第8講立體幾何小題2024-2025高考新題好題匯編一、選擇題要求：從四個選項中選出符合題意的正確答案。1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若對角線AC和BD的交點為O，則O到面AB1C1D1的距離是：A.等于棱長的一半B.等于棱長的平方根C.等于棱長D.等于棱長的兩倍2.在三棱錐A-BCD中，底面BCD是等邊三角形，若AB=AC=AD=BC=CD=BD=2，則三棱錐的體積為：A.2B.4C.6D.8二、填空題要求：在橫線上填入正確答案。3.在正四面體ABCD中，若邊長為a，則其外接球的半徑R為________。4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若棱長為a，則對角線AC和BD的交點到面A1B1C1D1的距離為________。三、解答題要求：寫出解答過程，求解答案。5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別在棱AB、BB1上，若AE=AB，EF平行于A1D1，求證：EF平行于平面ACD。6.在三棱錐P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=3，點P在平面ABC內的投影為點O，且PO=3，求三棱錐P-ABC的體積。四、解答題要求：根據已知條件，完成證明或計算。7.在空間四邊形ABCD中，已知AB=AD=BC=CD，且AB⊥CD，求證：對角線BD平分角BAD和角ADC。8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AA1的中點，點F是棱BB1的1/3處，求證：線段EF平行于平面ADD1A1。五、應用題要求：根據題目所給條件，解決實際問題。9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，點D是AC的中點，點E是BC的中點，點F是BB1的1/4處，求三棱柱的高EF。六、綜合題要求：綜合運用所學知識，解決較為復雜的問題。10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是棱A1D1的中點，點Q是棱A1C1的1/3處，點R是棱C1D1的2/5處，求點P、Q、R所在直線與對角面AB1C1D1所成的角。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：在正方體中，對角線AC和BD的交點O為正方體的中心，因此O到面AB1C1D1的距離等于棱長的一半。2.答案：B解析：三棱錐的體積V可以由底面積乘以高的一半得出，底面ABC為等邊三角形，邊長為2，面積為√3，高為AB，即2的平方根，所以體積V=(√3*2*√2)/3=4。二、填空題3.答案：√(2/3)a解析：正四面體的外接球半徑R可以通過將邊長a代入公式R=√((a√3)/4)得到。4.答案：a/2解析：在正方體中，對角線AC和BD的交點到面A1B1C1D1的距離等于對角線AC的長度除以2，因為AC是正方體的空間對角線，其長度為√2a，所以距離為a/2。三、解答題5.答案：解析：由于AE=AB，所以三角形ABE為等腰三角形，因此∠ABE=∠AEB。又因為EF平行于A1D1，根據平行線性質，∠ABE=∠A1EF。在平面ABCD中，∠AEB和∠A1EF是同位角，所以∠A1EF=∠AED。在平面ACD中，由于AD=AD1（公共邊），EF平行于A1D1，因此EF平行于平面ACD。6.答案：解析：三棱錐P-ABC的體積V=(底面積*高)/3。底面ABC的面積為√3*(3^2)/4=9√3/4，高PO=3，所以V=(9√3/4*3)/3=9√3/4。四、解答題7.答案：解析：由于AB=AD=BC=CD，四邊形ABCD為菱形，因此對角線BD平分∠ABC和∠ADC。由于AB⊥CD，所以∠ABD=90°，因此BD垂直于平面ABC。由于BD垂直于平面ABC且包含在平面ABCD中，所以BD垂直于AC。同理，BD垂直于BC。因此BD垂直于平面ABC和BC，所以BD垂直于AC和BC的交點B，即BD平分角BAD和角ADC。8.答案：解析：由于E是AA1的中點，F是BB1的1/3處，EF是線段A1F與AA1的中線，因此EF平行于AA1。又因為AA1包含在平面ADD1A1中，所以EF平行于平面ADD1A1。五、應用題9.答案：解析：由于ABC為等腰直角三角形，AD垂直于BC，所以BC垂直于平面ABCD。由于E是AC的中點，所以BE=DE=1/2。又因為F是BB1的1/4處，所以BF=BB1/4。由于AB=BC=1，BB1=AB，所以BF=1/4。因此EF=BF=1/4，即三棱柱的高EF為1/4。六、綜合題10.答案：解析：點P、Q、R所在直線與對角面AB1C1D1所成的角即為該直線與對角面AB1C1