北京交通大學(xué)2025年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)（三）線性代數(shù)與微積分試題集一、線性代數(shù)1.設(shè)矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求矩陣\(A\)的特征值和特征向量。2.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，證明\(A\)是冪等矩陣，并求\(A\)的特征值。二、微積分1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求\(f(x)\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)。2.設(shè)函數(shù)\(f(x)=e^x\sinx\)，求\(f(x)\)的二階導(dǎo)數(shù)。3.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\ln(x^2+1)\)，求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)。4.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-1}\)，求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)。5.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2\sinx\)，求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)。6.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求\(f(x)\)的積分。7.設(shè)函數(shù)\(f(x)=e^x\sinx\)，求\(f(x)\)的不定積分。8.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\ln(x^2+1)\)，求\(f(x)\)的不定積分。9.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-1}\)，求\(f(x)\)的不定積分。10.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2\sinx\)，求\(f(x)\)的不定積分。四、線性代數(shù)1.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(3\times3\)的實(shí)對(duì)稱矩陣，已知\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，且\(A\)的一個(gè)特征向量為\(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)，求\(A\)的另一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。2.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(n\timesn\)的矩陣，證明如果\(A\)的行列式等于\(0\)，那么\(A\)必有一個(gè)非零的解向量\(x\)使得\(Ax=0\)。3.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(m\timesn\)的矩陣，且\(A\)的秩為\(r\)，證明\(A\)的零空間維數(shù)為\(n-r\)。五、微積分1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，求\(f(x)\)的最大值和最小值。2.設(shè)函數(shù)\(f(x)=e^{-x^2}\)，求\(f(x)\)的積分\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx\)。3.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\sinx\)，求\(f(x)\)在區(qū)間\([0,2\pi]\)上的平均值。4.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)處的泰勒展開(kāi)式。5.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f(x)\)的反函數(shù)\(f^{-1}(x)\)。六、線性代數(shù)與微積分綜合題1.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(2\times2\)的矩陣，且\(A\)的行列式為\(5\)，求\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)。2.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)，求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)。3.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(3\times3\)的矩陣，且\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，求\(A\)的行列式\(\det(A)\)。4.設(shè)\(f(x)=e^x\)，求\(f(x)\)的不定積分\(\inte^x\,dx\)。5.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(2\times2\)的矩陣，且\(A\)的行列式為\(1\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。本次試卷答案如下：一、線性代數(shù)1.矩陣\(A\)的特征值通過(guò)求解特征多項(xiàng)式\(\det(A-\lambdaI)=0\)得到，即：\[\det\left(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)=\det\left(\begin{bmatrix}1-\lambda&2\\3&4-\lambda\end{bmatrix}\right)=(1-\lambda)(4-\lambda)-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\]解得\(\lambda_1=-1,\lambda_2=2\)。特征向量分別為\(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。2.由于\(A^2=A\)，可知\(A\)是冪等矩陣。特征值滿足\(\lambda^2=\lambda\)，解得\(\lambda_1=0,\lambda_2=1\)。二、微積分1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)，代入\(x=2\)得\(f'(2)=-\frac{1}{4}\)。2.函數(shù)\(f(x)=e^x\sinx\)的二階導(dǎo)數(shù)通過(guò)求導(dǎo)得到：\[f'(x)=e^x\sinx+e^x\cosx=e^x(\sinx+\cosx)\]再次求導(dǎo)得：\[f''(x)=e^x(\sinx+\cosx)+e^x(\cosx-\sinx)=2e^x\cosx\]3.函數(shù)\(f(x)=\ln(x^2+1)\)的導(dǎo)數(shù)為：\[f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2+1}\]4.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-1}\)的導(dǎo)數(shù)通過(guò)商的導(dǎo)數(shù)法則得到：\[f'(x)=\frac{(x^3-3x^2+2x)'(x^2-1)-(x^3-3x^2+2x)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{(3x^2-6x+2)(x^2-1)-(x^3-3x^2+2x)(2x)}{(x^2-1)^2}\]5.函數(shù)\(f(x)=x^2\sinx\)的導(dǎo)數(shù)通過(guò)乘積法則得到：\[f'(x)=x^2\cosx+2x\sinx\]6.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的積分\(\int\frac{1}{x}\,dx\)為\(\ln|x|+C\)。7.函數(shù)\(f(x)=e^x\sinx\)的不定積分\(\inte^x\sinx\,dx\)通過(guò)分部積分法得到：\[\inte^x\sinx\,dx=-e^x\cosx+\inte^x\cosx\,dx\]再次使用分部積分法得到最終結(jié)果。8.函數(shù)\(f(x)=\ln(x^2+1)\)的不定積分\(\int\ln(x^2+1)\,dx\)通過(guò)分部積分法得到：\[\int\ln(x^2+1)\,dx=x\ln(x^2+1)-\int\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx\]最后通過(guò)換元法得到最終結(jié)果。9.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-1}\)的不定積分\(\int\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-1}\,dx\)通過(guò)部分分式分解和積分得到。10.函數(shù)\(f(x)=x^2\sinx\)的不定積分\(\intx^2\sinx\,dx\)通過(guò)分部積分法得到：\[\intx^2\sinx\,dx=-x^2\cosx+2x\sinx-2\cosx+C\]四、線性代數(shù)1.由于\(A\)是實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征向量正交。已知一個(gè)特征向量為\(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)，另一個(gè)特征向量可以取為\(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\)或\(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)，具體取決于特征值。2.如果\(A\)的行列式等于\(0\)，則\(A\)的秩小于\(n\)。根據(jù)秩-零空間維數(shù)定理，零空間維數(shù)為\(n-r\)。3.設(shè)\(A\)的列向量為\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n\)，則\(A\vec{x}=0\)的解空間由\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n\)的線性組合構(gòu)成，其維數(shù)為\(n-r\)。五、微積分1.函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=3x^2-12x+9\)。令\(f'(x)=0\)解得\(x=1\)或\(x=3\)。計(jì)算\(f(1)=4\)和\(f(3)=0\)，所以最大值為4，最小值為0。2.函數(shù)\(f(x)=e^{-x^2}\)的積分\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx\)是著名的高斯積分，其結(jié)果為\(\sqrt{\pi}\)。3.函數(shù)\(f(x)=\sinx\)在區(qū)間\([0,2\pi]\)上的平均值為：\[\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sinx\,dx=\frac{1}{2\pi}\left[-\cosx\right]_0^{2\pi}=0\]4.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=1\)處的泰勒展開(kāi)式為：\[f(x)=\frac{1}{1!}\left(x-1\right)-\frac{1}{2!}\left(x-1\right)^2+\frac{1}{3!}\left(x-1\right)^3-\cdots\]5.函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的反函數(shù)\(f^{-1}(x)\)為\(e^x\)。六、線性代數(shù)與微積分綜合題1.矩陣\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)為\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&