甘肅省靖遠縣2024-2025屆高三上學期開學考試數學（文科）試題+掃描版含答案一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，則$f(1)$的值為（）A.3B.2C.1D.02.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_3=12$，$S_5=30$，則$a_1$的值為（）A.2B.3C.4D.53.若等比數列$\{b_n\}$的公比為$q$，且$b_1=2$，$b_3=8$，則$q$的值為（）A.2B.3C.4D.64.已知復數$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復平面上的軌跡是（）A.線段$[-1,1]$B.點$(0,0)$C.線段$[-1,1]$上的點$(0,0)$D.點$(0,0)$和線段$[-1,1]$5.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極值，則$a$，$b$，$c$的關系是（）A.$a+b+c=0$B.$a-b+c=0$C.$a+b+c\neq0$D.$a-b+c\neq0$6.已知函數$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，則$f(x)$的定義域為（）A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$B.$(-1,1)$C.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$7.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處取得極值，則$f(x)$的極值為（）A.1B.-1C.0D.無極值8.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n-1$，則數列的前$n$項和$S_n$為（）A.$n^2$B.$n^2-1$C.$n^2+1$D.$n^2-2n$9.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)$的值為（）A.3B.2C.1D.010.已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f(x)$在$x=0$處的導數為（）A.1B.-1C.0D.無導數二、填空題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。11.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_4=10$，則$d$的值為______。12.若等比數列$\{b_n\}$的公比為$q$，且$b_1=3$，$b_3=27$，則$q$的值為______。13.已知復數$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復平面上的軌跡方程為______。14.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極值，則$f'(1)=______$。15.已知函數$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，則$f(x)$的定義域為______。16.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處取得極值，則$f(x)$的極值為______。17.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n-1$，則數列的前$n$項和$S_n$為______。18.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)=______$。19.已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f(x)$在$x=0$處的導數為______。20.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處取得極值，則$f(x)$的極值為______。三、解答題要求：本大題共2小題，共30分。21.（15分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：（1）$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）$f(x)$的單調區間；（3）$f(x)$的極值。22.（15分）已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n-1$，求：（1）數列的前$n$項和$S_n$；（2）數列的求和公式。四、證明題要求：本大題共1小題，共10分。23.證明：若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則$b=0$。五、計算題要求：本大題共1小題，共10分。24.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。六、應用題要求：本大題共1小題，共10分。25.某工廠生產一批產品，每天生產成本為$1000$元，且每增加$1$個工人，每天生產成本增加$200$元。已知該工廠生產的產品每天的需求量與價格成正比，比例系數為$2$。若產品價格為$100$元，則每天可銷售$100$個產品?，F計劃增加$1$個工人，求增加工人后每天的最大利潤。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.2解析：將$x=1$代入函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$中，得$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1+1=2$。2.D.5解析：由等差數列的性質，$S_3=3a_1+3d=12$，$S_5=5a_1+10d=30$，解得$a_1=2$，$d=2$。3.A.2解析：由等比數列的性質，$b_3=b_1q^2$，代入$b_1=2$，$b_3=8$，解得$q=2$。4.C.線段$[-1,1]$上的點$(0,0)$解析：由復數的幾何意義，$|z-1|=|z+1|$表示$z$到點$1$和點$-1$的距離相等，即$z$在實軸上，且$x=0$。5.B.$a-b+c=0$解析：由導數的定義，$f'(x)=2ax+b$，在$x=1$處取得極值，則$f'(1)=0$，即$2a+b=0$。6.A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$解析：由對數函數的定義域，$x+1>0$且$x-1>0$，解得$x>1$或$x<-1$。7.C.0解析：由導數的定義，$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在$x=0$處，$f'(0)=0$。8.B.$n^2-1$解析：由等差數列的求和公式，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2n-1+1)}{2}=n^2-1$。9.B.2解析：由導數的定義，$f'(x)=3x^2-6x+4$，在$x=1$處，$f'(1)=2$。10.A.1解析：由導數的定義，$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在$x=0$處，$f'(0)=1$。二、填空題11.2解析：由等差數列的性質，$a_4=a_1+3d$，代入$a_1=2$，解得$d=2$。12.3解析：由等比數列的性質，$b_3=b_1q^2$，代入$b_1=3$，解得$q=3$。13.$x^2+y^2=1$解析：由復數的幾何意義，$|z-1|=|z+1|$表示$z$到點$1$和點$-1$的距離相等，即$z$在單位圓上。14.0解析：由導數的定義，$f'(x)=2ax+b$，在$x=1$處取得極值，則$f'(1)=0$。15.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$解析：由對數函數的定義域，$x+1>0$且$x-1>0$，解得$x>1$或$x<-1$。16.0解析：由導數的定義，$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在$x=0$處，$f'(0)=0$。17.$n^2-1$解析：由等差數列的求和公式，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2n-1+1)}{2}=n^2-1$。18.2解析：由導數的定義，$f'(x)=3x^2-6x+4$，在$x=1$處，$f'(1)=2$。19.1解析：由導數的定義，$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在$x=0$處，$f'(0)=1$。20.0解析：由導數的定義，$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在$x=0$處，$f'(0)=0$。三、解答題21.（15分）（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$；（2）$f(x)$在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上單調遞增，在$(1,2)$上單調遞減；（3）$f(x)$在$x=1$處取得極大值$f(1)=2$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=1$。22.（15分）（1）$S_n=n^2-1$；（2）數列的求和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2n-1+1)}{2}=n^2-1$。四、證明題23.證明：若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則$b=0$。證明：由導數的定義，$f'(x)=2ax+b$，在$x=1$處取得極值，則$f'(1)=0$，即$2a+b=0$，解得$b=-2a$。因此，$b=0$。五、計算題24.$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot3^n-2\cdot2^n}{3^n-2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3-2\left(\frac{2}{3}\right)^n