2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（八十五）：核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)歸納能力強化訓(xùn)練試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$，則$f(x)$的值域為（）A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$C.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$(-\infty,1)\cup[1,+\infty)$2.若復(fù)數(shù)$z=a+bi(a,b\inR)$滿足$\left|z+1\right|=|z-1|$，則$\text{arg}(z)$的取值范圍為（）A.$[0,\frac{\pi}{2}]$B.$[\frac{\pi}{2},\pi]$C.$[-\frac{\pi}{2},0]$D.$[-\pi,-\frac{\pi}{2}]$3.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c\inR)$在$x=1$處有極值，則$a$，$b$，$c$滿足（）A.$a=0$，$b\neq0$，$c\neq0$B.$a\neq0$，$b\neq0$，$c\neq0$C.$a=0$，$b\neq0$，$c=0$D.$a\neq0$，$b=0$，$c\neq0$4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，則$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$為（）A.$S_n=3^n-1$B.$S_n=2^n-1$C.$S_n=3^n-2^n$D.$S_n=2^n-3^n$5.設(shè)向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(1,3)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.$7$B.$5$C.$-1$D.$-5$6.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n+1$，則$\{a_n\}$的通項公式為（）A.$a_n=n^2+n$B.$a_n=n^2+2n+1$C.$a_n=n^2+n+1$D.$a_n=n^2$7.設(shè)集合$A=\{x|x^2-4x+3<0\}$，$B=\{x|x^2+4x+3<0\}$，則$A$與$B$的交集為（）A.$\{x|-1<x<3\}$B.$\{x|-3<x<1\}$C.$\{x|-3<x<3\}$D.$\{x|-1<x<1\}$8.若函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-x$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f'(x)$的符號為（）A.$f'(x)>0$B.$f'(x)<0$C.$f'(x)=0$D.無法確定9.設(shè)向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(1,2)$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$的余弦值為（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$10.若數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，則$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$為（）A.$S_n=2^n-1$B.$S_n=2^n$C.$S_n=2^n+1$D.$S_n=2^{n-1}$二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填寫在題中的橫線上。）11.若復(fù)數(shù)$z=a+bi(a,b\inR)$滿足$\left|z+1\right|=|z-1|$，則$\text{arg}(z)$的取值范圍為______。12.設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-x$，則$f'(x)$的表達式為______。13.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n+1$，則$\{a_n\}$的通項公式為______。14.設(shè)向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(1,3)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為______。15.若函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-x$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f'(x)$的符號為______。三、解答題（本大題共3小題，共25分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求：（1）$f'(x)$的表達式；（2）$f(x)$在$x=1$處的切線方程。17.（本題滿分10分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，求$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。18.（本題滿分5分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-x$，證明：$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。四、解答題（本大題共3小題，共25分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）19.（本題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：（1）$f'(x)$的表達式；（2）$f(x)$的極值點及其對應(yīng)的極值。五、解答題（本大題共3小題，共25分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）20.（本題滿分10分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}$，求$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。六、解答題（本大題共3小題，共25分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$，證明：$f(x)$在$x=0$處連續(xù)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$的定義域為$(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$，當(dāng)$x\neq-1$時，函數(shù)的值域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。2.D.$[-\pi,-\frac{\pi}{2}]$解析：由$\left|z+1\right|=|z-1|$可得$(a+1)^2+b^2=(a-1)^2+b^2$，化簡得$a=-1$，因此$z=-1+bi$，所以$\text{arg}(z)\in[-\pi,-\frac{\pi}{2}]$。3.A.$a=0$，$b\neq0$，$c\neq0$解析：函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處有極值，則$f'(1)=2a+b=0$，因此$a=0$，$b\neq0$，$c\neq0$。4.A.$S_n=3^n-1$解析：由$a_n=3^n-2^n$可得$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=3+3^2+3^3+\cdots+3^n-2-2^2-2^3-\cdots-2^n=3^n-1$。5.A.$7$解析：$\vec{a}\cdot\vec=(2,1)\cdot(1,3)=2\cdot1+1\cdot3=7$。6.A.$a_n=n^2+n$解析：由$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n+1$，得$a_2=a_1+2+1=4$，$a_3=a_2+4+1=9$，$a_4=a_3+6+1=16$，所以$a_n=n^2+n$。7.B.$\{x|-3<x<1\}$解析：$x^2-4x+3<0$解得$x\in(-1,3)$，$x^2+4x+3<0$解得$x\in(-3,-1)$，所以交集為$\{x|-3<x<1\}$。8.A.$f'(x)>0$解析：$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，在$(0,+\infty)$上，$f'(x)<0$。9.A.$\frac{3}{5}$解析：$\vec{a}\cdot\vec=(2,1)\cdot(1,2)=2\cdot1+1\cdot2=4$，$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\left|\vec\right|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，所以$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec\right|}=\frac{4}{5}$。10.A.$S_n=2^n-1$解析：由$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，得$a_2=2$，$a_3=2^2$，所以$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1$。二、填空題11.$[-\frac{\pi}{2},0]$解析：由$\left|z+1\right|=|z-1|$可得$a=-1$，所以$\text{arg}(z)\in[-\frac{\pi}{2},0]$。12.$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和運算法則計算。13.$a_n=n^2+n$解析：由$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n+1$，得$a_2=a_1+2+1=4$，$a_3=a_2+4+1=9$，$a_4=a_3+6+1=16$，所以$a_n=n^2+n$。14.7解析：$\vec{a}\cdot\vec=(2,1)\cdot(1,3)=2\cdot1+1\cdot3=7$。15.$f'(x)<0$解析：$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，在$(0,+\infty)$上，$f'(x)<0$。三、解答題16.（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和運算法則計算。（2）$f'(1)=0$，$f(1)=2$，所以切線方程為$y=2$。17.$S_n=2^n-1$解析：由$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，得$a_2=2$，$a_3=2^2$，所以$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1$。18.設(shè)$x_1<x_2$，則$f(x_1)-f(x_2)=\ln(x_1+1)-x_1-\ln(x_2+1)+x_2=\ln\frac{x_1+1}{x_2+1}-x_1+x_2$。由于$x_1<x_2$，則$\frac{x_1+1}{x_2+1}<1$，$\ln\frac{x_1+1}{x_2+1}<0$，又因為$x_1<x_2$，則$x_1+x_2>0$，所以$\ln\frac{x_1+1}{x_2+1}-x_1+x_2<0$。因此$f(x_1)-f(x_2)<0$，即$f(x_1)<f(x_2)$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。四、解答題19.（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和運算法則計算。（2）$f'(x)=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，$f''(x)=6x-6$，$f''(\frac{2}{3})=0$，所以$x=\frac{2}{3}$是$f(x)$的極小值點，$f(\frac{2}{3})=\frac{22}{27}$。20.$S_n=2^n-1$解析：由$