PAGE1第02講 正數與負數內容導航——預習三步曲第一步：主動學析教材學知識：教材精講精析，全方位預習講典例練習題：教材習題學解題，快速掌握解題方法練考點強知識：四大核心考點四種?？碱}型精準練第二步：用心記串知識識框架：學習目標復核內容掌握，思維導圖助力掌握知識脈絡，理清知識之間的聯(lián)系第三步：限時測過關測穩(wěn)提升：過關檢測效果好，查漏補缺練考點知識點1：生活中的正數與負數意義具有相反意義的量包括三個要素：eq\o\ac(○,1)具有同類性；eq\o\ac(○,2)具有相反意義；eq\o\ac(○,3)具有數量。生活中引入正數和負數兩個概念是為了表示兩個相反意義的量：典型實例：表示海拔高度：海拔高度超過海平面的用正數表示，海拔高度低于海平面的用負數表示；表示溫度高低：溫度高于0攝氏度用正數表示，溫度低于0攝氏度用負數表示；表示盈利虧損：盈利的錢數用正數表示，虧損的錢數用負數表示；表示事物變化：人口增加用正數表示，人口減少用負數表示。表示海拔高度表示溫度高低正數表示海平面之上負數表示海平面之下正數表示溫度高于零度負數表示溫度低于零度表示盈利虧損表示事物變化正數表示收入錢數負數表示支出錢數正數表示人口增長負數表示人口減少2.表示兩個相反意義的量，哪個用正數表示，哪個用負數表示，是人為規(guī)定的，一般表示高的，上漲的，等量用正數表示，相反的用負數表示。知識點2：正數與負數概念舉例概念讀法注意正數像+1、2、1.2、、π等大于0的數，叫做正數；+1讀作正1讀數時可以省略正字不讀，直接讀作1；書寫時可以省略＋不寫負數-1、-2、－1.2、QUOTE，小于0的數，叫做負數-1讀作負1讀數時不可省略負字不讀；書寫時不可以省略-。名師點撥：（1）正數前面的“+”一般省略不寫，特定場合下需要的時候可以寫出，但“-”不能省略.（2）我們不能說帶“+”的數是正數，帶“-”的數是負數；（3）0既不是正數也不是負數，它是正數和負數的分界線．知識點3：整數與分數概念整數包括正整數、0、負整數；分數包括正分數、負分數。名師點撥：有限小數、無限循環(huán)小數也是分數；形如這樣的雖然樣子像分數，實際上它不是分數！所以含有分數線的不一定都是分數！常用含“非”的數：非負數：是指正數和0；非正數：是指負數和0；非負整數：是指正整數和0；知識點4：有理數及其分類有理數的概念：有理數是整數和分數的統(tǒng)稱。有理數的四種表現(xiàn)形式：整數、分數、有限小數、無限循環(huán)小數。判斷一個數是不是有理數，只要看看這個數是不是這四種就行了，如果是這四種中一個，那這個數一定是有理數；如果不是這四種中的任何一種，那它一定不是有理數。有理數的分類方法：（1）按概念分類： （2）按正負分類： 名師點撥：（1）有理數都可以寫成分數的形式，整數也可以看作是分母為1的數.（2）分數與有限小數、無限循環(huán)小數可以互化，所以有限小數和無限循環(huán)小數可看作分數，但無限不循環(huán)小數不是分數，例如π．（3）正數和零統(tǒng)稱為非負數，這是有一個很常用的概念．教材習題第14頁練習第2題把下列各數填入相應的圈內：解題方法指導方法一：按圈選數，逐一判斷方法二：按數選圈，逐一填入防止漏數【分析】正有理數：負有理數：易錯提醒：注意區(qū)分逗號和小數點；注意含+的和不含+號的，有些正數是省略+的。教材習題第15頁習題第3題指出下列數中的正整數、負整數、正有理數、負有理數解題方法指導1.正確理解各類數的概念；2.注意區(qū)分正整數與正有理數；3.對各個數逐一判斷，防止漏數。【分析】正整數：負整數：正有理數：負有理數：易錯提醒：判斷前要正確理解各種數的概念；要按順序逐一判斷，防止漏數！題型1 正數與負數的區(qū)分1．下列四個數中，是負數的是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】本題考查負數的定義，小于0的數是負數，掌握負數的定義是解題的關鍵，據此即可解答．【詳解】解：，則下列四個數中，是負數的是，故選：B．2．下列實數中，是負數的是（

