廣西南寧市2012屆高三第二次適應性測試（數學理）掃描版一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+4，則f'(x)=_________。A.6x^2-6xB.6x^2-3xC.6x^2+3xD.6x^2+6x2.下列不等式中正確的是_________。A.log23>log32B.log24>log23C.log32>log23D.log34>log323.已知數列{an}是等差數列，且a1=1，a4=7，則公差d=_________。4.設A，B，C是三角形的三頂點，且BC=3，CA=4，AB=5，則三角形ABC是_________。5.已知復數z=1+i，則|z|=_________。6.設a，b是方程x^2-2ax+1=0的兩個根，則a+b=_________。7.在極坐標系中，點P(2,π/3)的直角坐標是_________。8.已知數列{an}是等比數列，且a1=2，a3=8，則公比q=_________。9.設A=(1,-1)，B=(2,3)，則|AB|=_________。10.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2x，則f'(1)=_________。二、填空題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。1.若函數f(x)=ax^2+bx+c的圖象開口向上，且頂點坐標為(1,-2)，則a=_________，b=_________，c=_________。2.已知等差數列{an}的通項公式為an=2n+1，則第10項a10=_________。3.已知復數z=1-3i，則z的共軛復數是_________。4.在直角坐標系中，點A(2,3)，點B(-1,1)，則線段AB的中點坐標是_________。5.已知函數f(x)=x^2-4x+4，則f(2)=_________。6.若等比數列{an}的首項a1=3，公比q=2，則第5項a5=_________。7.在極坐標系中，點P(3,π/6)的直角坐標是_________。8.設A=(1,2)，B=(-2,3)，則|AB|=_________。9.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+4，則f'(x)=_________。10.設a，b是方程x^2-2ax+1=0的兩個根，則a^2+b^2=_________。三、解答題要求：本大題共5小題，共100分。1.（20分）已知函數f(x)=2x^3-3x^2+4，求f(x)的導數f'(x)。2.（20分）已知數列{an}是等差數列，且a1=1，a4=7，求公差d和第10項a10。3.（20分）已知復數z=1-3i，求z的模|z|。4.（20分）在直角坐標系中，點A(2,3)，點B(-1,1)，求線段AB的中點坐標。5.（20分）已知函數f(x)=x^2-4x+4，求f(2)。四、證明題要求：本大題共2小題，共20分。請直接寫出證明過程。1.（10分）已知函數f(x)=x^3-3x在區間[0,2]上是增函數，證明：f(x)在區間[0,2]上的最小值為f(0)。2.（10分）已知數列{an}是等比數列，且a1=3，公比q=1/2，證明：數列{an}的前n項和S_n是一個遞減數列。五、計算題要求：本大題共2小題，共20分。請直接寫出計算過程和最終答案。1.（10分）計算定積分∫(x^2-4x+4)dx，其中x的取值范圍是[1,3]。2.（10分）計算三重積分∫∫∫(z)dV，其中z=x^2+y^2+z^2，且積分區域V是由x^2+y^2≤1，0≤z≤1確定的。六、應用題要求：本大題共2小題，共20分。請根據題目要求寫出解答過程和最終答案。1.（10分）已知某商品的成本隨生產數量的增加而增加，成本函數為C(x)=1000+2x+0.1x^2，其中x為生產數量（單位：件）。求該商品生產100件時的總成本。2.（10分）某工廠生產一批產品，已知生產第一批產品需要1000小時，生產第二批產品需要1500小時，生產第三批產品需要2000小時。如果工廠希望在這三批產品生產完成后，平均每小時生產的產品數量盡可能多，求每批產品生產所需的時間。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：f'(x)=6x^2-6x，因為對x^3求導得3x^2，對-3x^2求導得-6x，對4求導得0。2.答案：B解析：log24=2，log23<2，所以log24>log23。3.答案：3解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=1，a4=7得7=1+3d，解得d=3/3=1。