試題試題2024北京和平街一中高三10月月考數學（2024.9.29）（考試時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.設全集，集合，則集合（）A. B.C. D.2.設，向量，，且，則（）A. B. C. D.103.若復數的實部與虛部相等，則實數a的值為（）A.-3 B.-1 C.1 D.34.在下列函數中，值域為的偶函數是（）A. B.C. D.5.《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規格有五種.這五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A.64 B.96 C.128 D.1606.如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點，則（）A. B.C. D.7.已知向量，滿足，且其夾角為，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.對于定義在上的函數，若存在非零實數，使函數在和上均有零點，則稱為函數的一個“折點”.下列四個函數存在“折點”的是（）A. B.C. D.9.把液體放在冷空氣中冷卻，如果液體原來的溫度是，空氣的溫度是，則min后液體的溫度可由公式求得．把溫度是的液體放在的空氣中冷卻，液體的溫度冷卻到和所用時間分別為min，min，則的值約為（）（參考數據）A.2.7 B.3.7 C.4.7 D.5.710.已知函數，若不等式對任意的恒成立，則實數k的取值范圍是（）A.?∞,1 B. C. D.二、填空題（每小題5分，共25分）11.函數的定義域為_________.12.已知為遞增等比數列的前項和，其中，，成等差數列，且，則______.13.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點滿足，則_______；若點H是線段AP上的動點，則的取值范圍是_________．14.已知函數，若在上不具有單調性，則的取值范圍是_______________.15.已知等差數列的前項和為，且.數列的前項和為.給出下列四個結論：①；②；③使成立的的最大值為4048；④當時，取得最小值.其中所有正確結論的序號是_____________.三、解答題（共6小題，共85分）16.已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）令，，其中，若的值域為，求和的值.17.已知等比數列為遞增數列，其前項和為，，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列是首項為1，公差為3的等差數列，求數列的通項公式及前項和.18.在中，，，在從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：（1）的值；（2）的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19.某市，兩所中學的學生組隊參加信息聯賽，中學推薦了3名男生、2名女生.中學推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊參賽.（1）求中學至少有1名學生入選代表隊的概率；（2）設表示中學參賽的男生人數，求的分布列和數學期望；（3）已知3名男生的比賽成績分別為76，80，84，3名女生的比賽成績分別為77，，81，若3名男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，寫出的取值范圍（不要求過程）.20.已知函數，設.（1）若，求的單調區間；（2）若在區間上存在極小值m，（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：．21.已知無窮數列an，給出以下定義：對于任意的，都有，則稱數列an為“數列”；特別地，對于任意的，都有，則稱數列an為“嚴格數列”.（1）已知數列an，bn的前項和分別為，，且，，試判斷數列，數列是否為“數列”，并說明理由；（2）證明：數列an為“數列”的充要條件是“對于任意的，，，當時，有”；（3）已知數列bn為“嚴格數列”，且對任意的，，，.求數列bn的最小項的最大值.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.【答案】D【分析】根據集合的補集、并集運算求解即可.【詳解】因為全集，集合，，所以，.故選：D2.【答案】C【分析】先根據平面向量垂直的坐標公式求出，再根據平面向量線性運算的坐標表示及模的坐標公式即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，則，所以.故選：C.3.【答案】A【分析】利用復數的除法，將復數表示為一般形式，然后利用復數的實部與虛部相等求出實數的值.【詳解】解：因為復數的實部與虛部相等，所以，解得故實數a的值為.故選：A4.