2025年考研數學（三）線性代數與概率歷年真題精講試卷一、線性代數要求：本部分主要考察線性代數的基本概念、線性方程組、向量空間、線性變換等知識。1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式和逆矩陣。2.已知向量組$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}$，證明向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性相關。二、概率論與數理統計要求：本部分主要考察概率論的基本概念、隨機變量及其分布、大數定律、中心極限定理等知識。3.設隨機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，求$P\{X=2\}$。4.設隨機變量$X$和$Y$相互獨立，$X$服從標準正態分布，$Y$服從參數為$\lambda$的指數分布，求隨機變量$Z=X+Y$的分布函數。5.設隨機變量$X$服從參數為$n$和$p$的二項分布，求$P\{X=k\}$的最大值所對應的$k$值。6.設隨機變量$X$服從參數為$\mu$和$\sigma^2$的正態分布，求$P\{X>\mu+2\sigma\}$。四、線性方程組要求：本部分主要考察線性方程組的解法、齊次線性方程組的解的結構以及非齊次線性方程組的解的存在性等知識。7.解線性方程組$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+y+3z=2\\-x+y-2z=0\end{cases}$。8.判斷下列線性方程組是否有解，若存在解，求出其通解：$\begin{cases}x+y+z=1\\2x+y+2z=2\\3x+y+3z=3\end{cases}$。9.設線性方程組$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$，求系數矩陣$\boldsymbol{A}$的秩，并判斷方程組是否有解。五、向量空間要求：本部分主要考察向量空間的基本概念、基、維數、子空間等知識。10.設向量組$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，求向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$的極大線性無關組，并求該組所構成的子空間的維數。11.設向量空間$V$的基為$\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$，其中$\boldsymbol{\beta}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_2=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_3=\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}$，求向量$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$在基$\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$下的坐標。12.設向量空間$V$是由$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$生成的，求$V$的維數和基。六、線性變換要求：本部分主要考察線性變換的概念、線性變換的性質、線性變換的矩陣表示等知識。13.設線性變換$T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$，由$T(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_2$，$T(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_3$，$T(\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_1$定義，求線性變換$T$的矩陣表示。14.設線性變換$T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$，由$T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$定義，其中$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$T$的核和像。15.設線性變換$T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$，由$T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$定義，其中$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，求$T$的特征值和特征向量。本次試卷答案如下：一、線性代數1.解：矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式為$1\cdot4-2\cdot3=-2$。由于行列式不為零，矩陣$\boldsymbol{A}$可逆，其逆矩陣為$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。2.解：由于$\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_3=3\boldsymbol{\alpha}_1$，所以向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性相關。二、概率論與數理統計3.解：$P\{X=2\}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2}$。4.解：由于$X$和$Y$相互獨立，$Z=X+Y$的分布函數為$F_Z(z)=P\{Z\leqz\}=P\{X\leqz,Y\leqz\}=P\{X\leqz\}P\{Y\leqz\}=F_X(z)F_Y(z)$，其中$F_X(z)$和$F_Y(z)$分別是$X$和$Y$的分布函數。5.解：$P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$，求導得$P\{X=k\}'=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}(1-kp)$，令$P\{X=k\}'=0$，解得$k=\frac{n}{p}$。6.解：$P\{X>\mu+2\sigma\}=1-P\{X\leq\mu+2\sigma\}=1-\Phi\left(\frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(2)$，其中$\Phi$是標準正態分布的分布函數。四、線性方程組7.解：將方程組寫成增廣矩陣形式，進行行變換：$$\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\2&1&3&2\\-1&1&-2&0\end{bmatrix}\xrightarrow[r_2-2r_1]{r_3+r_1}\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\0&-3&5&0\\0&3&-1&1\end{bmatrix}\xrightarrow[r_3+r_2]{r_1+r_2}\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$得到方程組的解為$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$，$x_3=1$。8.解：由于系數矩陣的秩為$3$，而增廣矩陣的秩也為$3$，所以方程組有解。將增廣矩陣進行行變換：$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&1&2&2\\3&1&3&3\end{bmatrix}\xrightarrow[r_2-2r_1]{r_3-3r_1}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$得到方程組的通解為$x_1=1+t$，$x_2=t$，$x_3=s$，其中$t$和$s$是任意常數。9.解：系數矩陣$\boldsymbol{A}$的秩為$2$，由于增廣矩陣的秩也為$2$，所以方程組有解。五、向量空間10.解：向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性相關，因此$\boldsymbol{\alpha}_2$和$\boldsymbol{\alpha}_3$可以由$\boldsymbol{\alpha}_1$線性表示。設$\boldsymbol{\alpha}_2=c_1\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_3=c_2\boldsymbol{\alpha}_1$，解得$c_1=2$，$c_2=3$，所以$\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_3=3\boldsymbol{\alpha}_1$。因此，極大線性無關組為$\{\boldsymbol{\alpha}_1\}$，該組所構成的子空間的維數為$1$。11.解：設$\boldsymbol{\gamma}=c_1\boldsymbol{\beta}_1+c_2\boldsymbol{\beta}_2+c_3\boldsymbol{\beta}_3$，解得$c_1=2$，$c_2=3$，$c_3=4$，所以$\boldsymbol{\gamma}=2\boldsymbol{\beta}_1+3\boldsymbol{\beta}_2+4\boldsymbol{\beta}_3$。12.解：向量組$\boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_3$線性無關，因此$V$的維數為$3$。基為$\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\}$。六、線性變換13.解：線性變換$T$的矩陣表示為$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}$。14.解：線性變換$T$的核為$\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\midA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}$，即$\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2