廣東省廣州市第四中學2024-2025學年高二上學期期中考試數學試卷一、選擇題1.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，其導函數為$f'(x)=3x^2-3$，則$f(x)$的極值點為：A.$x=-1$B.$x=1$C.$x=-\frac{1}{2}$D.$x=\frac{1}{2}$2.下列各數中，屬于有理數的是：A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$0.1010010001...$D.$\frac{3}{2}$二、填空題3.若$|x|+|x-1|=2$，則$x$的取值范圍為____。4.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n-3$，則該數列的公差為____。5.已知圓的方程為$x^2+y^2-4x-2y+5=0$，則該圓的半徑為____。三、解答題6.（1）已知函數$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，求$f(x)$的定義域。（2）已知函數$f(x)=2^x-\frac{1}{2^x}$，求$f(x)$的單調區間。（3）已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的極值點。7.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_n=2a_{n-1}+1$，求該數列的通項公式。（2）已知等比數列$\{b_n\}$滿足$b_1=2$，$b_3=32$，求該數列的公比。（3）已知數列$\{c_n\}$的前$n$項和為$S_n=3^n-1$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{S_n}$。8.（1）已知函數$f(x)=x^2-4x+5$，求$f(x)$的對稱軸。（2）已知圓的方程為$x^2+y^2-6x+8y-9=0$，求該圓的圓心坐標。（3）已知直線$l$的方程為$y=kx+1$，且$l$與圓$x^2+y^2=4$相切，求$k$的取值范圍。四、解答題9.（1）已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的導函數$f'(x)$。（2）利用導函數$f'(x)$，求$f(x)$的極值點及對應的極值。10.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。（2）已知數列$\{b_n\}$滿足$b_1=1$，$b_{n+1}=\frac{b_n}{b_n+1}$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}$。五、解答題11.（1）已知函數$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求$f(x)$的垂直漸近線。（2）已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，求$f(x)$的水平漸近線。12.（1）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2-n$，求該數列的首項和公差。（2）已知等比數列$\{b_n\}$的前$n$項和為$S_n=2^n-1$，求該數列的首項和公比。六、解答題13.（1）已知函數$f(x)=e^x-x$，求$f(x)$的極值點及對應的極值。（2）已知函數$f(x)=\ln(x+1)+\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的極值點及對應的極值。14.（1）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n-1}$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}$。（2）已知數列$\{b_n\}$滿足$b_1=3$，$b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$，求$\lim_{n\to\infty}b_n$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：D解析：首先求導數$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$。然后分別檢查$x=-1$和$x=1$兩側的導數符號，發現當$x>1$或$x<-1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減。因此，$x=1$是極大值點，$x=-1$是極小值點。2.答案：D解析：有理數是可以表示為兩個整數比的數，$\frac{3}{2}$可以表示為$\frac{3}{2}$，是有理數。二、填空題3.答案：$x\leq0$或$x\geq1$解析：分三種情況討論：-當$x\geq0$時，$|x|=x$，$|x-1|=x-1$，則$x+(x-1)=2$，解得$x=2$，不符合條件。-當$0>x>1$時，$|x|=-x$，$|x-1|=1-x$，則$-x+(1-x)=2$，解得$x=-\frac{1}{2}$，不符合條件。-當$x\leq0$時，$|x|=-x$，$|x-1|=1-x$，則$-x+(1-x)=2$，解得$x=-\frac{1}{2}$，符合條件。-當$x\geq1$時，$|x|=x$，$|x-1|=x-1$，則$x+(x-1)=2$，解得$x=2$，符合條件。綜上，$x$的取值范圍為$x\leq0$或$x\geq1$。4.答案：2解析：由等差數列前$n$項和的公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，得$4n-3=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。當$n=1$時，$a_1=1$，代入得$a_n=1$。當$n\geq2$時，$a_n=a_1+(n-1)d$，代入得$a_1+(n-1)d=1$，解得$d=2$。5.答案：$\sqrt{2}$解析：將圓的方程化為標準形式，得$(x-2)^2+(y-1)^2=2^2$，故圓心坐標為$(2,1)$，半徑為$\sqrt{2}$。三、解答題6.（1）答案：$x>-1$解析：由$\ln(x+1)$的定義域可知$x+1>0$，即$x>-1$。同時，$\sqrt{x}$的定義域為$x\geq0$。因此，$f(x)$的定義域為$x>-1$。（2）答案：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$解析：由$f(x)=2^x-\frac{1}{2^x}$，求導得$f'(x)=2^x\ln(2)+\frac{1}{2^x}\ln(2)$。令$f'(x)=0$得$2^x\ln(2)=-\frac{1}{2^x}\ln(2)$，解得$x=0$。當$x<0$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$x>0$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減。