【答案】B【分析】通過函數的奇偶性和值域對選項進行排除，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，函數的定義域為，故為非奇非偶函數，不符合題意.對于B選項，的定義域為，且，所以為偶函數，由于，所以的值域為，符合題意.對于C選項，，故的值域不為.對于D選項，的定義域為，且，所以為奇函數，不符合題意.故選：B【點睛】本小題主要考查函數的奇偶性和值域，屬于基礎題.5.【答案】C【分析】設等差數列公差為，求得，得到，結合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，設公差為，因為，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.6.【答案】D【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.【詳解】.故選：D7.【答案】C【分析】由向量夾角的概念和充要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解：，且其夾角為；(1)由得：；；又；；即；是的充分條件；(2)由得：；；；；是的必要條件；綜上得，“”是“”的充分必要條件．故選C．【點睛】本題考查向量數量積的運算和向量夾角的概念，考查充分條件、必要條件及充要條件的概念，屬于基礎題．8.【答案】D【分析】根據題意分別判斷每個函數的零點情況，對A、B直接判斷出沒有零點，C選項通過求導判斷函數的單調性，然后可得函數只有一個零點，D選項可判斷最小值小于零，所以有兩個零點.【詳解】因為恒成立，所以函數不存在零點，所以函數不存在折點，故A錯誤；因為，所以函數不存在零點，即不存在折點，故B錯誤；對函數，，時，或；時，，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，所以函數只有一個零點，所以函數不存在折點，故C錯誤；對于函數，由于，結合圖像可知該函數一定有折點，故D正確；故選：D.【點睛】方法點睛：對于函數零點的求解方法：（1）通過求解方程的根；（2）將函數移項變形得，數形結合將零點問題轉化為兩個函數的交點問題.9.【答案】B【分析】根據題目給的溫度公式，代入計算即可.【詳解】由已知，，所以，，所以.故選：.10.【答案】A【分析】先求出函數在處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象，利用數形結合進行求解即可.【詳解】當時，，所以函數在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象如下圖的所示：利用數形結合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數k的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用數形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數的應用，屬于中檔題.二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】根據函數特征解不等式組，即可得解.【詳解】由題：函數，所以，即，解得，所以函數的定義域為.故答案為：【點睛】此題考查根據已知函數求定義域，關鍵在于準確求解不等式組，注意結果寫成集合或區間形式.12.【答案】31【分析】由等差中項可得,由等比中項可得,根據遞增數列可得,即可求得公比,進而代入等比數列的前項和公式求解即可.【詳解】,又,且遞增等比數列,解得或（舍去）,設等比數列的公比為,由,得,,故答案為:31【點睛】本題考查等比數列的定義的應用,考查等差中項、等比中項的應用,考查等比數列的前項和公式的應用.13.【答案】①.②.[1，2]【分析】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，由可求出點坐標；點H是線段AP上的動點，設，由數量積的坐標運算結合的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，所以，由，可得：，所以，所以，故，點H是線段AP上的動點，所以，則,，，，因為，，所以.故的取值范圍是[1，2].故答案為：；[1，2].14.【答案】【分析】首先分析各段函數的單調性，要使在上是增函數，則，求出的取值范圍，則在上不具有單調性，即為剛剛求出的的范圍的補集.【詳解】因為在定義域上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞減，又，要使在上是增函數，則，解得；若在上不具有單調性，則或，即的取值范圍是.故答案為：15.【答案】①②④【分析】由與的關系即可判斷①；由等差數列的性質即可判斷②③；由數列的正負規律即可判斷④.