2025年歐洲女子數(shù)學(xué)奧林匹克（EGMO）模擬試卷（幾何證明與組合分析）——競(jìng)賽技巧揭秘一、幾何證明要求：運(yùn)用幾何知識(shí)和證明技巧，解答以下幾何證明題目。1.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D在邊AB上，滿足AD=1。過點(diǎn)D作直線DE垂直于BC于點(diǎn)E。求證：DE=√3。2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(2,0)。直線y=kx與△ABC相交于點(diǎn)P。求證：若k≠0，則點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)P到AC的距離。二、組合分析要求：運(yùn)用組合數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法，解答以下組合分析題目。1.有5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)球。求不同的放法種數(shù)。2.從1到100中隨機(jī)選擇5個(gè)不同的數(shù)，求這5個(gè)數(shù)中至少有3個(gè)是奇數(shù)的概率。三、幾何構(gòu)造要求：運(yùn)用幾何知識(shí)，完成以下幾何構(gòu)造題目。1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是高線，且D在BC上。求證：△ABD≌△ACD。2.在圓O中，點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OP的長(zhǎng)度為1。求圓O中所有滿足OP⊥PA的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。四、排列組合應(yīng)用要求：運(yùn)用排列組合的知識(shí)，解答以下應(yīng)用題目。1.某班有20名同學(xué)，需要從中選出3名同學(xué)參加比賽。求不同的選法種數(shù)。2.一個(gè)密碼鎖由4個(gè)數(shù)字組成，每位數(shù)字可以是0到9中的任意一個(gè)。求不同的密碼組合數(shù)。五、數(shù)列性質(zhì)要求：運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)，解答以下數(shù)列性質(zhì)題目。1.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an^2+1，且a1=2。求證：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列。2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an=Sn-Sn-1。求證：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n。六、不等式求解要求：運(yùn)用不等式的知識(shí)，解答以下不等式求解題目。1.已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1。求證：ab+bc+ac≥1/3。2.已知x、y是實(shí)數(shù)，且x^2+y^2=1。求證：x^3+y^3+3xy≥3。四、數(shù)列應(yīng)用要求：運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)，解答以下數(shù)列應(yīng)用題目。1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an=Sn-Sn-1。若a1=1，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列。2.一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為55，第5項(xiàng)和第8項(xiàng)的和為24。求該數(shù)列的首項(xiàng)和公差。五、概率問題要求：運(yùn)用概率的知識(shí)，解答以下概率問題。1.從一副52張的標(biāo)準(zhǔn)撲克牌中隨機(jī)抽取4張牌，求抽到的4張牌都是紅桃的概率。2.某人有3把鑰匙，其中只有1把能打開門。他隨機(jī)選擇一把鑰匙嘗試開門，求他第3次嘗試時(shí)打開門的概率。六、函數(shù)性質(zhì)要求：運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，解答以下函數(shù)性質(zhì)題目。1.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x+1。求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。2.已知函數(shù)g(x)=x^2-4x+3。求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。本次試卷答案如下：一、幾何證明1.解析：在等邊三角形ABC中，由于AD是高線，所以∠ADB=∠ADC=90°。因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C。由于AD=1，所以△ADB和△ADC是兩個(gè)等腰直角三角形。根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，DE=AD=1，所以DE=√3。2.解析：直線y=kx與△ABC相交于點(diǎn)P，由于AB和AC是坐標(biāo)軸，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y滿足y=kx。點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y，點(diǎn)P到AC的距離等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x。因此，y=x，即k=1。所以點(diǎn)P在直線y=x上，滿足條件。二、組合分析1.解析：這是一個(gè)隔板法問題。將5個(gè)球看作5個(gè)相同的物品，4個(gè)盒子看作3個(gè)隔板，將物品放入盒子，相當(dāng)于在5個(gè)物品之間插入3個(gè)隔板，共有C(5+3-1,3-1)=C(7,2)=21種不同的放法。2.解析：從1到100中，奇數(shù)有50個(gè)，偶數(shù)有50個(gè)。隨機(jī)選擇5個(gè)數(shù)，至少有3個(gè)奇數(shù)的情況可以分為以下幾種：3個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，5個(gè)奇數(shù)。計(jì)算每種情況的概率，然后相加得到最終概率。三、幾何構(gòu)造1.解析：由于AB=AC，AD是高線，所以AD垂直于BC。在等腰三角形中，高線同時(shí)也是中線，所以BD=CD。由于AD=AD，所以△ABD≌△ACD。2.解析：點(diǎn)P到圓心O的距離為1，所以O(shè)P=1。由于OP⊥PA，所以△OPA是直角三角形。根據(jù)勾股定理，PA=√(OP^2-OA^2)=√(1-1^2)=0。因此，點(diǎn)P的軌跡是圓O上的所有點(diǎn)，滿足OP=1。四、排列組合應(yīng)用1.解析：從20名同學(xué)中選出3名，這是一個(gè)組合問題，用組合公式C(20,3)=20!/(3!*(20-3)!)=1140種不同的選法。2.解析：密碼鎖由4個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字有10種可能（0-9），所以總共有10^4=10000種不同的密碼組合。五、數(shù)列性質(zhì)1.解析：數(shù)列{an}滿足an+1=an^2+1，且a1=2。由于a1=2>1，且an^2+1>an，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列。2.解析：由an=Sn-Sn-1，得a1=S1-S0，因?yàn)镾0=0，所以a1=S1。又因?yàn)閍2=S2-S1，a3=S3-S2，...，an=Sn-Sn-1，所以a1+a2+a3+...+an=Sn。由于a1=1，所以Sn=1+a2+a3+...+an。又因?yàn)閍n=Sn-Sn-1，所以an=Sn-Sn-1=1+a2+a3+...+an-Sn-1，即an=1。所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n。六、不等式求解1.解析：由于a、b、c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，所以abc≤(a+b+c)^3/27=1/27。由算術(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)不等式，得ab+bc+ac≥3√(abc)=3√(1/27)=1/3。2.解析：由于x^2+y^2=1，所以x^2=1-y^2。將x^2代入不等式x^3+y^3+3xy中，得(1-y^2)y^3+3y(1-y^2)+3y≥3。化簡(jiǎn)得y^4-3y^