試題試題2024北京二十中高三10月月考數(shù)學時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函數(shù)中，值域為且為偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.4.已知，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，若，，，則a，b，c從小到大排序是（）A. B. C. D.6.的值可以為（）A.?8 B. C.8 D.97.在中，，，，若滿足條件的有2個，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，，，且在且單調，則的最大值為（）A.7 B.9 C.11 D.139.設an為等比數(shù)列，則“對于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.“學如逆水行舟，不進則退：心似平原跑馬，易放難收”（明：《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的．假設初始值為1，如果每天的“進步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“進步者”是“退步者”的倍．照此計算，大約經(jīng)過（）天“進步者”是“退步者”的2倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A.35 B.37 C.38 D.39二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)=的定義域是_________.12.等差數(shù)列中，若為的前項和，則______．13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則______；______．14.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則，兩點間的距離為______.15.已知函數(shù)，（?。┤粼谏蠁握{，則的取值范圍是_______；（ⅱ）若對任意的，，則的最大值為______．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出相應文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．17.已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間．18.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的最大值與最小值.19.在中，已知，請從下列三個條件中選擇兩個，使得存在，并解答下列問題：（1）求的大小；（2）求和的值．條件①：；條件②：；條件③：．20.設函數(shù)，其中．（Ⅰ）已知函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）若，證明：當時，；（Ⅲ）若在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，求的取值范圍．21.已知有限集X，Y，定義集合，表示集合X中的元素個數(shù).（1）若，求集合和，以及的值；（2）給定正整數(shù)n，集合，對于實數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合①求證：；②求的最小值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】D【分析】根據(jù)并集的概念，可直接得出結果.【詳解】因為集合，，所以.故選：D.2.【答案】B【分析】根據(jù)乘法運算可得，結合復數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因為，可知復數(shù)對應的點為，位于第二象限.故選：B.3.【答案】C【分析】對于A：根據(jù)余弦函數(shù)值域分析判斷；對于BD：代值結合偶函數(shù)定義分析判斷；對于C：根據(jù)偶函數(shù)定義以及二次函數(shù)分析判斷.【詳解】對于A：的值域為，故A錯誤；對于B：令，則，即，可知不為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：令，可知的定義域為R，且，可知為偶函數(shù)，當時，可知在內(nèi)單調遞增，則，結合偶函數(shù)的性質可知的值域為，故C正確；對于D：令，則，即，可知?x不為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C.4.【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調性分析判斷AC；對于BD：舉反例說明即可.【詳解】對于AC：因為，且、均在定義域R內(nèi)單調遞增，則，，故A錯誤，C正確；對于BD：例如，則，，故BD錯誤；故選：C.5.【答案】A【分析】直接代入計算即可得結論.【詳解】由題可知：，，，由函數(shù)在定義域中是單調遞增的函數(shù)，所以.故選：A.6.【答案】B【分析】分，兩種情況求得的取值范圍，可得結論.【詳解】當時，，當且僅當，即時取等號，當時，，當且僅當，即時取等號，所以的取值范圍為.故選：B.7.【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理，結合三角形解的個數(shù)，即可列式求解.【詳解】根據(jù)正弦定理，，則，若滿足條件的有兩個，則，解得，所以的取值范圍是.故選：D.8.【答案】C【分析】由題意可得是函數(shù)的一條對稱軸，進而可得，，計算可得或，結合在單調，可得結論.【詳解】函數(shù)，所以，所以①，又，所以是函數(shù)的一條對稱軸，所以②，由①②可得，又因為，所以，且或，又函數(shù)的最小正周期，又在單調，所以，所以，所以的最大值為.故選：C.9.【答案】C【分析】根據(jù)充分、必要條件、等比數(shù)列的單調性等知識進行分析，從而確定正確答案.【詳解】因為an為等比數(shù)列，，所以，所以，因為，解得，又，數(shù)列，所以“對于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的充分條件；因為an為等比數(shù)列，所以數(shù)列為等比數(shù)列，又遞減數(shù)列”，則可得，所以，所以“對于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要條件；所以“對于任意的，”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的充要條件.故選：C.10.【答案】A【分析】根據(jù)題意列出不等式，利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質求解即可．【詳解】假設經(jīng)過天，“進步者”是“退步者”的2倍，列方程得，解得，即經(jīng)過約35天，“進步者”是“退步者”的2倍．故選：A．