）A．3 B． C．0 D．【答案】B【分析】本題考查的是負數的定義，關鍵就是明白什么是負數．利用負數的定義：比0小的數，來選擇即可．【詳解】解：負數是小于0的數，，所以是負數；是正數，0既不是正數也不是負數．故選：B．3．在，0，，，，中，負數的個數有幾個（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查正數和負數，解題的關鍵是明確正數和負數在題目中實際含義．根據題目中的數據可以判斷哪些數是負數，從而可以解答本題．【詳解】解：在，0，，，，中，負數有：，，，共3個，故選：B．4．在5.2、、0、10、中，正數有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查正數的概念，解題的關鍵是明確正數的定義，據此判斷給定數字中正數的個數．依據正數的定義，逐一分析所給數字，統(tǒng)計其中正數的數量．【詳解】正數是大于0的數．在5.2、、0、10、中5.2大于0，所以5.2是正數；小于0，是負數；0既不是正數也不是負數；10大于0，所以10是正數；小于0，是負數．綜上，正數有5.2和10，共2個，故選：B．5．下列各數，，，，，，中負數有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了負數的定義，小于0的數為負數，據此進行逐個分析，即可作答．【詳解】解：依題意，，，，都是負數，∴負數有個，故選：C．題型2 利用正數與負數表示相反意義的量1．中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家.若零上10攝氏度記作，則零下5攝氏度可記作（

）A． B．5℃ C． D．10℃【答案】A【分析】本題考查了用正負數表示具有相反意義的量，理解題意是關鍵；用正負數可以表示具有相反意義的量，而零上與零下是一對具有相反意義的量，即可得出答案.【詳解】解：若零上10攝氏度記作，則零下5攝氏度可記作；故選：A.2．中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家．若收入3萬元記作萬元，那么支出8萬元可記作（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】D【分析】本題考查正負數表示具有相反意義的量，根據題意，即可得到答案．讀懂題意是解決問題的關鍵．【詳解】解：若收入3萬元記作萬元，那么支出8萬元可記作萬元，故選：D．3．我國古代數學名著《九章算術》中對正負數的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”．如：糧庫把運進20噸糧食記為“”，則“”表示（

