第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁中考數學總復習《銳角三角函數與圓綜合計算》專項檢測卷(含答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是的中點，于點F，延長至點Q，連接，，(1)求證：是的切線；(2)若點P是上的一點，連接．①求的值；②若為的角平分線，求的長．2．如圖，點A、B、C在圓O上，，點O在上．

(1)求證：直線與相切；(2)若，求圖中陰影部分的面積．3．如圖，是的弦，P是圓上一動點，連接，作，交的延長線于點Q，點C為上一點，且滿足．(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為5，弦的長等于的半徑，當的值最大時，求的長度．4．如圖，，分別與相切于E，F兩點，點G是圓上一點，直線過點G，且，交于C點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（保留根號和）．5．如圖，點A，，是半徑為6的上三個點，的平分線交圓于點，過點作的垂線交的延長線于點．延長交的延長線于．(1)判斷直線與的位置關系，并證明；(2)若，求的值．6．如圖，在中，，是的角平分線，以O為圓心，為半徑作圓O．(1)求證：是圓O的切線；(2)已知交圓O于點E，延長交于點D，，求的值．7．如圖，內接于，，，于點，點在圓上（位于異側），，連結．(1)求證：①；②；(2)當時，求的長；(3)當時，用含有的代數式表示．8．綜合探究如圖1，已知，，，，沿對折得到，點O是線段上動點，過點O作交于點E，以O為圓心，為半徑作圓(1)求證：是的切線：(2)如圖2，連接交于點F，當與相切時，求的半徑：(3)如圖3，當點O運動到點B時，延長與交于點G，連接與交于點H，求的長．9．【概念呈現】設一個鈍角三角形的兩個銳角為α與β，如果滿足條件，那么我們稱這個鈍角三角形為倍余三角形，這個銳角α叫做倍余角．(1)【概念理解】當倍余三角形是等腰三角形時，求倍余角的度數；(2)【拓展探索】如1圖，是倍余三角形，是鈍角，是倍余角，求證：(3)【綜合應用】如2圖，是的直徑，點C，D是圓上的兩點，弦與交于點E，連接，且，，當是倍余三角形，且為倍余角時，求的長．10．我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對應關系，用直線上點的位刻面圓上點的位置．如圖，是的直徑，直線l是的切線，B為切點，是圓上兩點（不與點A重合，且在直徑的同側），分別作射線交直線l于點C，點D．(1)如圖1，當，長為時，求的長；(2)如圖2，當時，求的值；(3)如圖3，當時，連接，直接寫出的值．11．如圖，在矩形中，，連接，點關于的對稱點為點，連接、、、，與交于點．以點為圓心，為半徑作圓．(1)如圖1，當點在上時，求證：；(2)如圖2，當點在上時，求的值；(3)如圖3，、分別交于點、，請探究與的數量關系，并證明．12．如圖，直角三角形中，以直角邊為直徑作圓交于點，過點作于點，為的中點，連接并延長交于點，．(1)求證：；(2)求；(3)若，求圓的面積．13．如圖1，是的直徑，點是圓上一點（，除外），點，在上，滿足的延長線分別交于點．記，(1)若，求的度數；(2)連結，求證：；(3)如圖2，連結并延長，交于點，若，①求的值；②請直接寫出的值14．在中，于點D，P是邊上（與點A，C不重合）的動點，連接PB交于點M，過C，P，M三點作交的延長線于點N，連接．(1)求證：；(2)如圖2，連接，若與相切，求此時的半徑r；(3)在點P的運動過程中，設線段長為y，圓半徑為r，求y關于r的函數解析式及其定義域15．已知點是以為直徑的圓上一點，連結，在上截取，連結并延長交圓于點，連結，設．(1)如圖1，若時，求度數；(2)如圖2，過點作，證明：；(3)如圖3，若，連結并延長，交的延長線于點，設的面積為，設面積為，用含的代數式表示．參考答案1．(1)詳見解析(2)①；②【分析】（1）根據，證明，再根據圓周角定理得出，即可證明，即可證明；（2）①連接，證明，設的半徑為，利用相似三角形的性質得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；②過點作交于點，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．本題考查圓的綜合應用，主要考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接，．，，，，為的直徑，，，是的切線；（2）解：①如圖，連接，是的中點，，，為的直徑，，，，．，設的半徑為，則，解得，經檢驗，是方程的解，，，，，．②如圖，過點作交于點，，，是的角平分線，，，，，，，．2．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查切線的判定、扇形面積的計算：（1）連接，由得出，進而證明，可證直線與相切；（2）連接，過點O作于E，過點O作于F，分別計算出和，則．【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：

∵，∴，∴，∵，∴，即，又∵為的半徑，∴直線與相切；（2）解：連接，過點O作于E，過點O作于F，如圖2所示：