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【詳解】∵函數(shù)=∴要使函數(shù)有意義，則∴∴函數(shù)=的定義域為故答案為12.【答案】【分析】先由等差數(shù)列的性質得，再由求和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列性質可知，則，所心.故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】利用函數(shù)圖象求得周期，可求得，進而利用函數(shù)過點，可求得進而驗證可得結論.【詳解】由圖象可得周期為，所以，解得，所以，又函數(shù)過點，所以，又，所以或，當，，是函數(shù)的圖象向左移動而得，符合題意；當，，是函數(shù)的圖象向左移動而得，與圖象不符合，故舍去.所以；.故答案為：；.14.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得各個角度，即可得AD長，根據(jù)正弦定理，可得BD長，根據(jù)余弦定理，即可得答案.【詳解】因為，，所以，，所以，又因為，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得.故答案為：15.【答案】①.；②..【分析】（1）利用導函數(shù)與函數(shù)的單調性的關系求解即可；（2）分類討論可得，進而利用已知可得，可得，令，利用導數(shù)求得最大值即可.【詳解】（i）由，得，當在上單調遞增時，則恒成立，即在上恒成立，所以，當在上單調遞減時，則恒成立，即在上恒成立，所以，所以的取值范圍是.（ii）因為，，所以，當時，恒成立，所以在上單調遞增，且當時，，不符合題意，當時，則當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，，令，則，當時，，函數(shù)在在上單調遞增，當時，，函數(shù)在在上單調遞減，所以，所以，所以.所以的最大值為.故答案為：（i）；（ii）.【點睛】思路點睛：本題考查兩個變量差的最大值問題，通過不等式恒成立，找到兩個變量之間的關系是關鍵，進而轉化為函數(shù)的最值處理即可.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出相應文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）（2）【分析】（1）設公比為，根據(jù)等差中項可得，根據(jù)等比數(shù)列通項公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分組求和結合等差、等比數(shù)列求和公式運算求解.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，且，因為，，成等差數(shù)列，則，即，解得或（舍去），所以的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可知：，則，所以.17.【答案】（1）（2）和【分析】（1）整理可得，結合最小正周期求的值；（2）由（1）可知：，以為整體，結合正弦函數(shù)的單調性分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，設的最小正周期為，由題意可知：，即，且，則，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，因為，則，且在，內(nèi)單調遞增，在內(nèi)單調遞減，令，，解得，，所以在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間為和.18.【答案】（1）（2）函數(shù)的最大值為2，最小值【分析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切點和切線斜率，即可得切線方程；（2）根據(jù)求導判斷的單調性，結合單調性分析最值.【小問1詳解】因為，則，可得，即切點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為.【小問2詳解】由（1）可得，且，則，令，則，解得；令，則，解得；可知在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，又因為，且，所以函數(shù)的最大值為2，最小值.19.【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【分析】（1）若選擇①②：利用正弦定理可得，結合可知，則，即可得結果；若選擇①③：由正弦定理可得，由可知，即可得結果；若選②③：根據(jù)三角形的性質分析得出矛盾；（2）由（1）可知：不能選②③.只能選擇①②或選擇①③，利用同角三角關系以及兩角和差公式求，再利用正弦定理求的值.【小問1詳解】若選擇①②：，，在中，由正弦定理得．因為，即，可知，所以；若選擇①③：，，在中，因為由正弦定理得．在中，，即，可知，所以；若選②③：，，因為，即，可知；又因為，即，可知；兩者相矛盾，故不成立.【小問2詳解】由（1）可知：不能選②③.若選擇①②：在中，，即，可知，且，可得，則，可知，則，由正弦定理可得，又因為，所以；選擇①③：在中，，即，可知，且，可得，則，且，可得，又因為，則，由正弦定理可得．20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義，化簡后可得實數(shù)的值；（Ⅱ）利用導數(shù)分析函數(shù)在0,+∞上的單調性，進而可證得；（Ⅲ）令得，令，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性與極值，利用數(shù)形結合思想可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，整理得對任意的恒成立，；（Ⅱ）當時，，則，，則，，，所以，函數(shù)在0,+∞上單調遞增，當時，；（Ⅲ）由，得，設函數(shù)，，則，令，得．隨著變化，與的變化情況如下表所示：極大值所以，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．又因為，，，且，如下圖所示：所以，當時，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同解，因此，所求實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，利用導數(shù)證明函數(shù)不等式，同時也考查了利用導數(shù)求解函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查推理能力與數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.21.【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①見解析；②【分析】（1）直接根據(jù)定義求解即可；（2）①分若A∪B中含有一個不在S中的元素和，且，兩種情況討論即可，當，且時，可通過得證；②結合①知，討論若，