）A．虧損20噸糧食 B．吃掉20噸糧食 C．賣掉20噸糧食 D．運出20噸糧食【答案】D【分析】本題考查了相反意義的量，正負數的應用．熟練掌握相反意義的量，正負數的應用是解題的關鍵．根據運進噸糧食記為“”，可知“”表示運出噸糧食，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，運進噸糧食記為“”，∴“”表示運出噸糧食，故選：D．4．某蓄水池標準水位記為，如果表示高于標準水位，那么表示（）A．高于標準水位 B．低于標準水位C．高于標準水位 D．低于標準水位【答案】B【分析】本題主要考查了正數和負數，解題關鍵是熟練掌握“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示，根據正數表示水面高于標準水位的高度，那么表示水面低于標準水位．【詳解】解：∵用正數表示水面高于標準水位的高度，∴表示水面低于標準水位．故選：B．5．北京時間2025年1月21日1時12分，經過約小時的出艙活動，“神舟十九號”乘組航天員蔡旭哲、宋令東、王浩澤密切協(xié)同，在空間站機械臂和地面科研人員的配合支持下，完成了空間站空間碎片防護裝置安裝、艙外設備設施巡檢等任務．出艙航天員蔡旭哲、宋令東已安全返回問天實驗艙，出艙活動取得圓滿成功.如果航天員蔡旭哲出艙前5秒記為秒，那么航天員蔡旭哲出艙后10秒應記為（）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】A【分析】本題考查了正數和負數，準確理解它們是表示相反意義的量是解題的關鍵．正數和負數是表示相反意義的量，根據題目中的規(guī)定用正數或負數表示即可．【詳解】解：如果航天員蔡旭哲出艙前5秒記為秒，那么航天員蔡旭哲出艙后10秒應記為秒．故選：題型3 古代數學文化問題1．我國古代數學著作《九章算術》中提出了正數，負數的概念．若水庫的水位升高時，水位變化記作，則水庫的水位下降時，水位變化記作．【答案】【分析】本題考查了正負數表示相反意義的量的運用，理解題意，掌握相反意義的量的運用是關鍵．根據正數和負數表示具有相反意義的量，即可解答．【詳解】解：∵水庫的水位升高時，水位變化記作，∴水庫的水位下降時，水位變化記作，故答案為：．2．《九章算術》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數若其意義相反，則分別叫做正數與負數．若收入300元，記作元，則元表示．【答案】支出200元【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正數和負數表示相反意義的量是解題的關鍵．根據題意，正數表示收入，則負數表示支出，據此即可解答．【詳解】解：若收入300元，記作元，則元表示支出200元．故答案為：支出200元．3．中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家，早在秦漢時期的《九章算術》就引入了負數．如果將“向東走2米”記為“米”，那么“向西走8米”記為米．【答案】【分析】本題主要考查正負數的意義，正數與負數表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負是解題的關鍵．根據向東走記為正，則向西走就記為負，直接得出結論即可．【詳解】解：根據題意，“向東走2米”記為“米”那么“向西走8米”記為．故答案為：．4．中國是最早采用正數、負數表示相反意義的量的國家，戰(zhàn)國時期李惺所著《法經》已經使用負數．若向東走50米記作米，則向西走35米記作米．【答案】【分析】本題主要考查了正數和負數，理解具有相反意義的量是解題的關鍵．正數和負數是一組具有相反意義的量，據此即可求得答案．【詳解】解：若向東走50米記作米，則向西走35米記作米，故答案為：．5．《九章算術》中記載有“今兩算得失相反，要令正負以名之”意思是：在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區(qū)分它們．如：深圳的緯度是北緯度，記作度；則南極長城站的緯度是南緯62度，記作度．【答案】【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負數的意義是解答本題的關鍵．在一對具有相反意義的量中，規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示，再解答即可．【詳解】解：深圳的緯度是北緯度，記作度；則南極長城站的緯度是南緯62度，記作度；故答案為：題型4 有理數的分類問題1．把下列各數填寫在相應的集合中．，7，，，，，，0，(1)整數集合：；(2)分數集合：；(3)正數集合：；(4)非負數集合：．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本題考查了有理數的分類，正確把握相關定義是解題關鍵．（1）根據整數的定義即可得出答案；（2）根據分數的定義即可得出答案；（3）根據正數的定義即可得出答案；（4）根據非負數的定義即可得出答案；【詳解】（1）解：整數集合：，故答案為：；（2）解：分數集合：，故答案為：；（3）解：正數集合：，故答案為：；（4）解：非負數集合：，故答案為：．2．把下列各數填在相應的大括號內：，0.01，，0，，，4.01，22，，，正數：{

}；整數：{

}；分數：{

}；有理數：{

}．【答案】見解析【分析】本題考查有理數的分數，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵：根據正數是大于0的數，整數包括正整數，負整數和0，分數包括有限小數和無限循環(huán)小數，整數和分數統(tǒng)稱為有理數，進行作答即可．【詳解】解：正數：{0.01，4.01，22，}；整數：{0，，22，}；分數：{，0.01，，，4.01，，}；有理數：{，0.01，，0，，，4.01，22，，}．3．將下列各數填入相應的大括號里．，0.618，，，260，0，，，，．整數集合：{…}；負有理數集合：{…}；【答案】見解析【分析】本題考查了有理數的分類，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵．根據整數\負有理數的定義解答即可．【詳解】解∶整數集合：{，260，0，，…}；負有理數集合：{，，，，…}4．將下列各數填入它所屬的集合內：，，2024，，0，，，，，．(1)正有理數集合：{

