第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁中考數學總復習《四邊形綜合探究》專項檢測卷(含答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．綜合與實踐小唯根據學習軸對稱的經驗，利用矩形紙片折疊對線段之間的關系進行拓展探究．第一步：在矩形中，E是邊的中點，將沿折疊，得到，延長交射線于點F．【觀察發現】（1）如圖①，連接，則的度數為___________；【拓展探究】第二步：如圖②，更換另一張矩形紙片，E仍然是中點，將沿折疊，此時點落在矩形的外部．（2）求線段，，之間的數量關系；【拓展應用】第三步：在探究過程中，小唯畫出了延長交直線于點G的圖形，當時，測得．（3）請直接寫出的長．2．數學興趣小組的同學們以“圖形的折疊”為主題開展探究活動．【操作推斷】（1）如圖①，點是正方形紙片的邊的中點，沿折疊，使點落在點處，延長交于點，連接，則_____；【遷移探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，延長交于點，連接．①_____；②小明用大小不同的正方形紙片重復幾次以上操作，總發現．請判斷該發現是否正確？并說明理由；【拓展應用】（3）如圖③，在矩形紙片中，，，點是邊上一動點，沿折疊，使點落在點處，射線交射線于點（點在的延長線上）．當時，直接寫出的長．3．問題背景如圖1，在中，，，，點、分別是邊、上的動點，過點作的垂線，垂足為，連接，．設，兩點之間的距離為，、兩點之間的距離為初步運用（1）當時，；思維探究（2）若與全等，則；思維拓展（3）如圖2，以，為鄰邊作，當時，是否存在，使得的頂點恰好落在的邊上？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．4．綜合與實踐活動課上，老師讓同學們以“折紙作的角”為主題開展數學活動．【操作判斷】（1）①如圖①，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平在上選一點P，沿折疊，使點A落在上的點M處，把紙片展平，連接．則______．②如圖②，在前面操作的基礎上，延長與交于點N，則的形狀是______．【遷移探究】（2）小明將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長與交于點Q，連接．如圖③，若改變點P在上的位置(點P不與點A，D重合)，判斷與的數量關系，并說明理由；【拓展應用】（3）在（2）的探究中，已知正方形的邊長為，當P是邊的三等分點時，求出的長．5．綜合與實踐【初步判斷】(1)矩形和矩形全等，且按如圖1所示的方式擺放，點E在的延長線上，點G在的延長線上，連接，，，連接并延長交于點M，則線段與線段的數量關系為________．【深入探究】(2)將圖1中的矩形繞點C逆時針旋轉，判斷（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2進行證明；若不成立，請說明理由．【拓展應用】(3)在（2）的條件下，取的中點N，連接．若，，請直接寫出線段長度的最小值．6．綜合與實踐【問題情境】數學活動課上，老師帶領同學們以正方形為背景探索幾何圖形變化中的數學結論．如圖1，正方形中，點P是邊上的一個動點，E是邊延長線上一點，連接．過點P作，與的平分線相交于點F，求證：．【問題解決】（1）小圳經過思考展示了一種正確的證明思路，請你將證明思路補充完整．在上截取，連接，易得，，______，可得（______），．【問題探究】（2）探究小組經過討論，發現了圖形隱含了很多線段和角的等量關系，如圖2，連接，與邊相交于點Q，連接，給出下列四個結論，①；②；③；④，正確結論的序號是_______．【拓展延伸】（3）創新小組受到啟發，提出了新的問題進行拓展．如圖3，過點F作的平行線交直線于點H，以為斜邊向右作等腰直角三角形，點M在直線上．①試探究與的數量關系，并說明理由；②若，P在射線上運動，當時直接寫出線段的長．7．綜合與實踐【問題背景】有兩個三角形，一個是直角三角形，一個是等邊三角形．①，；②等邊．兩個三角形的點互相重合，可以繞點轉動，點是的中點，連接．【解決問題】（1）如圖1，當時，若點在線段上，，則___________．【觀察猜想】（2）如圖1，直接寫出與的數量關系：___________．【類比探究】（3）如圖2，當，點在線段上方時，其他條件不變，延長交于點，探究的度數是否為定值？若是定值，請求出的度數；若不能求出的度數，請說明理由．【拓展提升】（4）若，，當點，，在同一條直線上時，請直接寫出線段的長．8．【問題提出】在微專題復習課上，王老師引導同學們以“直角三角板的旋轉”為主題開展探究活動：將一大一小兩個等腰直角三角板和按圖1放置，，點在內，連接并延長到點，使，連接，．