因此，$f(x)$的單調區間為$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。（3）答案：$x=0$，$x=3$解析：求導得$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=3$。檢查$x=0$和$x=3$兩側的導數符號，發現當$x<0$或$x>3$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$0<x<3$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減。因此，$x=0$是極大值點，$x=3$是極小值點。7.（1）答案：$a_n=2^n-1$解析：由遞推關系$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_n=2a_{n-1}+1$。當$n=1$時，$a_1=1$，代入得$a_2=3$。當$n\geq2$時，$a_n=2a_{n-1}+1=2(2a_{n-2}+1)+1=2^2a_{n-2}+2+1$，以此類推，得$a_n=2^n-1$。（2）答案：公比$q=4$解析：由$b_3=b_1q^2$，代入得$32=2\times4^2$，解得$q=4$。（3）答案：$\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{S_n}=\frac{1}{3}$解析：由$S_n=3^n-1$，得$c_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2\times3^{n-1}$。因此，$\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{S_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\times3^{n-1}}{3^n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。8.（1）答案：對稱軸$x=2$解析：由$f(x)=x^2-4x+5$，得$f(x)=(x-2)^2+1$，對稱軸為$x=2$。（2）答案：圓心坐標$(3,-4)$解析：將圓的方程化為標準形式，得$(x-3)^2+(y+4)^2=4^2$，故圓心坐標為$(3,-4)$。（3）答案：$k$的取值范圍為$-\frac{\sqrt{3}}{3}\leqk\leq\frac{\sqrt{3}}{3}$解析：由圓的方程$x^2+y^2=4$，得圓心到直線$l$的距離$d=\frac{|3k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=2$。解得$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。四、解答題9.（1）答案：$f'(x)=3x^2-12x+9$解析：求導得$f'(x)=3x^2-12x+9$。（2）答案：極值點$x=0$，$x=3$，極大值$f(0)=5$，極小值$f(3)=0$解析：由$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=3$。檢查$x=0$和$x=3$兩側的導數符號，發現當$x<0$或$x>3$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$0<x<3$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減。因此，$x=0$是極大值點，$x=3$是極小值點。計算得$f(0)=5$，$f(3)=0$。10.（1）答案：$\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}$解析：由遞推關系$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$，得$a_n=\sqrt{a_{n-1}+2}$。當$n\to\infty$時，$\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{\lim_{n\to\infty}a_n+2}$，解得$\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}$。（2）答案：$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{3}$解析：由遞推關系$b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$，得$b_n=b_{n-1}+\frac{1}{b_{n-1}}$。當$n\to\infty$時，$\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}b_{n-1}+\frac{1}{\lim_{n\to\infty}b_{n-1}}$，解得$\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1}{3}$。五、解答題11.（1）答案：垂直漸近線$x=1$解析：當$x\to1^-$時，$f(x)\to-\infty$，當$x\to1^+$時，$f(x)\to+\infty$，故垂直漸近線為$x=1$。（2）答案：水平漸近線$y=0$解析：當$x\to\pm\infty$時，$\frac{1}{x^2-1}\to0$，故水平漸近線為$y=0$。12.（1）答案：首項$a_1=3$，公差$d=2$解析：由等差數列前$n$項和的公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$S_n=3n^2-n$，得$3n^2-n=\frac{n(3+a_n)}{2}$，解得$a_n=6n-5$。當$n=1$時，$a_1=3$，代入得$a_n=6n-5$，公差$d=2$。（2）答案：首項$b_1=2$，公比$q=4$解析：由等比數列前$n$項和的公式$S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$，代入$S_n=2^n-1$，得$2^n-1=2\frac{1-4^n}{1-4}$，解得$q=4$，首項$b_1=2$。六、解答題13.（1）答案：極值點$x=0$，極大值$f(0)=1$解析：求導得$f'(x)=e^x-1$，令$f'(x)=0$得$x=0$。檢查$x=0$兩側的導數符號，發現當$x<0$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x>0$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，$x=0$是極大值點，$f(0)=1$。（2）答案：極值點$x=-1$，極小值$f(-1)=\frac{1}{2}$解析：求導得$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=-1$。