…}．(2)負有理數集合：{

…}．(3)整數集合：{

…}．【答案】(1)，2024，，，(2)，，，(3)，，2024，0【分析】本題考查了有理數的分類．根據正有理數，負有理數和整數的定義即可．【詳解】（1）解：正有理數集合：{，2024，，，，…}．（2）解：負有理數集合：{，，，，…}．（3）解：整數集合：{，，2024，0，…}．5．把下列各數填在相應的集合里：，，，，，，，，，，．正數集合：負數集合：整數集合：正分數集合：．【答案】，，，，，；，，，；，，，，；，，．【分析】本題考查了正數概念，以及有理數的分類，熟練掌握有理數的分類是解題關鍵．根據有理數的分類進行求解，即可解題．【詳解】解：正數集合：，，，，，；負數集合：，，，；整數集合：，，，，；正分數集合：，，．故答案為：，，，，，；，，，；，，，，；，，．知識導圖記憶知識目標復核1.體會數學中引入正數與負數的必要性；2.理解正數與負數的概念；3.知道正數與負數可以表示具有相反意義的量；4.知道有理數的概念和簡單分類。一、選擇題1．四個數、、、，其中負數是（

）A．6 B． C． D．0.7【答案】C【分析】本題考查了對正數和負數定義的理解，根據正數和負數的定義判斷即可．【詳解】解：A．，是正數，不符合題意；B．，是正數，不符合題意；C．，是負數，符合題意；D．，是正數，不符合題意；故選：C．2．下列各數中，正數是（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了正數和負數，掌握正數和負數的定義是解題的關鍵，正數都大于0，負數都小于0，0既不是正數也不是負數．根據正數都大于0，注意判斷即可．【詳解】解：A、，是負數，故A錯誤；B、，是負數，故B錯誤；C、0既不是正數也不是負數，故C錯誤D、，是正數，故D正確．故選：D．3．零上13攝氏度記作攝氏度，零下2攝氏度可記作（

）．A．2 B． C．2攝氏度 D．攝氏度【答案】D【分析】本題主要考查了正負數的意義，正負數是一對具有相反意義的量，若零上的溫度用“”表示，那么零下的溫度就用“”表示，據此求解即可．【詳解】解：零上13攝氏度記作攝氏度，零下2攝氏度可記作攝氏度，故選：D．4．中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家．若收入60元記作元，則支出100元可記作（

）A．100元 B．元 C．40元 D．元【答案】B【分析】本題主要考查了具有相反意義的量，解題的關鍵是掌握具有相反意義量的定義．根據具有相反意義量的定義進行表示即可．【詳解】解：根據題意支出和收入是具有相反意義的量，所以支出100元記作元，故選：B．5．《九章算術》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之．”意思是：今有兩數若其意義相反，則分別叫做正數與負數，如果風車順時針旋轉記作，那么逆時針旋轉記作（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正數和負數，用正數和負數表示兩種具有相反意義的量，由此求解即可，理解具有相反意義的量是解此題的關鍵．【詳解】解：如果風車順時針旋轉記作，那么逆時針旋轉記作，故選：D．6．下列說法正確的是（

）A．是負分數 B．是負數，但不是整數C．0是正數 D．是分數但不是正數【答案】A【分析】本題主要考查了正負數的定義，分式的定義，0的意義，大于0的數叫做正數，小于0的數叫做負數，0既不是正數，也不是負數，據此結合分數的定義可得答案．【詳解】解：A、是負分數，原說法正確，故此選項符合題意；B、是負數，也是整數，原說法錯誤，故此選項不符合題意；C、0不是正數，原說法錯誤，故此選項不符合題意；D、是分數，也是正數，原說法錯誤，故此選項不符合題意；故選：A．7．下列說法中，錯誤的有（