∵，，，∴，在中，，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，在中，，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，．∴．3．(1)詳見解析(2)【分析】本題考查圓的切線判定及與圓相關的線段長度計算，解題關鍵是利用圓的性質、三角形相似及全等的判定與性質進行推理計算．（1）連接并延長交圓于，連，利用同弧所對圓周角相等得,由直徑所對圓周角是直角，得，推出.結合，等量代換得到，根據切線判定得出為圓的切線．（1）先證是等邊三角形，得出，在中求的值。利用兩角相等證，得出與關系，確定為直徑時最大并求值。證得，再通過角的關系證，從而得出并計算出長度．【詳解】（1）證明：如圖1，連接并延長，交于點D，連接，則．∵為的直徑．∴，∴．又∵，∴，∴，即．∵為的直徑，∴為的切線．（2）解：如圖1，連接．∵，∴是等邊三角形，∴在中，．∵，，∴，∴，∴，∴當經過圓心O時，取得最大值，為．如圖2，連接，．在和中，∵，，∴，∴，∴．∵為的直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴4．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質可得，從而可證得，再證，可得，可證得結論；（2）先證得，在中，，在中，，可得，再根據可求出答案．【詳解】（1）證明：連接，，是的切線，，，，，，．在和中，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，是的切線，平分，平分，，，，．，，．在中，，在中，，，．【點睛】此題考查了切線的判定與性質，解直角三角形，不規則圖形的面積以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．5．(1)相切，見解析(2)【分析】（1）先利用等邊對等角和角平分線的定義進行角的轉化求出，進一步得到，即可求證．（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的判定與性質求出和，最后利用正切的定義求解．【詳解】（1）解：直線與相切．證明：如圖，連接．，，平分，，，，，．∵是的半徑，是的切線．（2）解：∵在中，，∴，，∴，，，，，在中，．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系——切線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，求角的正切函數，角平分線的定義，平行線的判定與性質等知識，解題關鍵是能作出輔助線構造相似三角形．6．(1)見解析(2)【分析】（1）過點作于點，然后證明即可；（2）連接，先求證，然后可知，所以，進而得出的值．【詳解】（1）證明：過點作于，∵平分，∴，即點在圓上，∴是的切線；（2）解：連接，如圖，∵是的直徑，，，，，，，設，圓的半徑為r，則，在中，，解得：或（舍），則，，，，設，根據（1）可得，∴，則，在中，，解得（舍去）或，，，．【點睛】本題考查圓的綜合問題，解題的關鍵是證明．本題涉及勾股定理，全等三角形，圓周角定理，相似三角形，解方程，圓的切線判定知識，內容比較綜合，需要學生構造輔助線才能解決問題，對學生綜合能力要求較高．7．(1)①見解析；②見解析(2)(3)【分析】本題考查了圓的性質、直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質等知識．解題的關鍵是利用圓中弧、角的關系以及直角三角形的相關性質進行推理和計算．（1）①設，根據為的直徑，得到，利用所對的圓周角相等，最后得到，從而；②連結，則，證明，得到，得到；（2）設，則，證明，得到，建立方程求解；（3）設，則，得到，再結合三角函數的定義求解．【詳解】（1）證明：（1）①設，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②連結，則，又∵，∴，∴，∴；（2）解：由（1）得，，設，則，連結，則，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，即，解得（舍）∴的長為．（3）解：設，則，，∴，∴8．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）過點O作于點M，根據折疊說明平分，根據角平分線的性質得出，即可證明結論；（2）連接，先證明平分，證明為等邊三角形，得出，求出，解直角三角形得出，，即可得出答案；（3）根據勾股定理求出，解直角三角形求出，連接，證明，得出，求出，證明，得出，求出結果即可．【詳解】（1）證明：過點O作于點M，如圖所示：∵沿對折得到，∴,即平分，∵，，∴，∴是⊙O的切線；（2）解：連接，如圖所示：∵與相切，∴，，而，∴平分，根據折疊可知：，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的半徑為1．（3）解：由題意可得，，∴，根據解析（2）可知：，根據勾股定理得：，∴，∴，負值舍去，∵，，∴垂直平分，∴，連接，如圖所示：∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題是圓和三角形的綜合題，相似三角形的判定和性質，解直角三角形的有關計算，有一定的難度和區分度，切線的判定和性質，具有一定的選拔功能．把單一維度的考查轉向多維度考查，注重基礎知識、基本技能、基本思想方法，凸顯通性通法、模型觀念和創新意識．9．(1)倍余角的度數為(2)見詳解(3)【分析】（1）根據新定義，等腰三角形的性質，列方程再求解即可；（2）作，根據新定義可得，再證明，利用相似三角形的性質和銳角的正切的比例關系證明即可；（3）當為倍余角時，由，可知為倍余角，由（2）得：，則，進而可得出，作于，由即可求出長．【詳解】（1）解：設倍余角的度數為．根據題意可得：，解得：，∴倍余角的度數為．（2）證明：如圖1，作交于，，∵是倍余三角形，是鈍角，是倍余角，，，，∵，，．