2025年統(tǒng)計中級資格概率與數(shù)理統(tǒng)計知識測試卷（含解析及答案）一、概率論基礎(chǔ)知識1.基本概念與性質(zhì)（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若F(x)是單調(diào)不減且右連續(xù)的函數(shù)，則稱X為XXX。（2）若隨機(jī)變量X和Y滿足P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，則稱X和Y為XXX。（3）若隨機(jī)變量X和Y滿足P{X≤x}=P{Y≤y}，則稱X和Y為XXX。2.隨機(jī)變量及其分布（1）設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布B(n,p)，則E(X)=__________，D(X)=__________。（2）設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布P(λ)，則P{X=0}=__________，P{X≥1}=__________。（3）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，則P{μ-σ≤X≤μ+σ}=__________。二、隨機(jī)向量及其分布1.隨機(jī)向量及其分布函數(shù)（1）設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，若F(x,y)滿足以下性質(zhì)，則稱(X,Y)為XXX。①F(x,y)是非負(fù)的；②F(x,y)是單調(diào)不減的；③F(-∞,y)=0，F(xiàn)(x,-∞)=0；④F(∞,∞)=1。（2）設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，則P{X≤x,Y≤y}=__________。2.隨機(jī)向量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)（1）設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的期望分別為E(X)和E(Y)，協(xié)方差為Cov(X,Y)，則Cov(X,Y)=__________。（2）設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的期望分別為E(X)和E(Y)，方差分別為D(X)和D(Y)，相關(guān)系數(shù)為ρ，則ρ=__________。三、數(shù)理統(tǒng)計基本概念與性質(zhì)1.基本概念與性質(zhì)（1）設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則稱F(x)為XXX。（2）設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，若存在XXX，則稱X為XXX。（3）設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，若XXX，則稱X為XXX。2.參數(shù)估計（1）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ,σ^2未知，則XXX為XXX的矩估計量。（2）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ,σ^2未知，則XXX為XXX的極大似然估計量。（3）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ,σ^2未知，則XXX為XXX的無偏估計量。3.假設(shè)檢驗（1）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ,σ^2未知，則XXX為XXX的零假設(shè)。（2）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ,σ^2未知，則XXX為XXX的備擇假設(shè)。（3）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ,σ^2未知，則XXX為XXX的顯著性水平。四、抽樣分布與正態(tài)近似要求：根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，計算相應(yīng)的統(tǒng)計量，并利用正態(tài)近似法進(jìn)行推斷。（1）從某地區(qū)抽取100個家庭，調(diào)查家庭年收入情況，樣本平均年收入為50000元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10000元。假設(shè)家庭年收入服從正態(tài)分布，求該地區(qū)家庭年收入在45000元以下的概率。（2）某品牌手機(jī)的用戶滿意度調(diào)查中，抽取了200名用戶，其中150名用戶表示滿意。假設(shè)用戶滿意度服從二項分布，求該品牌手機(jī)用戶滿意度在70%以上的概率。（3）某產(chǎn)品的不合格率服從正態(tài)分布，已知不合格率的平均值為5%，標(biāo)準(zhǔn)差為1%。從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢查，求至少有10件不合格品的概率。五、方差分析要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，進(jìn)行方差分析，并檢驗假設(shè)。（1）某工廠生產(chǎn)三種不同型號的零件，為了比較三種型號零件的耐用性，隨機(jī)抽取了各型號零件的樣本進(jìn)行測試，得到以下數(shù)據(jù)：|型號|樣本數(shù)|平均耐用時間（小時）||----|------|------------------||A|20|100||B|20|110||C|20|95|假設(shè)三種型號零件的耐用時間均服從正態(tài)分布，且方差相等，檢驗三種型號零件的耐用時間是否存在顯著差異。（2）某學(xué)校進(jìn)行了一項關(guān)于學(xué)生成績的調(diào)查研究，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄了他們的數(shù)學(xué)成績和語文成績，得到以下數(shù)據(jù)：|學(xué)生|數(shù)學(xué)成績|語文成績||----|--------|--------||1|80|90||2|85|95||...|...|...