）①是負分數；②不是整數；③非負有理數不包括；④不是有理數；⑤是最小的有理數；⑥正整數、負整數統(tǒng)稱為有理數．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】本題主要考查了有理數的分類，根據有理數的兩種分類方法判斷即可．【詳解】解：①是負分數，故①正確；②是分數，不是整數，故②正確；③非負有理數是大于或等于零的有理數，故③錯誤；④是有理數，故④錯誤；⑤沒有最小的有理數，故⑤錯誤；⑥有理數包括整數和分數，故⑥錯誤；故選：D．8．在下列各數中：15，，，7，0.5，，12，，2.3，負有理數的個數有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查了有理數的分類，根據負有理數的概念求解即可．【詳解】解：負有理數有，，，，共4個，故選：C．9．在，，，，中，非負數的個數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查非負數的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．非負數即和正數，據此進行判斷即可．【詳解】解：在，，，，中，非負數是，，，共有個，故選：A．10．下列有理數：，其中非負有理數有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了有理數的分類、非負有理數等知識點，掌握非負有理數是大于等于0的數成為解題的關鍵．根據非有理數的定義逐個判斷，然后再統(tǒng)計即可解答．【詳解】解：有理數，其中非負有理數有，共5個．故選D．二、填空題11．在“，35，，，，0，，”這8個數中，正數有個，負數有個．【答案】52【分析】本題考查正數與負數的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．根據正數與負數的定義，直接作答即可．【詳解】解：正數有35，，，，，共5個；負數有，共2個．故答案為：5：2．12．如果收入100元記為，那么支出80元記為．【答案】【分析】本題主要考查了正負數的意義，正負數是一對具有相反意義的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，據此求解即可．【詳解】解；如果收入100元記為，那么支出80元記為，故答案為：．13．你知道成語“南轅北轍”嗎？它的意思是心里想往南去，卻駕車往北走，比喻行動和目的相反．如果車子向南行駛，記作，那么車子向北行駛，記作．【答案】【分析】本題考查了正負數，相反意義的量的運用，理解相反意義的量的含義，正負數表示實際意義是關鍵．根據向南行駛，記作，則向北記為負，由此即可求解．【詳解】解：∵向南行駛，記作，∴車子向北行駛，記作，故答案為：．14．下列各數中：，，0，，，，，（每相鄰兩個2之間0的個數逐次加1），其中正有理數有個．【答案】3【分析】本題考查了有理數的定義和分類，熟練掌握有理數的定義是解題的關鍵；有理數是整數（正整數、、負整數）和分數的統(tǒng)稱，正有理數是大于的有理數，據此解答即可．【詳解】解：：是正分數，屬于正有理數；：是負整數，小于，不是正有理數；：既不是正數也不是負數，不是正有理數；：是負數，不是正有理數；，是正整數，屬于正有理數；：是無限不循環(huán)小數，不是正有理數；：是有限小數，可化為分數，且大于，屬于正有理數；（每相鄰兩個之間的個數逐次加）：是無限不循環(huán)小數，不是正有理數；綜上，正有理數有，和，共3個．故答案為：3．15．在以下各數中：；；；；；；；0；；．屬于負分數的有個．【答案】6【分析】本題主要考查了分數的定義，負分數是小于0有限小數和無限循環(huán)小數的統(tǒng)稱，據此可得答案．【詳解】解：在數；；；；；；；0；；中，屬于負分數的，，，，，，，共6個，故答案為；6．16．在下列各數：7，，，，，，，0中，屬于分數的有個．【答案】5【分析】本題主要考查了分數的定義，分數是有限小數和無限循環(huán)小數的統(tǒng)稱，據此可得答案．【詳解】解：在下列各數：7，，，，，，，0中，屬于分數的有，，，，，共5個，故答案為：5．17．在中，非負整數有個．【答案】4【分析】本題主要考查了有理數的分類，非負整數是大于等于的整數，據此求解即可．【詳解】解：在，，，，，，，中，非負整數有，，，，共個，故答案為：．18．在，0，，，2024，，，11中，非負整數有個．【答案】4【分析】本題主要考查了有理數的分類，非負整數是大于等于0的整數，據此求解即可．【詳解】解：在，0，，，2024，，，11中，非負整數有，0，2024，11，共4個，故答案為：4．19．在，25，0，，中，非負數是．【答案】25，0，【分析】本題考查了有理數，利用有理數中非負數的概念解答．【詳解】解：在，25，0，0.02，中，非負數是25，0，0.02．故答案為：25，0，0.02．20．在，，，，，，，中，非負數有個．【答案】【分析】本題考查非負數定義，非負數指負數與零，根據非負數定義逐個判斷即可得到答案，熟記非負數定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，，，，，，中，非負數有，，，，共個，故答案為：．三、解答題21．畫示意圖表示下列概念之