IB課程HL數學2024-2025年函數與導數在幾何中的應用模擬試卷2025版一、函數解析式求值要求：已知函數\(f(x)=\frac{2x-1}{x^2+1}\)，計算以下各題：1.求函數\(f(x)\)在\(x=1\)時的函數值。2.求函數\(f(x)\)在\(x=-1\)時的函數值。3.求函數\(f(x)\)在\(x=0\)時的函數值。4.求函數\(f(x)\)在\(x=\frac{1}{2}\)時的函數值。5.求函數\(f(x)\)在\(x=-\frac{1}{2}\)時的函數值。二、函數圖像描繪要求：已知函數\(f(x)=\sqrt{x^2-1}\)，完成以下各題：1.判斷函數\(f(x)\)的奇偶性。2.求函數\(f(x)\)的定義域。3.求函數\(f(x)\)的值域。4.求函數\(f(x)\)的對稱軸。5.求函數\(f(x)\)的漸近線。6.描繪函數\(f(x)\)的圖像，并標注出以上求得的各要素。三、導數在幾何中的應用要求：已知函數\(f(x)=x^3-3x\)，完成以下各題：1.求函數\(f(x)\)的導數\(f'(x)\)。2.求函數\(f(x)\)在\(x=1\)時的切線斜率。3.求函數\(f(x)\)在\(x=2\)時的切線斜率。4.求函數\(f(x)\)在\(x=3\)時的切線斜率。5.求函數\(f(x)\)在\(x=4\)時的切線斜率。6.求函數\(f(x)\)在\(x=5\)時的切線斜率。四、函數極值與最值要求：已知函數\(g(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，完成以下各題：1.求函數\(g(x)\)的導數\(g'(x)\)。2.求函數\(g(x)\)的駐點。3.求函數\(g(x)\)的極值點。4.求函數\(g(x)\)在\(x=0\)時的極值。5.求函數\(g(x)\)在\(x=1\)時的極值。6.求函數\(g(x)\)在\(x=2\)時的極值。五、導數在幾何中的應用——曲線的切線要求：已知曲線\(y=\sqrt{x}\)，完成以下各題：1.求曲線在點\((1,1)\)處的切線斜率。2.求曲線在點\((4,2)\)處的切線斜率。3.求曲線在點\((9,3)\)處的切線斜率。4.求曲線在點\((16,4)\)處的切線斜率。5.求曲線在點\((25,5)\)處的切線斜率。6.求曲線在點\((36,6)\)處的切線斜率。六、導數在物理中的應用——速度與加速度要求：已知一個物體的位移函數\(s(t)=t^2-4t+5\)，其中\(t\)是時間（秒），完成以下各題：1.求物體在\(t=1\)秒時的瞬時速度。2.求物體在\(t=2\)秒時的瞬時速度。3.求物體在\(t=3\)秒時的瞬時速度。4.求物體在\(t=4\)秒時的瞬時速度。5.求物體在\(t=5\)秒時的瞬時速度。6.求物體在\(t=6\)秒時的瞬時速度。本次試卷答案如下：一、函數解析式求值1.\(f(1)=\frac{2(1)-1}{1^2+1}=\frac{1}{2}\)2.\(f(-1)=\frac{2(-1)-1}{(-1)^2+1}=-\frac{3}{2}\)3.\(f(0)=\frac{2(0)-1}{0^2+1}=-1\)4.\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2\left(\frac{1}{2}\right)-1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}=\frac{0}{\frac{5}{4}}=0\)5.\(f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\left(-\frac{1}{2}\right)-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+1}=\frac{-2-1}{\frac{1}{4}+1}=\frac{-3}{\frac{5}{4}}=-\frac{12}{5}\)二、函數圖像描繪1.函數\(f(x)=\sqrt{x^2-1}\)是偶函數，因為\(f(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}=\sqrt{x^2-1}=f(x)\)。2.函數\(f(x)\)的定義域為\(x\geq1\)或\(x\leq-1\)，因為\(x^2-1\)非負。3.函數\(f(x)\)的值域為\([0,+\infty)\)，因為根號下的值非負。4.函數\(f(x)\)的對稱軸是\(y\)-軸，因為它是偶函數。5.函數\(f(x)\)的漸近線是\(x=1\)和\(x=-1\)，因為當\(x\)接近1或-1時，函數值趨向于無窮大。6.函數圖像應描繪出以上求得的各要素，包括對稱軸、漸近線和曲線在\(x\geq1\)或\(x\leq-1\)時的形狀。三、導數在幾何中的應用1.\(f'(x)=3x^2-3\)2.切線斜率\(f'(1)=3(1)^2-3=0\)3.切線斜率\(f'(2)=3(2)^2-3=9\)4.切線斜率\(f'(3)=3(3)^2-3=24\)5.切線斜率\(f'(4)=3(4)^2-3=45\)6.切線斜率\(f'(5)=3(5)^2-3=72\)四、函數極值與最值1.\(g'(x)=3x^2-12x+9\)2.駐點\(x=1\)和\(x=3\)3.極值點\(x=1\)和\(x=3\)4.\(g(0)=0^3-6(0)^2+9(0)+1=1\)5.\(g(1)=1^3-6(1)^2+9(1)+1=5\)6.\(g(2)=2^3-6(2)^2+9(2)+1=1\)五、導數在幾何中的應用——曲線的切線1.切線斜率\(f'(1)=\frac{1}{2}\)2.切線斜率\(f'(4)=\frac{2}{3}\)3.切線斜率\(f'(9)=\frac{1}{2}\)4.切線斜率\(f'(16)=\frac{2}{5}\)5.切線斜率\(f'(25)=\frac{1}{2}\)6.切線斜率\(f'(36)=\frac{2}{7}\)六、導數在物理中的應用——速度與加速度1.瞬時速度\(v(1)=g'(1)=3(1)^2-3=0\)2.瞬時速度\(v(2)=g'(2)=3(2)^2-3=9\)3.瞬時速度\(v(3)