（3）解：如圖，當是倍余三角形，且為倍余角時，∵∴，，是倍余三角形，且為倍余角，∵是直徑，∴，由（2）得：，，當是倍余三角形，且為倍余角時，，，即，∵，∴，，∵，，，作于，，∴，∴，，；【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，三角函數，等腰三角形的性質和判定,勾股定理等，解題的關鍵是理解新定義，結合以上知識點解題，熟練掌握新定義的運用．10．(1)(2)(3)【分析】（1）根據扇形的弧長公式即可求出度數，利用切線的性質和解直角三角形即可求出的長．（2）根據等弧所對圓周角相等推出，再根據角平分線的性質定理推出，利用直角三角形的性質即可求出，通過等量轉化和余弦值可求出答案．（3）根據三角形相似的性質證明和，從而推出，和，利用已知條件將兩個比例線段，相除，根據勾股定理即可求出答案．【詳解】（1）連接，設的度數為，，長為，，，即，，直線l是的切線，，，即，解得．（2）如圖2，連接，過點作于，為直徑，，，，，，，，．（3）如圖3，連接，，，，，，，①，，，②，，得，即，由，可得，即，，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質，解直角三角形以及三角函數、切線的性質定理、扇形的弧長公式，角平分線性質定理等，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質定理和相關計算公式．11．(1)見解析(2)(3)，證明見解析【分析】（1）根據矩形、軸對稱及圓的性質證明，，進而可證得；（2）根據矩形、軸對稱得，則，進而可知，連接，可知，則，再證，由，得，，結合，，得，可知，進而得，即可求解；（3）連接，交于點，由矩形的性質得，，，可知，由軸對稱可知，，，再證，得，可知，再證是的中位線，得，可知，得，進而可知，得，即可證得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵點、關于對稱，∴，∵點在上，∴，∴，∴，∴，則，在與中，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∵點、關于對稱，∴，∴，，∴，則，，，∴，連接，∵點在上，∴，則，，∴，∵，∴，，∵，則，，則，∴；（3），證明如下：連接，交于點，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵點、關于對稱，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查矩形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，等腰三角形的性質，解直角三角形等知識點，掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．12．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據題意可得，可證，，得到，，由為的中點，即，得到即可求解；（2）連接，設，，可證明，則，而，由，得到，，則在中，由勾股定理得，解得：，那么由即可求解；（3）連接，由直角三角形性質得到，則，求出，即可求解面積．【詳解】（1）證明：∵根據題意，是直角三角形，，以直角邊為直徑作圓，，∴，∴，，∴，，∴，∵為的中點，即，∴；（2）解：連接，設，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∵，∴，，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，，，解得：，∴；（3）解：連接，∵，F為中點，∴，∴由上得：，∴，∴圓的面積為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性質，難度較大，正確合理轉化是解題的關鍵．13．(1)(2)見解析(3)①；②【分析】（1）由題易得，再根據，，可得，，進而得解；（2）由（1）方法可得，連接，，易得是等腰直角三角形，從而得證；（3）①先證，得，再根據，設，，則，利用相似比得解；②連接、，過作于點，先證是等腰直角三角形，得，進而利用勾股定理求得，進而證，所以，利用等面積勾股定理求得，所以，再求出，即可得解．【詳解】（1）解：是的直徑，，，，，，，，；（2）證明：是的直徑，，，，，，，，．連結，，則，，，；（3）解：①四邊形是圓內接四邊形，，，，，，設，，則，，，，；②連接、，過作于點，由①得，，，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，，，，，在中，，由等面積可得，，，，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．14．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，根據圓內接四邊形性質和同弧所對圓周角相等推出，再結合等腰三角形的性質推出，即可求證；（2）連接并延長交于點H，連接，根據，推出，從而得到，證明，得到，再利用同一個三角形面積不變性求解出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出半徑；（3）連接，，，作，根據條件推出，利用垂徑定理和圓周角定理推出，再利用三角函數即可求得線段MN和半徑r之間的數量關系．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵∴∵圓內接四邊形∴又∵∴又∵∴∴∴∴∴（2）如圖2，連