探究線段與的關系．【思路探究】“諸葛小組”的解題思路：將線段借助平行線進行平移，如圖2，過點作交的延長線于點，這樣可以將和的關系轉化為和的關系；“孔明小組”的解題思路：結合為的中點構造三角形的中位線，如圖3，過點作平行交延長線于點，從而借助三角形中位線性質，將和的關系轉化為和的關系．（1）【推理論證】請你寫出線段與的關系并證明（可以用不同于前面的思路）；（2）【能力提升】“創新小組”在【問題提出】的基礎上對該問題又進一步拓展：連接，將繞點在平面內旋轉，當，，時，請直接寫出線段的長．9．已知：在中，E是邊上動點，連接，F為直線上方一點，連接，．問題探究：（1）如圖1，當為正方形時，若，請直接寫出的值；（2）如圖2，當為矩形時，若求的值；應用拓展：（3）如圖3，當為菱形時，交于點G，且求的長．10．綜合與實踐問題背景如圖，在菱形中，連接，，．初步探究（1）菱形的面積為．（2）如圖1，若E，F分別是，上的動點，且，過點E作，過點F作，垂足分別為點G，點H，求的值．拓展延伸（3）如圖2，P是上的動點，連接．①的最小值為；②如圖3，Q是上的動點，連接，且，求的最小值．

11．綜合與探究已知在平行四邊形中，點E為邊的中點，連接．【動手操作】如圖1，將四邊形沿折疊，得到四邊形，點B的對應點為點F，點C的對應點為點G，連接，如圖2所示．【問題解決】（1）請直接寫出圖（2）中，的形狀；（2）判斷圖（2）中和數量關系，并說明理由．【拓展探究】（3）如圖3，若平行四邊形中．且，當的某一個內角的度數為時，請直接寫出的長度．12．如圖1，是矩形的對角線，作交于點F，交于點E．(1)求證：；(2)如圖2，點G是矩形邊上一點，連接，過點D作交于點E，，若，探究的值；(3)【拓展探究】如圖3，將上述“矩形”改為“平行四邊形”，作交于點E，，，，求的長．13．綜合與實踐【問題背景】已知，等腰直角三角形，，，點在射線上，連接，以為邊作正方形（點在邊所在直線的上方）【探索發現】(1)如圖①，若點與點重合時，寫一個未知角的度數或一條未知線段長___________；【問題探究】(2)如圖②，若點是線段中點，求點到直線的距離；【拓展延伸】(3)如圖③，連接與交于點，點在線段延長線上，若點是線段的三等分點，直接寫出的長．14．定義：一組鄰邊相等且有一個內角為直角的凸四邊形稱為等直四邊形．例如，如圖1，在四邊形中，，，則四邊形為等直四邊形．【特例感知】（1）下列四邊形一定是等直四邊形的是；

（填序號）①平行四邊形

②矩形

③菱形

④正方形（2）如圖2，在等邊中，點D為內部一點，且平分，連接，將線段繞點D順時針旋轉得到線段，連接，．求證：四邊形是等直四邊形．【深入探究】（3）如圖3，在等直四邊形中，，，線段的垂直平分線分別交與的角平分線于E，F，連接，．求證：．【拓展應用】（4）如圖4，已知線段射線，射線平分，點C，D分別在射線，上，若且四邊形是等直四邊形，則的長為．（直接寫出結果）參考答案1．（1）90；（2）；（3）4或2【分析】（1）首先得到，，然后結合折疊的性質得到，，證明出，得到，進而求解即可；（2）如解圖①，連接，證明出，得到，，求出，然后證明出，得到，然后等量代換求解即可；（3）根據題意分兩種情況討論：①當點落在矩形內部時，②當點落在矩形外部時，然后分別求出，證明出，即可求出．【詳解】解：（1）∵E是邊的中點，∴．∵四邊形是矩形，∴．由折疊得，，，∴，又∵∴；（2）如解圖①，連接，∵E是邊的中點，∴．∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質得，，，∴，，∴，都是直角三角形，在和中，，又∵，∴．∴，∴；（3）分兩種情況討論：①當點落在矩形內部時，如解圖②，連接，設，∴．由（1）得，則在中，，，∴解得，即．∵E為的中點，∴∵∴又∵∴∴；②當點落在矩形外部時，如解圖③，連接，由（2）知，設，則，解得（負值已舍去），∴．同理可得，綜上所述，的長為4或2．【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，折疊的性質，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．2．（1）；（2）①；②判斷正確，理由見解析；（3）【分析】（1）根據正方形的性質得到，根據折疊的性質得到，，，根據全等三角形的性質即可解答；（2）①根據正方形的性質得到，進而得到，根據折疊的性質得到，，，根據全等三角形的性質得到，進而完成解答；②根據相似三角形的判定和性質定理即可解答；（3）根據矩形的性質得到，分別運用正方形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質定理進行列式，進行計算，解答即可．