北京市第十八中學11-12學年上學期高二期中考試（數學理）一、選擇題1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4$，則$f(x)$的極值點為：A.$x=1$，$x=2$B.$x=-1$，$x=2$C.$x=1$，$x=-1$D.$x=-2$，$x=1$2.設復數$z$滿足$|z-1|+|z+i|=2$，則$z$在復平面上的軌跡方程為：A.$x^2+y^2=1$B.$x^2+y^2=2$C.$x^2+y^2=4$D.$x^2+y^2=3$3.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，則該數列的首項$a_1$為：A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$4.設函數$f(x)=\ln(x+1)$，則$f'(x)$的值為：A.$\frac{1}{x+1}$B.$\frac{1}{x}$C.$\frac{1}{x-1}$D.$\frac{1}{x+2}$5.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(3,2,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為：A.$14$B.$10$C.$8$D.$6$二、填空題6.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，則$f(x)$的定義域為______。7.設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$，則$f'(x)$的表達式為______。8.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n^2+3n$，則該數列的公差$d$為______。9.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(3,2,1)$，則$\vec{a}\times\vec{b}$的值為______。10.設復數$z$滿足$|z-1|+|z+i|=2$，則$z$的實部為______。三、解答題11.（1）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，求$f(x)$的單調區間。（2）已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。12.（1）設復數$z$滿足$|z-1|+|z+i|=2$，求$z$在復平面上的軌跡方程。（2）設函數$f(x)=\ln(x+1)$，求$f'(x)$在區間$(0,1)$上的取值范圍。四、證明題要求：證明下列等式成立。證明：設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$，證明$f(x)$在實數范圍內無零點。五、應用題要求：根據下列條件，求解相關參數。已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n^2+3n$，求該數列的第10項$a_{10}$。六、綜合題要求：綜合運用所學知識，解決實際問題。已知函數$f(x)=\ln(x+1)$，求證在區間$(0,1)$上，$f(x)$的值域為$(-\infty,0)$。同時，求出使得$f(x)$取得最大值的$x$值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$和$x=2$，通過一階導數的符號變化，可以確定$x=1$是極大值點，$x=2$是極小值點。2.A解析：由復數模的性質，可以知道$|z-1|+|z+i|$表示點$z$到點$1$和點$i$的距離之和，這個和等于2，說明$z$在復平面上形成的軌跡是一個以點$1$和點$i$為焦點的橢圓，其方程為$x^2+y^2=1$。3.A解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_n=3n^2+2n$，解得$a_1=1$。4.A解析：求導得$f'(x)=\frac{1}{x+1}$。5.D解析：向量的點積定義為$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，代入向量坐標得$1*3+2*2+3*1=6+4+3=13$。二、填空題6.$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$解析：由于根號下的$x$必須非負，且分母不能為零，所以$x$的取值范圍是負無窮到0的開區間，以及0到正無窮的閉區間。7.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：對多項式函數求導，按照冪函數求導規則進行。8.$d=4$解析：等差數列的公差$d$可以通過任意相鄰兩項的差來求得，$d=a_{n+1}-a_n=4n^2+3n-(4(n-1)^2+3(n-1))=4$。9.$\vec{a}\times\vec{b}=(2-6)i-(3-6)j+(1-2)k=-4i+3j-k$解析：向量的叉積定義為$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k$。10.實部為$1$解析：由于$|z-1|+|z+i|=2$，可以知道$z$到點$1$和點$i$的距離之和為2，因此$z$的實部為1。三、解答題11.（1）單調區間為$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$解析：求導得$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，通過一階導數的符號變化，可以確定$x=1$是函數的拐點，因此單調遞增區間為$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$。（2）$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2$解析：由于$a_{n+1}=a_n+2n$，可以得到$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{2n}{a_n}$，隨著$n$的增大，$\frac{2n}{a_n}$趨向于2，因此極限值為2。12.（1）軌跡方程為$(x-1)^2+(y-1)^2=1$解析：由復數模的性質，可以得到$(z-1)(\bar{z}-1)+(z+i)(\bar{z}-i)=4$，化簡得到$(x-1)^2+(y-1)^2=1$。（2）$f'(x)$在區間$(0,1)$上的取值范圍為$(-\infty,0)$解析：求導得$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，在區間$(0,1)$上，$x+1$總是正的，因此$f'(x)$總是負的，所以取值范圍是$(-\infty,0)$。四、證明題證明：設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$，證明$f(x)$在實數范圍內無零點。解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$，通過一階導數的符號變化，可以確定$x=2$是函數的極值點，且$f(2)=2^3-3*2^2+4*2-2=2$，因此$f(x)$在實數范圍內無零點。五、應用題已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n^2+3n$，求該數列的第10項$a_{10}$。解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_n=4n^2+3n$，當$n=10$時，$a_{10}=4*10^2+3*10-(4*9^2+3*9)=400+30-(324+27)=400+30-351=79$。六、綜合題已知函數$f(x)=\ln(x+1)$，求證在區間$(0,1)$上，$f(x)$的值域為$(-\infty,0)$。同時，求出使得$f(x)$取得最大值的$x$值。解析：$f(