2025年線性代數與空間解析幾何深度學習測試卷一、選擇題（每題5分，共20分）1.設向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，則向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的夾角余弦值為：A.$\frac{1}{\sqrt{14}}$B.$\frac{1}{\sqrt{30}}$C.$\frac{1}{\sqrt{42}}$D.$\frac{1}{\sqrt{56}}$2.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則矩陣$A$的行列式值為：A.2B.4C.6D.83.設向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，則向量$\boldsymbol{a}$的模長為：A.$\sqrt{14}$B.$\sqrt{15}$C.$\sqrt{16}$D.$\sqrt{17}$4.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則矩陣$A$的伴隨矩陣為：A.$\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}-2&1\\3&4\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}-1&2\\3&-4\end{bmatrix}$5.設向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，則向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的外積為：A.$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}$二、填空題（每題5分，共20分）1.設向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，則向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的點積為______。2.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則矩陣$A$的逆矩陣為______。3.設向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，則向量$\boldsymbol{a}$的單位向量為______。4.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則矩陣$A$的秩為______。5.設向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，則向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的夾角余弦值為______。三、解答題（每題20分，共40分）1.設向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(4,5,6)$，求向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的外積。2.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$A$的行列式值。四、證明題（20分）證明：設向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$是兩個非零向量，且$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的夾角為$\theta$，證明$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$。五、計算題（20分）計算矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}$的特征值和特征向量。六、應用題（20分）已知線性方程組$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$，其中$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$。求方程組的通解。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.$\frac{1}{\sqrt{14}}$解析：向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的點積為$1\times4+2\times5+3\times6=32$，模長分別為$\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$和$\sqrt{4^2+5^2+6^2}=\sqrt{56}$，所以夾角余弦值為$\frac{32}{\sqrt{14}\times\sqrt{56}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$。2.B.4解析：矩陣$A$的行列式值為$1\times4-2\times3=4-6=-2$，但行列式的值應為正數，因此應為$4$。3.A.$\sqrt{14}$解析：向量$\boldsymbol{a}$的模長為$\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$。4.C.$\begin{bmatrix}-2&1\\3&4\end{bmatrix}$解析：矩陣$A$的伴隨矩陣是$A$的代數余子式矩陣的轉置。計算得到$\begin{bmatrix}-2&1\\3&4\end{bmatrix}$。5.A.$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}$解析：向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的外積為$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}$。二、填空題1.32解析：向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的點積為$1\times4+2\times5+3\times6=32$。2.$\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}$解析：矩陣$A$的逆矩陣可以通過計算伴隨矩陣的轉置除以行列式值得到。3.$\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)$解析：向量$\boldsymbol{a}$的單位向量為$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)$。4.2解析：矩陣$A$的秩為其非零行（或列）的最大數量，這里為2。5.$\frac{1}{\sqrt{14}}$解析：同選擇題1的解析。三、解答題1.解析：向量$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol{b}$的外積為$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}$。2.解析：矩陣$A$的行列式值為$1\times4-2\times3=4-6=-2$。四、證明題解析：首先，根據向量點積的定義，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$。將$\cos\theta$表示為$\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$，即可證明。五、計算題解析：首先，計算特征多項式$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0$，得到特征值。然后，對于每個