【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴，∵點P是正方形紙片的邊的中點，∴，∵沿折疊，使點A落在點M處，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．（2）①∵四邊形是正方形，∴，∵點P是正方形紙片的邊的中點，∴，∵沿折疊，使點A落在點M處，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴．故答案為：．②判斷正確，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．（3）∵在矩形紙片中，，，∴∴，∵沿折疊，使點A落在點M處，∴．設與交于E，∴在中，，，∴，∴，∴，解得，∴，，∴，∴，即，解得，【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質、矩形的性質、勾股定理、折疊的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識點，熟練掌握正方形的性質、相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．3．（1）；（2）或；（3）存在，y【分析】（1）由勾股定理得證得代入計算即可；（2）根據全等三角形的性質分類討論，①；此時與重合，此時；②，四邊形是平行四邊形，則，證明，根據相似三角形的性質得出比例式，進而得出的值；（2）①落在上，作，四邊形是矩形，知，由在中、、可得②落在上，作于點，同上知在中證得據此求解即可．【詳解】解：（1），，，則，，，，，，即，解得，故答案為：．（2）①，此時，如圖1，此時與重合，此時；②，此時，如圖，四邊形是平行四邊形，∴∴∴設，則、，則，，∴，解得，，，故答案為：或；（3）①如圖，落在上，過作于點，則四邊形是矩形，則，在中，、、，則；②如圖，落在上，過作于點，同上，在中，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的性質，矩形的性質，平行四邊形的性質，勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．4．（1）①；②是等邊三角形，理由見解析（2），理由見解析（3）或【分析】本題主要考查了矩形與折疊、正方形的性質、勾股定理、三角形全等的判定和性質等知識點，掌握正方形和矩形的性質是解題的關鍵．（1）①根據矩形的性質以及折疊的特點即可解答；②根據折疊的性質說明即可判定的形狀；（2）利用正方形和折疊的特點，證明，然后根據全等三角形的性質即可解答；（3）當點P是邊的三等分點時，即或；據此分兩種情況分別運用三角形全等和勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）①∵對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，∴，，，∴，∴，∴，∵沿折疊，使點A落在上的點M處，∴．故答案為：．②是等邊三角形，理由如下：∵，∴，∴是等邊三角形．（2）解：，理由如下：由折疊性質得，．∵四邊形是正方形，∴．∴．又∵，，∴．∴．（3）解：∵P是邊的三等分點，∴或，①如圖：當時，由（2）可知：，∴，設，則，在中，有，解得：，即；②如圖：，由（2）可知：，∴，設，則，在中，有，解得：，即；綜上所述，的長為或．5．(1)(2)仍然成立，證明見解析(3)【分析】本題考查了矩形的性質、全等三角形的性質與判定、三角形中位線定理、線段最值問題，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）延長與交于點，利用全等矩形的性質和全等三角形的判定證明，得出，即可得出結論；（2）過點F作交的延長線于點H，利用全等矩形的性質和全等三角形的判定證明，得出，即可得出結論；（3）連接，利用全等矩形的性質和勾股定理求出，再利用兩點之間線段最短的性質求出，利用三角形中位線定理得到，即可求出線段長度的最小值．【詳解】（1）解：如圖，延長與交于點，矩形和矩形全等，，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，又，，．（2）解：仍然成立，證明如下：如圖，過點F作交的延長線于點H，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，又，，．（3）解：如圖，連接，矩形和矩形全等，，，，，，，解得：，由（2）得，，又點N是的中點，，又，，的最小值為．6．（1）（或）；（或）；（2）①②③；（3）①，理由見解析；②3或7．