廣東省汕頭金山中學2011屆高三上學期期末考試（數學理）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=x^3-3x，若存在實數a和b，使得f(a)+f(b)=0，則a+b的值為（）A.0B.1C.-1D.22.設a>0，函數f(x)=x^2-ax+1，若存在實數x，使得f(x)=0，則a的取值范圍是（）A.a≥1B.a<1C.a>1D.a≤1二、填空題要求：把答案填在題中的橫線上。3.函數f(x)=2x^3-3x^2+4x-1在x=1處的切線斜率為______。4.若函數g(x)=x^2+ax+b的圖像與x軸有兩個不同的交點，則a^2-4b的取值范圍是______。三、解答題要求：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。5.（1）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an^2+an（n∈N*），求證：數列{an}是單調遞增的。（2）已知函數f(x)=x^3-3x，求函數f(x)的圖像的對稱中心。6.（1）已知函數f(x)=x^2-2ax+1，若存在實數x，使得f(x)=0，求a的取值范圍。（2）已知函數g(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求函數g(x)的圖像與x軸的交點個數。四、解答題要求：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。7.（1）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=15，S10=50，求等差數列{an}的首項a1和公差d。（2）已知函數f(x)=x^2-2kx+1，若存在實數x，使得f(x)=0，求實數k的取值范圍。五、證明題要求：證明下列各題8.證明：對于任意的實數x，有x^3+3x≥0。六、應用題要求：根據題目給出的條件，解答下列各題9.已知函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若函數的圖像與x軸有兩個交點，且這兩個交點分別在x=-1和x=3處，求函數的解析式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.0解析：由題意知，f(a)+f(b)=a^3-3a+b^3-3b=0，即(a+b)(a^2-ab+b^2)-3(a+b)=0，化簡得(a+b)(a^2-ab+b^2-3)=0。由于a^2-ab+b^2≥0，所以a+b=0。2.B.a<1解析：由題意知，x^2-ax+1=0有實數解，所以判別式Δ=a^2-4≥0，解得a≤-2或a≥2。又因為a>0，所以a的取值范圍是a<1。二、填空題3.3解析：函數f(x)=2x^3-3x^2+4x-1的導數為f'(x)=6x^2-6x+4，代入x=1得f'(1)=6-6+4=4，所以切線斜率為4。4.(0,+∞)解析：由題意知，x^2+ax+b=0有兩個不同的實數解，所以判別式Δ=a^2-4b>0，解得b<a^2/4。由于a^2≥0，所以a^2-4b>0，即a^2-4b的取值范圍是(0,+∞)。三、解答題5.（1）證明：解析：由數列的定義知，a2=a1^2+a1=1+1=2，a3=a2^2+a2=2^2+2=6，以此類推，可得an+1-an=an^2≥0。因此，數列{an}是單調遞增的。（2）解析：函數f(x)=x^3-3x的導數為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當x=-1時，f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2；當x=1時，f(1)=1^3-3(1)=-2。所以對稱中心為(-1,2)。6.（1）解析：由題意知，x^2-2kx+1=0有實數解，所以判別式Δ=4k^2-4≥0，解得k≤-1或k≥1。（2）解析：函數g(x)=2x^3-3x^2+4x-1的導數為g'(x)=6x^2-6x+4，令g'(x)=0，解得x=±1。當x=-1時，g(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+4(-1)-1=-7；當x=1時，g(1)=2(1)^3-3(1)^2+4(1)-1=2。由于g(x)在x=-1處取得極小值，在x=1處取得極大值，所以g(x)的圖像與x軸的交點個數為2。四、解答題7.（1）解析：由等差數列的性質知，S5=5a1+10d=15，S10=10a1+45d=50。聯立方程組解得a1=1，d=1。（2）解析：由題意知，x^2-2kx+1=0有實數解，所以判別式Δ=4k^2-4≥0，解得k≤-1或k≥1。五、證明題8.證明：解析：對于任意的實數x，有x^3+3x=x(x^2+3)≥0。當x=0時，等式成立；當x≠0時，由于x^2+3>0，所以x(x^2+3)≥0，即x^3+3x≥0。六、應用題9.解析：由題意知，函數的圖像與x軸有兩個交點，且這兩個交點分別在x=-1和x=3處，所以函數的解析式