||100|75|85|假設(shè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和語文成績均服從正態(tài)分布，且方差相等，檢驗學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和語文成績之間是否存在顯著的相關(guān)性。（3）某公司為了比較兩種不同工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量，隨機(jī)抽取了各工藝生產(chǎn)的樣本進(jìn)行測試，得到以下數(shù)據(jù)：|工藝|樣本數(shù)|平均重量（克）||----|------|--------------||A|30|50||B|30|55|假設(shè)兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品的重量均服從正態(tài)分布，且方差相等，檢驗兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品的重量是否存在顯著差異。六、回歸分析要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，進(jìn)行線性回歸分析，并解釋結(jié)果。（1）某城市居民的收入與消費支出之間的關(guān)系如下表所示：|收入（萬元）|消費支出（萬元）||------------|----------------||5|3.5||6|4.2||7|4.8||8|5.3||9|5.8|假設(shè)收入與消費支出之間呈線性關(guān)系，求線性回歸方程，并預(yù)測當(dāng)收入為10萬元時的消費支出。（2）某公司調(diào)查了員工的工作效率與工作時間的關(guān)系，得到以下數(shù)據(jù)：|工作時間（小時）|工作效率（%）||----------------|------------||8|90||9|85||10|80||11|75||12|70|假設(shè)工作效率與工作時間之間呈線性關(guān)系，求線性回歸方程，并預(yù)測當(dāng)工作時間為12小時時的工作效率。（3）某地區(qū)居民的平均收入與消費水平之間的關(guān)系如下表所示：|平均收入（元/年）|消費水平（元/年）||-----------------|-----------------||30000|18000||40000|24000||50000|30000||60000|36000||70000|42000|假設(shè)平均收入與消費水平之間呈線性關(guān)系，求線性回歸方程，并預(yù)測當(dāng)平均收入為50000元/年時的消費水平。本次試卷答案如下：一、概率論基礎(chǔ)知識1.基本概念與性質(zhì)（1）連續(xù)型隨機(jī)變量（2）獨立（3）同分布2.隨機(jī)變量及其分布（1）npnp(1-p)（2）e^(-λ)(1-e^(-λ))（3）0.6826四、抽樣分布與正態(tài)近似要求：根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，計算相應(yīng)的統(tǒng)計量，并利用正態(tài)近似法進(jìn)行推斷。（1）利用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式，計算Z值：Z=(X-μ)/σ=(45000-50000)/10000=-0.5，查正態(tài)分布表得P{Z≤-0.5}≈0.3085。（2）計算概率P{X≥0.7}=1-P{X<0.7}=1-P{X≤0.7}=1-0.6321=0.3679。（3）利用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式，計算Z值：Z=(X-μ)/σ=(10-5)/1=5，查正態(tài)分布表得P{Z≥5}≈0。五、方差分析要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，進(jìn)行方差分析，并檢驗假設(shè)。（1）計算每個樣本組的方差，以及總方差，然后進(jìn)行F檢驗，比較組間方差和組內(nèi)方差。（2）計算相關(guān)系數(shù)，然后進(jìn)行t檢驗，比較數(shù)學(xué)成績和語文成績之間的差異。（3）進(jìn)行F檢驗，比較兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品的重量是否存在顯著差異。六、回歸分析要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，進(jìn)行線性回歸分析，并解釋結(jié)果。（1）求線性回歸方程：y=a+bx，其中a是截距，b是斜率。使用最小二乘法計算a和b的值，然后預(yù)測當(dāng)收入為10萬元時的消費支出。（2）求線性回歸方程：y=a+bx，使用最小二乘法計算a和b的值，然后預(yù)測當(dāng)工作時間為12小時時的工作效率。（3）求線性回歸方程：y=a+bx，使用最小二乘法計算a和b的值，然后預(yù)測當(dāng)平均收入為50000元/年時的消費水平。解析思路：一、概率論基礎(chǔ)知識1.基本概念與性質(zhì)（1）連續(xù)型隨機(jī)變量：分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的，即F(x)在任意點x處都有定義。（2）獨立：兩個隨機(jī)變量X和Y獨立，意味著一個變量的取值不會影響另一個變量的取值。（3）同分布：兩個隨機(jī)變量X和Y同分布，意味著它們的概率分布完全相同。2.隨機(jī)變量及其分布（1）二項分布的期望和方差：E(X)=np，D(X)=np(1-p)。（2）泊松分布的概率計算：P{X=0}=e^(-λ)，P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e^(-λ)。（3）正態(tài)分布的概率計算：利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得相應(yīng)的概率值。四、抽樣分布與正態(tài)近似（1）利用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式，將樣本均值轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z值，然后查表得到概率。（2）利用二項分布的累積分布函數(shù)，計算概率P{X≥0.7}。（3）利用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式，將樣本均值轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z值，然后查表得到概