4.答案：直角三角形解析：根據勾股定理，BC^2+CA^2=AB^2，即3^2+4^2=5^2，滿足勾股定理，故為直角三角形。5.答案：√2解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。6.答案：2解析：根據韋達定理，a+b=2a，因為a和b是方程x^2-2ax+1=0的根，所以a+b=2a，解得a=2。7.答案：(1,√3)解析：極坐標轉換為直角坐標公式為x=rcosθ，y=rsinθ，代入得x=2cos(π/3)=1，y=2sin(π/3)=√3。8.答案：2解析：等比數列的通項公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，a3=8得8=2*q^2，解得q=2。9.答案：√10解析：|AB|=√((2-1)^2+(3-(-1))^2)=√(1+16)=√17。10.答案：2解析：f'(x)=3x^2-6x+2，代入x=1得f'(1)=3-6+2=-1。二、填空題1.答案：a=1，b=-4，c=3解析：因為頂點坐標為(1,-2)，所以-2=1a+(-4)1+c，解得a=1，b=-4，c=3。2.答案：21解析：a10=2*10+1=21。3.答案：1+3i解析：復數的共軛復數是將虛部的符號取反。4.答案：(0.5,2)解析：中點坐標公式為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入得(0.5,2)。5.答案：0解析：f(2)=2^2-4*2+4=4-8+4=0。6.答案：24解析：a5=3*2^4=3*16=48。7.答案：(3/2,√3/2)解析：極坐標轉換為直角坐標公式為x=rcosθ，y=rsinθ，代入得x=3cos(π/6)=3/2，y=3sin(π/6)=√3/2。8.答案：√10解析：|AB|=√((2-(-2))^2+(3-1)^2)=√(16+4)=√20=√10。9.答案：6x^2-6x解析：f'(x)=6x^2-6x，因為對2x^3求導得6x^2，對-3x^2求導得-6x，對4求導得0。10.答案：5解析：a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(2a)^2-2ab=4a^2-2ab=4(a^2-ab/2)=4(a-b/2)^2+b^2/4=4(2-1)^2+1^2/4=4+1/4=17/4=4.25。三、解答題1.答案：f'(x)=6x^2-6x解析：f'(x)=d/dx(2x^3-3x^2+4)=6x^2-6x。2.答案：d=1，a10=21解析：d=(a4-a1)/(4-1)=(7-1)/3=2，a10=a1+(10-1)d=1+9*2=19。3.答案：|z|=√10解析：|z|=√(1^2+(-3)^2)=√(1+9)=√10。4.答案：(0.5,2)解析：中點坐標公式為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入得(0.5,2)。5.答案：0解析：f(2)=2^2-4*2+4=4-8+4=0。四、證明題1.答案：證明過程如下：解析：因為f(x)=x^3-3x在區間[0,2]上是增函數，所以f'(x)=3x^2-3>0，對于所有x∈[0,2]。因此，f(x)在區間[0,2]上是單調遞增的。由于f(x)在[0,2]上單調遞增，它的最小值將在區間的左端點取得，即f(0)=0^3-3*0=0。2.答案：證明過程如下：解析：因為數列{an}是等比數列，且a1=3，公比q=1/2，所以an=3*(1/2)^(n-1)。數列的前n項和S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)=3*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=6*(1-(1/2)^n)。由于q<1，隨著n的增加，(1/2)^n會趨近于0，因此S_n會遞減。五、計算題1.答案：∫(x^2-4x+4)dx=(1/3)x^3-2x^2+4x+C解析：對x^2-4x+4積分得(1/3)x^3-2x^2+4x+C。2.答案：∫∫∫(z)dV=∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV=∫∫∫(1)dV=V=π解析：由于z=x^2+y^2+z^2，積分區域V是單位球體，其體積為4/3πr^3，其中r=1，所以V=4/3π。六、應用題1.答案：總成本為5600元解析：C(x)=1000+2x+0.1x