框架中的五個數的和．（用含的式子表示）(2)若將十字形框架上下左右移動，可框住另外的五個數，這五個數的和能等于嗎？若能，寫出這五個數；若不能，請說明理由．【題型8實際問題與一元一次方程之比賽問題】例題：（2025·陜西西安·模擬預測）某學校九年級開展了一次班級間的籃球比賽，規定每場比賽需分出勝負，勝1場積2分，負1場積1分．九年級共有13個班級，第一輪比賽中，每兩個班級相互之間僅比賽一場，九（1）班在完成第一輪所有比賽后，總積分為19分，問九（1）班第一輪勝了多少場？【變式訓練】1．（2025·河北邯鄲·一模）某代表隊參加知識競賽，競賽依次分必答和搶答兩個環節，規定：必答環節每隊均需答10道題．答對一題得20分，答錯或不答扣10分；搶答環節各隊共搶答10道題，搶答且答對得30分，搶答但答錯扣10分，沒有搶答得0分．初始分數為100分．(1)必答環節該隊答對7道題，求該隊必答環節后的總分數；(2)若搶答環節該隊共搶答6次，本環節得140分，請通過列方程求該隊搶答環節答對題目數．2．（2025·安徽六安·模擬預測）為慶祝中華人民共和國成立75周年，某校開展了一場知識競賽，規定答對一道題得10分，答錯一道題扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答對、答錯、不答的題數如下表：班級答對答錯不答八（1）班1541八（2）班13八（1）班最終得分比八（2）班多21分，求八（2）班答錯了幾道題．3．（2425七年級上·江蘇宿遷·期末）某校七年級組織數學知識競賽，共設20道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了3個參賽者的得分情況．參賽者答對題數答錯題數得分(1)觀察表格數據并填空，參賽者答對1道題得______分，答錯1道題得______分；(2)參賽者小明得80分，他答對了幾道題？【題型9實際問題與一元一次方程之幾何問題】【變式訓練】1．（2025·陜西西安·一模）如圖，在一個正方形中先剪去一個寬為的長方形，再從剩下部分剪去一個寬為的長方形，若剪下來的兩個長方形面積相等，求原正方形的面積．(3)當點P與點Q到點B的距離相等時，求t的值．【題型10實際問題與一元一次方程之電費和水費問題】例題：（2425七年級下·全國·假期作業）為倡導合理利用電資源，電力局推行了居民申請使用“峰谷”電制度，具體如下圖所示．已知一個家庭使用峰谷電的某月電費為元，經測算，比不使用峰谷電節約元，該家庭當月使用峰電和谷電各多少千瓦時？不使用峰谷電：每千瓦時元【變式訓練】1．（2425七年級下·四川眉山·期中）“水是生命之源”，我縣自來水公司鼓勵居民節約用水，收費按以下標準：用水量/月單價（元/）(2)某用戶2月份共繳納水費80元，那么該用戶2月份用水多少？2．（2425六年級下·山東東營·期中）今年春節期間，電影《哪吒2》特別火爆，小強一家去某電影院觀看此部電影，到了影院后，看到有以下優惠活動方案：優惠方案一會員費200元，票價35元/人．優惠方案二原票價50元/人，成人原價，學生票價是原價的5折．(1)若小強一家6人（成人4人，學生2人），優惠方案一所需費用元；優惠方案二所需費用元；他選擇優惠方案（填“一”或“二”）劃算？(2)若成人人數是學生人數的2倍且兩種優惠方案所付費用相等，求成人、學生各多少人？3．（2425七年級下·河南周口·階段練習）為增強居民節約用電意識，某市對居民用電實行“階梯收費”，具體收費標準如下表所示：一戶居民一個月用電量電費價格（元/千瓦時）不超過千瓦時的部分超過千瓦時的部分某居民五月份用電千瓦時，繳納電費元．(1)求x和超出部分的電費單價．(2)若該戶居民六月份繳納電費元，求該戶居民六月份的用電量．一、單選題1．（2425九年級下·江蘇無錫·期中）我國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，問有幾房幾客？”意思是：一批客人來到李三店中住宿，如果每間客房住7人，那么有6人無房可住；如果每間客房住8人，那么就空出1間房．問有多少間客房？多少客人？設有x間房，則可列出方程是（

）2．（2425六年級下·山東泰安·期中）某校為了增強學生的防范電信網絡詐騙意識，舉行了一次知識搶答賽，搶答題一共20個，記分規則如下：每答對一個得5分，每答錯或不答一個扣1分．小勇一共得76分，則小勇答對的個數為（

