福建省師大附中2016屆高三上學期期中考試數學（文）試題一、選擇題1.設函數f(x)=x^3-3x+1，若存在實數a，使得f(a)=0，則方程f'(x)=0的根的個數為：A.1B.2C.3D.無法確定2.已知數列{an}中，a1=1，an+1=an^2+an+1，則數列{an}的通項公式為：A.an=(1/2)^nB.an=(1/2)^(n-1)C.an=(1/2)^n+1D.an=(1/2)^(n-1)+13.在直角坐標系中，拋物線y^2=2px(p>0)的焦點為F，點P(x,y)在拋物線上，則|PF|+|PF'|的最小值為：A.pB.2pC.2√2pD.4p4.設a、b是實數，且|a|=|b|=1，則下列等式中正確的是：A.a^2+b^2=2B.a^2-b^2=0C.a^2+b^2=0D.a^2-b^2=25.已知等差數列{an}中，a1=2，公差d=3，若數列{bn}的通項公式為bn=2an+1，則數列{bn}的前10項和為：A.220B.230C.240D.250二、填空題1.已知函數f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若f(x)在x=1時取得最小值，則b的值為______。2.若等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=35，S10=110，則該等差數列的公差d為______。3.在平面直角坐標系中，若點A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共線，則x的值為______。4.若函數f(x)=x^3-3x+2在x=1處取得極值，則該極值為______。5.已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，則數列{an}的通項公式為______。三、解答題1.已知函數f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若f(x)在x=1時取得最小值，求a、b的值。2.設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=35，S10=110，求該等差數列的公差和前20項和。3.在平面直角坐標系中，若點A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共線，求x和y的值。4.已知函數f(x)=x^3-3x+2在x=1處取得極值，求該極值。5.已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求該數列的通項公式。四、解答題6.設函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求證：對于任意實數x，都有f(x)+f(1/x)=3。五、解答題7.已知數列{an}的通項公式為an=3n-2，求該數列的前n項和Sn，并證明Sn是關于n的二次函數。六、解答題8.在平面直角坐標系中，已知點A(2,3)和點B(4,-1)，求過這兩點的直線方程，并求該直線與x軸和y軸的交點坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數f(x)=x^3-3x+1的導數為f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x^2=1，即x=±1。由于f(x)在x=1時取得最小值，故f'(x)=0的根的個數為2。2.A解析：由an+1=an^2+an+1，得an^2+an+1-an=an+1-an，即an(an+1-1)=an+1-an。當n≥2時，有an=an-1(an-1-1)。代入a1=1，得a2=1(1-1)=0，a3=0(0-1)=-1，a4=-1(-1-1)=-2，以此類推，可得an=(1/2)^n。3.C解析：拋物線y^2=2px的焦點為F(p/2,0)。點P(x,y)在拋物線上，則|PF|=√[(x-p/2)^2+y^2]。由于y^2=2px，代入得|PF|=√[(x-p/2)^2+2px]。|PF'|=|PF|=√[(x-p/2)^2+2px]。所以|PF|+|PF'|=2√[(x-p/2)^2+2px]。當x=p/2時，|PF|+|PF'|取得最小值，最小值為2√2p。4.B解析：由|a|=|b|=1，得a^2=b^2=1。所以a^2-b^2=1-1=0。5.A解析：數列{bn}的前10項和為b1+b2+...+b10=(2a1+1)+(2a2+1)+...+(2a10+1)=2(a1+a2+...+a10)+10。由等差數列求和公式，得a1+a2+...+a10=5(a1+a10)/2=5(2+2*9)/2=5*10=50。所以b1+b2+...+b10=2*50+10=110。二、填空題1.-2a解析：函數f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得最小值，則f'(1)=0。由f'(x)=2ax+b，得2a+b=0，即b=-2a。2.3解析：由等差數列求和公式，得S5=5(a1+a5)/2=5(2+4d)/2=5(2+2d)=35，S10=10(a1+a10)/2=10(2+9d)/2=10(2+4.5d)=110。解得d=3。3.-2解析：由點A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共線，得斜率kAB=kAC。斜率kAB=(3-2)/(-2-1)=-1/3，斜率kAC=(y-3)/(x-(-2))。解得y=2x+1，代入得x=-2。4.-1解析：函數f(x)=x^3-3x+2在x=1處取得極值，則f'(1)=0。由f'(x)=3x^2-3，得3*1^2-3=0，即f'(1)=0。代入f(x)得f(1)=-1。5.2^n-1解析：由an+1=2an+1，得an=2an-1+1。代入a1=1，得a2=2*1+1=3，a3=2*3+1=7，以此類推，可得an=2^n-1。三、解答題1.解：由f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得最小值，得f'(1)=0。由f'(x)=2ax+b，得2a+b=0。又因為f(1)=a+b+c取得最小值，得a+b+c=1。解得a=1，b=-2，c=0。2.解：由S5=35，得5(a1+a5)/2=35，解得a1+a5=14。由S10=110，得10(a1+a10)/2=110，解得a1+a10=22。由等差數列的性質，得a5=a1+4d，a10=a1+9d。解得d=3，a1=2。所以Sn=5(a1+a10)/2*n=5(2+22)/2*n=5*12*n=60n。3.解：由點A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共線，得斜率kAB=kAC。斜率kAB=(3-2)/(-2-1)=-1/3，斜率kAC=(y-3)/(x-(-2))。解得y=2x+1，代入得x=-2，y=2*(-2)+1=-3。4.解：函數f(x)=x^3-3x+2在x=1處取得極值，則f'(1)=0。由f'(x)=3x^2-3，得3*1^2-3=0，即f'(1)=0。代入f(x)得f(1)=-1。5.解：由an+1=2an+1，得an=2an-1+1。代入a1=1，得a2=2*1+1=3，a3=2*3+1=7，以此類推，可得an=2^n-1。四、解答題6.解：證明：對于任意實數x，有f(x)+f(1/x)=3。證明過程如下：f(x)=x^3-6x^2+9x+1f(1/x)=(1/x)^3-6(1/x)^2+9(1/x)+1f(x)+f(1/x)=x^3-6x^2+9x+1+(1/x)^3-6(1/x)^2+9(1/x)+1=(x^3+1/x^3)-(6x^2+6/x^2)+9(x+1/x)+2=(x^3+1/x^3)+2-6(x^2+1/x^2)+9(x+1/x)=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+2=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+3-1=(x+1/x-1)^3+1=(x+1/x-1)^3+1^3=(x+1/x-1+1)(x+1/x-1)^2=(x+1/x)^2=(x^2+2+1/x^2)=(x^2+1/x^2)+2=3五、解答題7.解：數列{an}的前n項和為Sn=3(1+2+...+n)-2n=3n(n+1)/2-2n=3n^2/2+n-2n=3n^2/2-n。證明：Sn=3n^2/2-n是關于n的二次函數。證明過程如下：設Sn=an^2+bn+c，代入n=1，得a+b+c=3*1^2/2-1=1/2。代入n=2，得4a+2b+c=3*2^2/2-2=5。代入n=3，得9a+3b+c=3*3^2/2-3=12。解得a=3/2，b=-3/2，c