【暑期預習銜接講義】20252026學年人教版九年級數學上冊第九講：二次函數y=ax2+k的圖象和性質 （知識總結梳理+4大考點典例精講+變式訓練+高頻精煉）知識點01：二次函數y=ax2+k的圖象和性質二次函數y=ax2+k(a≠0)的性質知識點02：二次函數y=ax2+k(a≠0)的圖象及平移知識點03：思維導圖考點1：二次函數y=ax2+k的頂點【典型例題】【答案】D【分析】本題考查了二次函數的性質，根據頂點式解析式寫出頂點坐標即可得解，熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵．故選：．【變式訓練1】考點2：二次函數y=ax2+k的圖象和性質的應用【典型例題】關于二次函數y＝﹣2x2+1，以下說法正確的是（）A．開口方向向上 B．頂點坐標是（﹣2，1）C．當x＜0時，y隨x的增大而增大 D．當x＝0時，y有最大值﹣【答案】C【分析】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數y＝﹣2x2+1，∴該函數圖象開口向下，故選項A錯誤；頂點坐標為（0，1），故選項B錯誤；當x＜0時，y隨x的增大而增大，故選項C正確；當x＝0時，y有最大值1，故選項D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．【變式訓練1】拋物線y＝－1＋3x2()A．開口向上，且有最高點 B．開口向上，且有最低點C．開口向下，且有最高點 D．開口向下，且有最低點【答案】B【分析】拋物線y=1+3x2的二次項系數是3＞0，因而拋物線的開口一定向上，則函數一定有最小值，圖象存在最低點．【詳解】解：∵拋物線y=1+3x2的二次項系數是3＞0，∴拋物線y=1+3x2開口向上，且有最低點．故選B．【變式訓練2】【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數圖像的性質，根據二次函數的圖像開口方向和頂點坐標得出答案．符合條件的圖象是B．故選：B．考點3：二次函數y=ax2+k在自變量范圍內求最值問題【典型例題】A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據拋物線解析式判斷出函數的增減性，然后選取x值代入即可．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的性質，判斷出二次函數的增減性是解題關鍵．【變式訓練1】【答案】D∴二次函數的開口向上，對稱軸為y軸，故選D．【點睛】本題主要考查了求二次函數函數值的范圍，解題的關鍵在于能夠熟練掌握二次函數圖像的性質．考點4：二次函數y=ax2+k的增減性問題【典型例題】【答案】A【分析】確定拋物線的對稱軸，根據兩點離對稱軸的遠近，再結合拋物線的開口方向即可判斷出、的大小關系．而拋物線開口向上，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，當拋物線開口向上時，拋物線上離對稱軸越近的點，其函數值越小，反之則越大，掌握此特點是關鍵．當然，由于本題給出了具體的二次函數式及兩點的橫坐標，也可求得這兩點的縱坐標，比較縱坐標即可．【變式訓練1】【答案】A【分析】根據二次函數圖象上點的坐標特征，把三個點的坐標分別代入二次函數解析式，計算出，，的值，然后比較它們的大小．故選：A．【點睛】此題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵在于把坐標代入解析式．【答案】C故選C．一、單選題A．第一、二象限B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限【答案】C【分析】根據二次函數的各項的系數即可判斷二次函數的圖象位置．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是能夠根據二次函數的各項的系數的符號確定二次函數的圖象位置．A．對稱軸 B．開口方向 C．頂點 D．形狀【答案】C而且兩條拋物線的形狀相同；故C符合題意；A，B，D不符合題意；故選C【答案】B【分析】與拋物線y＝?x2?1頂點相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線，即與拋物線y＝?x2?1只有二次項系數不同．【詳解】與拋物線y＝?x2?1頂點相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線，即與拋物線y＝?x2?1只有二次項系數不同．即y=x21．故選B．【點睛】考查了二次函數圖象與系數之間的關系，解題關鍵是運用了二次項系數確定函數開口方向．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據二次函數的圖象與性質進行分析求解即可，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．∴拋物線開口向下，與軸交點在負半軸上，∴圖象大致是：故選：．A．開口方向 B．對稱軸 C．頂點坐標 D．形狀【答案】C【分析】本題考查二次函數的圖像、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．根據二次函數的性質，可以寫出兩個函數的相同之處和不同之處，即可解答本題．故選：C．【答案】B∴拋物線開口向下，故A錯誤；∵拋物線的對稱軸是y軸，故C錯誤；∴拋物線與x軸沒有交點，故D錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的系數的幾何意義，是解題的關鍵．A．開口向上 B．開口向下 C．開口向左 D．開口向右【答案】B故選：B．D．