）A．16 B．15 C．13 D．143．（2425七年級下·全國·假期作業）一項工程，甲單獨做要天，乙單獨做要天，丙單獨做要天，三人合做期間，甲因故請假，工程6天完工，則甲請了（）天假．A．1 B．3 C．5 D．64．（2425七年級下·全國·假期作業）一個兩位數，十位上的數字是個位上的，把十位上數字與個位上數字調換后，新數比原數大18，則原數個位數字和十位數字之和是（）A．10 B．12 C．18 D．215．（2025·山東菏澤·三模）如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作．．．根據以上操作，若要得到2026個小正方形，則需要操作的次數是（

）A．669 B．670 C．671 D．675二、填空題6．（2425七年級下·福建泉州·期中）爸爸和小北共下9局棋（未出現和棋），記分規則：爸爸贏一局記1分，小北贏一局記2分．若爸爸和小北得分相同，則爸爸贏了局．7．（2025·湖南·模擬預測）我國明代數學家程大位所著《算法統宗》卷十第十五題記載：“隔墻聽得客分銀，不知人數不知銀．六兩分之盈三兩，八兩分之不足五．借問諸君能算者，多少客人多少銀？”其大意:客人一起分銀子，若每人6兩，則多出3兩；若每人8兩，則還差5兩．若設有x人，則可得一元一次方程．9．（2425七年級下·全國·假期作業）如圖，甲、乙兩人沿著邊長為70米的正方形，按逆時針的方向行走，甲從A以65米/分的速度行走，乙從B以72米/分的速度行走，當乙第一次追上甲時，是在正方形的邊（、、或）上．10．（2425六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，已知、分別為數軸上的兩點，點對應的數為，點對應的數為．有一只電子螞蟻從點出發，以個單位長度秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發，以個單位長度秒的速度向左運動，則它們相遇點所對應的數是．三、解答題11．（2425七年級下·全國·假期作業）一個防盜門的密碼由4個數字按從大到小的順序組成，這4個數字之和是16，并且相鄰的兩個數字都相差2，這個密碼是多少？12．（2025·安徽合肥·三模）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，其中“盈不足術”記載：今有共買雞，人出九，盈十一：人出六，不足十六、問人數雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數、買雞的錢數各是多少？13．（2425七年級下·全國·假期作業）游泳館推出兩種付費方式：方式一，單次卡，每次收費元；方式二，辦理會員年卡，一次繳納元會員費，每次游泳另外收費元（一年內有效）．(1)爸爸游泳鍛煉的計劃是一年，每月兩次．他選擇哪種方式更劃算？請寫出簡要的思考過程．(2)一年內游泳達到幾次時，兩種付費方式所用錢數相等？請寫出簡要的思考過程．14．（2025·陜西西安·模擬預測）習近平總書記強調：“一個博物院就是一所大學校”．某校聯系研學社組織學生到博物院研學，研學社報價每人收費400元，當研學人數超過50時，研學社給出兩種優惠方案：方案一：研學團隊先交1800元后，再每人收費320元；方案二：5人免費，其余每人收費打九折．已知研學人數超過50，且上述兩種方案的收費相同，求研學人數．15．（2425七年級下·福建漳州·期中）如圖是2025年4月的月歷，觀察月歷，解答下列問題：(1)小寶這個月外出旅行三天，三天日期之和是36，求小寶出發的日期．(2)月歷中“十”字型陰影圖形能覆蓋其中五個數字，則五個數字之和能否等于100？若能，求出其中最小的數字；若不能，請說明理由．16．（2025·湖南長沙·三模）近期“國家喊你減肥了”話題沖上熱搜，為了讓大家有一個健康的身體和良好的生活習慣，某學校組織全體中學生參加健康生活方式知識競賽，共設道選擇題，各題分值相同，每題必答，如表記錄了5個參賽者的得分情況．參賽者答對題數答錯題數得分A1B4C7DE0(1)填空：每答對一道題得______分，每答錯一道題扣_____分；(2)參賽者得分，他答對了幾道題？(3)參賽者說他得分，你認為可能嗎？請通過計算說明．17．（2425七年級下·全國·假期作業）A、B兩市相距千米，兩市之間一處因山體滑坡導致連接這兩市的公路受阻，甲、乙兩個工程隊接到指令，要求于早上7點，分別從A、B兩