高中數學北師大版(2019)選擇性必修第一冊4.2直線與圓錐曲線的綜合問題當堂達標檢測題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，若點$P(m,n)$在橢圓上，且$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，則$m$和$n$的關系是：A.$m^2+n^2=c^2$B.$m^2+n^2=a^2$C.$m^2+n^2=b^2$D.$m^2+n^2=a^2-c^2$2.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，若點$P(m,n)$在雙曲線上，且$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，則$m$和$n$的關系是：A.$m^2+n^2=c^2$B.$m^2+n^2=a^2$C.$m^2+n^2=b^2$D.$m^2+n^2=a^2+c^2$二、填空題要求：將正確答案填在題中的橫線上。3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，若點$P(m,n)$在橢圓上，且$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，則$m$和$n$的關系是$m^2+n^2=\_\_\_\_\_\_$。4.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦點分別為$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，若點$P(m,n)$在雙曲線上，且$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，則$m$和$n$的關系是$m^2+n^2=\_\_\_\_\_\_$。四、解答題要求：解答下列各題。5.已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，點$P$在橢圓上移動，且$PF_1+PF_2=6$，其中$F_1$和$F_2$是橢圓的左、右焦點。求點$P$的軌跡方程。六、證明題要求：證明下列各題。6.證明：對于橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若直線$y=kx+m$與橢圓相切，則$m^2=a^2(1-k^2)$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：由橢圓的定義知，點$P$在橢圓上，則$PF_1+PF_2=2a$。又因為$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，即$\overrightarrow{PF_1}$與$\overrightarrow{PF_2}$垂直，所以$PF_1^2+PF_2^2=(PF_1+PF_2)^2-2PF_1\cdotPF_2=4a^2-2PF_1\cdotPF_2$。又因為$PF_1^2+PF_2^2=(m+c)^2+n^2+(m-c)^2+n^2=2m^2+2n^2+2c^2$，所以$2m^2+2n^2+2c^2=4a^2-2PF_1\cdotPF_2$。由橢圓的定義知$PF_1+PF_2=2a$，代入上式得$2m^2+2n^2+2c^2=4a^2-2a^2=2a^2$，即$m^2+n^2=a^2-c^2$。又因為$a^2-c^2=b^2$，所以$m^2+n^2=b^2$。2.D解析：由雙曲線的定義知，點$P$在雙曲線上，則$PF_1-PF_2=2a$。又因為$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，即$\overrightarrow{PF_1}$與$\overrightarrow{PF_2}$垂直，所以$PF_1^2+PF_2^2=(PF_1+PF_2)^2-2PF_1\cdotPF_2=4a^2-2PF_1\cdotPF_2$。又因為$PF_1^2+PF_2^2=(m+c)^2+n^2+(m-c)^2+n^2=2m^2+2n^2+2c^2$，所以$2m^2+2n^2+2c^2=4a^2-2PF_1\cdotPF_2$。由雙曲線的定義知$PF_1-PF_2=2a$，代入上式得$2m^2+2n^2+2c^2=4a^2-2a^2=2a^2$，即$m^2+n^2=a^2-c^2$。又因為$a^2-c^2=b^2$，所以$m^2+n^2=b^2$。二、填空題3.$b^2$解析：同選擇題1的解析。4.$b^2$解析：同選擇題2的解析。四、解答題5.解：由橢圓的定義知，點$P$在橢圓上，則$PF_1+PF_2=2a$。又因為$PF_1+PF_2=6$，所以$2a=6$，即$a=3$。由橢圓的定義知，$c^2=a^2-b^2$，代入$a=3$和橢圓方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$得$c^2=9-4=5$，即$c=\sqrt{5}$。又因為$PF_1+PF_2=6$，所以$PF_1=3+\sqrt{5}$，$PF_2=3-\sqrt{5}$。由橢圓的定義知，$PF_1^2+PF_2^2=4a^2$，代入$PF_1$和$PF_2$的值得$(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2=4\cdot9$，化簡得$18+10=36$，即$28=36$，這是不可能的。因此，點$P$的軌跡方程不存在。六、證明題6.證明：將直線$y=kx+m$代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+m)^2}{b^2}=1$。整理得$(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b