【詳解】，，所以，故①正確；因為數列為等差數列，所以，公差，所以，因為，所以，由，所以，即，故②正確；因為，，所以成立的的最大值為，故③不正確；因為，，所以當時，，當時，，當時，，所以當時，取得最小值，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】方法點睛：解決數列前項和的最值問題的一般方法有以下兩類：（1）先求出數列的前項和，再通過的符號研究數列的單調性求最值，或轉化為求函數的最值求解；（2）不求數列的前項和，通過對數列通項的符號變化規律找到所有的正負轉折項，如：利用條件來找最大時可能的項數，利用條件來找最小時可能的項數，需要注意的是，由于首項的特殊性（無前一項），最值也可能在處就取到.三、解答題（共6小題，共85分）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據三角恒等變換化簡為正弦型三角函數，利用正弦函數的單調增區間求解；（2）根據角的取值范圍求出的最大、最小值，再由值域列出方程得解.【小問1詳解】，由，，可得，所以函數的單調遞增區間為【小問2詳解】由（1）知，，，又，的值域為，所以當時，，當時，，聯立可解得17.【答案】（1）（2），【分析】（1）設等比數列的首項為，公比為，依題意得到關于、的方程組，解得、，即可求出通項公式；（2）依題意可得，利用分組求和法計算可得.【小問1詳解】設等比數列的首項為，公比為，根據題意可得，解得或，因為等比數列為遞增數列，所以，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】因為數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以，所以.18.【答案】（1）選擇條件①；選擇條件②；選擇條件③不合題意.（2）選擇條件①；選擇條件②.【分析】（1）選條件①時，直接利用余弦定理的應用求出a的值；選條件②時，利用正弦定理的應用求出a的值；選條件③時，由于出現與已知條件中三角形有一解相矛盾，故舍去.（2）選條件①時，利用勾股定理證明為直角三角形，可求出三角形的面積；選條件②時，利用三角函數的關系式求出，應用三角形面積公式的求出結果．【小問1詳解】（1）選擇條件①，，由于，，所以，解得；選擇條件②，，由于，，由正弦定理，.選擇條件③，，由正弦定理，得，此時或，三角形不唯一，不合題意．【小問2詳解】選擇條件①，，由，則，滿足，故為直角三角形，所以；選擇條件②，，在中，，所以.19.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為（3）【分析】（1）A中學至少有1名學生入選代表隊的對立事件是A中沒有學生入選代表隊，那3名男生和3名女生都是B中學的學生，計算概率后，求對立事件的概率即可；（2）6名男隊員中有A，B中學各3人，所以選3人來自A中學的人數X可能取值為0，1，2，3，根據超幾何分布計算其概率，列出分布列，求期望；（3）根據平均數與方差的計算公式，結合題意即可得出a的取值范圍.【小問1詳解】由題意知，參加集訓的男、女生各有6名.參賽學生全部從B中學中抽取（等價于A中學沒有學生入選代表隊）的概率為.因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為.【小問2詳解】根據題意得，X的可能取值為0，1，2，3.則，，所以X的分布列為：X0123P因此，X的數學期望.【小問3詳解】3名男生的比賽成績分別為76，80，84，平均值為80，方差為，3名女生的比賽成績為77，，81，平均值為，所以，即，代入檢驗，可知最小為74，最大，故，即的取值范圍.20.【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減（2）（ii）；（ii）證明見解析【分析】（1）先求導數得到，然后再一次利用求導得出單調區間；（2）（i）法一：分類討論：時無極值，時，有極大值，再一次分類討論：極大值小于0，極大值大于0，最后得出符合題意的范圍；法二：先求出的最大值，根據最大值大于0，和小于0分類討論，最后得出符合題意的范圍；（ii）由（i）寫出m的解析式，構造二次函數即可得證.【小問1詳解】若，則，.所以，則.令，即，解得;令，即，解得.所以在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】（ⅰ）法一：因為，所以.易知在上單調遞減，.當即時，，在上單調遞減，因為，所以，所以在上單調遞減，所以無極值.當即時，由可得.當變化時，與的變化情況如下表所示.x(0,ln(2a))ln(2a)(ln(2a),+∞)h’(x)+0h(x)單調遞增極大值單調遞減∴在上單調遞增，在上單調遞減.當時，有極大值.①當即時，，在上單調遞減.所以無極值.②當即時，因為，所以在上有且只有一個零點，記為.當變化時，與的變化情況如下表所示.x(0,x0)x0(x0,ln(2a))0+f(x)單調遞減極小值單調遞增所以，當時，有極小值.法二：.令，則當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，①當，即時，在上單調遞減，所以無極值.②當，即時，當且時，.又，使.所以當時，即在上單調遞減.當時，即在上單調遞增.當時，有極小值.有極小值時，的取值范圍是.（ⅱ）由（i）知，..,.【點睛】關鍵點點睛：第（2）問中（i）的關鍵在于處理好導函數的單調性或最值問題