【分析】（1）由分析思路知，只要或，利用（或）從而可證明，進而得到結論；（2）由且得等腰三角形，得，從而判斷①；延長至點M，使得，連接，先由證明，再由證明，即可判斷②；由且，可得，從而，由此即可判斷③；假設，則得，從而得，得到矛盾，從而可判斷④，最后可得到結論；（3）①在上截取，連接，由證明，由全等三角形的性質及勾股定理即可得到與的數量關系；②分兩種情況考慮：P在線段上；P在線段延長線上；利用等腰三角形的性質，勾股定理及全等三角形的判定與性質即可求解．【詳解】解：（1）（或）；（或）解：（2）①②③，①∵，且∴是等腰直角三角形，∴，即①正確；②如圖，延長至點M，使得，連接，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，即②正確；③∵且，∴，又，∴，即③正確；假設，則；∵平分，且，∴，∴，則；∵，∴,∴，這與相交矛盾，故④錯誤；綜上，正確的是①②③；故答案為：①②③；解：（3）①；證明：在上截取，連接，如圖；則，∵是等腰直角三角形，∴，則，∴，∴；②或7；理由如下：當P在線段上時，∵，，∴，∴，∴；∵是等腰直角三角形，∴，∴；當P在延長線上時，延長使，連接，則是等腰直角三角形，∴，又，∴，∴；又，，∴；∵是等腰直角三角形，∴，∴；綜上，或7．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，構造輔助線證明三角形全等是解題的關鍵，注意分類討論．7．（1）；（2）．理由見解析；（3）的度數是定值，；（4）線段的長為或．【分析】（1）利用直角三角形的性質求得，，根據條件求得，再利用勾股定理即可求解；（2）由三角形中位線定理得，，則；求得，；再由H是中點，是等邊三角形，則，則可證明，即有，從而；（3）證明，即可得到，再利用四邊形內角和定理即可求解，；（4）分兩種情況考慮：當點E在線段上時；當點E在線段延長線上時；利用等邊三角形的性質及勾股定理即可計算．【詳解】解：（1）∵，，且，∴，，∵，∴，∴；故答案為：；（2）．理由如下，取的中點G，的中點H，連接，∵G、H分別是的中點，∴，，∴；∵，∴；∵分別是斜邊上的中點，∴，∵，∴；∴，∴；∵是等邊三角形，∴；∵P是的中點，∴，；∴；∵H是中點，，∴；∵，∴是等邊三角形，∴；在與中，，∴，∴；∵，∴；（3）的度數是定值，理由如下：如圖所示，由題意得，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即；（4）∵，，且，∴，，當點E在線段上時，如圖，過點C作于N；∵，P是的中點，∴，∵是等邊三角形，P是的中點，∴，，∵，∴；∴；在中，由勾股定理得：，∴，當點E在線段的延長線上時，如圖，過點C作于N；同理，得，∴；綜上所述，線段的長為或．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線性質，含30度直角三角形的性質，等邊三角形的性質與判定等知識，構造出全等三角形是解本題的關鍵．8．（1），，理由見解析；（2）的長為8或15【分析】（1）勤學小組的解法：將線段借助平行線進行平移，過點B作平行交的延長線于點G，這樣可以將證明和的關系轉化為和的關系，即可得證；“善思小組”的解法：結合F為的中點構造三角形的中位線，過點B作平行交延長線于點H，從而借助三角形中位線性質，將和的關系轉化為和的關系，即可得證．（2）當點在內部時，可證得C、D、F共線，根據可求得，進而得出結果；同樣求得當點在外部時的結果．【詳解】解：（1），，理由如下：證法1：如圖1，延長至，使，連接，延長交的延長線于點，∵，四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，點A、H、B、C共圓，∴，∴，∴；證法2：如圖2，延長至，使，連接，延長交于，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，；（2）設，如圖3，當點在內部時，由（1）知，，，∴，∵，，∵，∴，∴C、D、F三點共線，∵，∴，∴，∴，(舍去)，∴；如圖4，當點在外部時，∵，∴，∵，∴，∴、、三點共線，∵，∴，∴，∴，（舍去），∴．綜上所述：的長為8或15．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，確定圓的條件，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是根據題意畫出圖形．9．（1）；（2）；（3）【分析】（1）在上截取，連接，利用正方形性質證明，再利用解三角形求出，繼而得到答案；（2）在上截取，連接，利用矩形性質得，再證明，再利用勾股定理得即可求出；（3）在上截取，連接，過點作于點，過點作于點，證明，再利用菱形性質及解三角形列式即可得到答案．