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降【答案】D【分析】根據二次函數圖象的性質逐項判斷即可．故答案為：D．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，理解二次函數圖象與解析式系數的關系是解答本題的關鍵．【答案】B【分析】根據二次函數的圖像和性質進行判斷即可．圖象開口向下，故A正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查二次函數的圖像和性質，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．【答案】A【分析】根據拋物線解析式可得拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝0，根據各點到對稱軸距離的大小求解．∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝0，離對稱軸越近函數值越小，故選：A．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數圖象與系數的關系．【答案】D【分析】利用二次函數的性質逐一判斷即可．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標的特征及二次函數的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．二、填空題【答案】y軸【分析】根據二次函數的圖象與性質，即可求解．故答案為：y軸．【答案】大5【分析】根據開口方向向下得到有最大值，根據對稱軸為y軸得到當x=0時，y最大為5．∴二次函數有最大值，又其對稱軸為y軸，∴當x=0時，y最大為5，故答案為：大，5．【點睛】本題考查二次函數的性質，屬于基礎題，熟練掌握二次函數的性質是解決本題的關鍵．【答案】上升故答案為：上升．15．設A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣x2+2a上的三點，則y1，y2，y3由小到大關系為．【答案】y3＜y1＜y2【分析】先根據拋物線解析式得到拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據二次函數的性質，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函數值的大小．∴拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∵而B（0，y2）在對稱軸上，A（﹣1，y1）到對稱軸的距離比C（2，y3）近，∴y3＜y1＜y2．故答案為：y3＜y1＜y2．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，能熟記二次函數的性質是解此題的關鍵．【答案】【分析】先求出拋物線的對稱軸，然后根據二次函數的性質解決問題．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數的增減性，解題的關鍵是根據拋物表達式得出函數的開口方向和對稱軸，從而分析函數的增減性．17．若點A（1，m）和B（2，n）在二次函數y=x2+20圖象上，則mn（填大小關系）【答案】＞【分析】拋物線開口向下，且對稱軸為y軸，根據二次函數的性質即可判定．【詳解】解：∵二次函數的解析式為y=x2+20，∴該拋物線開口向下，對稱軸為y軸，在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，∵點A（1，m）和B（2，n）在二次函數y=x2+20圖象上，1＞2，∴m＞n．故答案為：＞．【點睛】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點的理解和掌握，能求出對稱軸和根據二次函數的性質求出正確答案是解此題的關鍵．【答案】【分析】把已知點的坐標代入拋物線解析式可得到的值．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是掌握二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數的性質和等腰直角三角形的性質．三、解答題20．在同一直角坐標系中，畫出下列三條拋物線：（1）觀察三條拋物線的相互關系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標；【分析】（1）首先利用取值、描點、連線的方法作出三個函數的圖象，根據二次函數圖象，可得二次函數的開口方向，對稱抽，頂點坐標，通過觀察歸納它們之間的關系．【詳解】解：（1）列表：…3210123……202…【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，畫出圖象，發現圖象的變化規律是解答此題的關鍵．(1)求這個函數的關系式；(2)寫出當x為何值時，函數y隨x的增大而減少．【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式及二次函數的性質，解題的關鍵是利用待定系數法求出函數的關系式．（1）利用待定系數法即可求出函數的關系式．（2）由開口及對稱軸即可判定出當為何值時，函數隨的增大而減少．拋物線開口向下，22．已知二次函數y＝ax2+b的圖象與直線y＝x+2相交于點A（1，m），點B（n，0）．（1）求二次函數的解析式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）選取適當的數據填入下表，并在圖中的直角坐標系內描點畫出該拋物線的圖象；x…………y…………（3）畫出這兩個函數的圖象，并結合圖象直接寫出ax2+b＞x+2時x的取值范圍．【答案】（1）對稱軸為