【詳解】解：（1）當為正方形時，若，則的值為，理由如下：在上截取，連接，如圖：，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）在上截取，連接，如圖：，∵為矩形，∴，∴，∴，∵∴，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴；（3）在上截取，連接，過點作于點，過點作于點，，∵，，∴，同理，∴，，∵為菱形，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，，∴．【點睛】本題考查相似三角形判定及性質，正方形性質，菱形性質，平行四邊形性質，解三角形相關計算，等腰三角形性質，全等三角形判定及性質，勾股定理等．10．（1）24；（2）4；（3）①；②【分析】（1）連接，交于點O，根據菱形的性質得出，，，根據勾股定理求出，最后求出結果即可；（2）連接，交于點O，過點E作于點K，證明，得出，即可得出，求出結果即可；（3）①過點A作于點，根據垂線段最短，得出的最小值為的長，根據菱形面積求出結果即可；②在的延長線上截取，連接，．證明，得出，根據當點A，點P，點R在同一條直線上時，有最小值，即的最小值為的長，過點A作于點T，根據勾股定理求出．【詳解】解：（1）連接，交于點O，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，∴，∴，∴；（2）如圖1，連接，交于點O，過點E作于點K．∵四邊形是菱形，∴，∵∴四邊形是矩形∴∵，∴，∵，∴，即．∵，∴．又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴的值為4．（3）①如圖2，過點A作于點，∵垂線段最短，∴的最小值為的長，由（1）可知菱形的面積為24，∴，即，解得：，∴的最小值為．②如圖3，在的延長線上截取，連接，．∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，即．又∵，∴，∴，∴，∴當點A，點P，點R在同一條直線上時，有最小值，即的最小值為的長，∴的最小值為的長過點A作于點T，由①易知，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點睛】本題主要考查了勾股定理，菱形的性質，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．11．（1）直角三角形；（2）相等，見解析；（3）或【分析】本題考查折疊的性質，平行四邊形的性質，解直角三角形，熟練掌握折疊的性質，是解題的關鍵：（1）延長交于點，折疊得到垂直平分，進而得到，得到為的中位線，進而得到，得到，即可得出結論；（2）根據平行線的性質，得到，折疊得到，即可得出結論；（3）分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：（1）為直角三角形，理由如下：延長交于點，∵折疊，∴垂直平分，∴，∵點E為邊的中點，∴為的中位線，∴，∴，∴為直角三角形，故答案為：直角三角形；（2），理由如下：（1）可知：，∴，∵平行四邊形，∴，∴，∵折疊，∴，∴；（3）∵平行四邊形中，，∴平行四邊形是矩形，∴，由（1）（2）可知：；①當時，則：，在中，，，∴，∵點E為邊的中點，∴；②當時，則：，在中，，，∴，∵點E為邊的中點，∴；綜上：的長為或．12．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據同角的余角相等得出，即可證明；（2）設，，，根據得出，即可求解；（3）過點B作交于點G，設，，得；先證出得；再證得出，，再結合勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：設，，，由（1）知，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，解得或（舍），∴；（3）解：過點B作交于點G，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，設，，由勾股定理得，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，即，，∴，，由勾股定理得，，∴，解得，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，矩形的性質、平行四邊形的性質以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．13．(1)，（答案不唯一）(2)6(3)【分析】（1）根據等腰直角三角形和正方形的性質即可解答；（2）作于點，利用正方形的性質證明，得到，再結合（1）中的結論即可解答；（3）作交延長線于點，作交于點，同理（2）的方法可得：，得到，，通過證明得出，結合點是線段的三等分點，分或兩種情況討論，設