PAGE1思維導圖第03講全等三角形的判定（二~四）思維導圖知識點1全等三角形的判定二ASA（ASA）ASA1.用紙板擋住了三角形的一部分，小明根據所學知識很快就畫出了一個與原來完全一樣的三角形，他的原理是什么？

動手做一做：按下列作法，用圓規和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一側分別作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN相交于點C．△ABC就是所求作的三角形．通過自己實踐后發現：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）．AAS如圖，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，那么這兩個三角形全等嗎？解：全等。證：∵∠A=∠D，∠B=∠E∴∠C=∠F（三角形的內角和為180°）在▲ABC和▲DEF中∴▲ABC≌▲DEF（ASA）通過自己實踐后發現：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“AAS”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．知識點2全等三角形的判定三SSSSSS按下列作法,用直尺和圓規作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a作法：（1）作線段BC=a、（2）分別以B、C為圓心，c、b的長為半徑畫弧，兩弧相交于點A。（3）連接AB、AC?！鳤BC是所求的三角形。通過自己實踐后發現：三邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．知識點3直角三角形全等的判定HLHL按下列做法，用直尺和圓規作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ與點A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形?？匆幌伦约鹤鞯娜切魏推渌瑢W完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運用AAS證全等即可。通過自己實踐后發現：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）教材習題01如圖，點，，，在一條直線上，，，，求證：．證明：，，，，即，在和中，，，．教材習題02如圖，點、、、在一條直線上，，，，求證：．證明：，，，，即，在和中，，．教材習題03已知：如圖，在中，，是邊上的中線，求證：．證明：∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴．教材習題04如圖，點，，，在同一直線上，點和點分別在直線的兩側，且，，．求證：．證明：，，，，，．教材習題05已知：如圖，點在同一直線上，．(1)求證：；(2)求證：（1）證明：∵，∴；（2）證明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴．教材習題06如圖，在中，于點D，若，在上截取，連接并延長交與點E，試判斷和的關系，并說明理由．解：，．理由如下，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．教材習題07如圖所示，點B、E、F、C在同一條直線上，有．，垂足分別為點E、F，且，，求證：(1)；(2)．（1）證明：∵，∴，即，∵，，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．考點一、用ASA證全等1．如圖，點B，F，C，E在直線l上，點A，D在l的兩側，，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識，根據平行線的性質證明是解題的關鍵．（1）由，得，而，即可證明；（2）根據全等三角形的性質得，則，即可求得．【詳解】（1）證明：∵，∴，在與中，∴．（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴．2．如圖，點D是的邊延長線上一點，且，過D作，且，連接交于點F，若，求證：．【答案】見詳解【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵；由題意易得，，則有，然后問題可求證．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．3．如圖，，，，求證：．【答案】見解析【分析】此題考查全等三角形的判定，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．利用兩直線平行同位角相等得到，由此根據證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，即，在和中，∴．考點二、用AAS證全等1．如圖．已知是邊的中線．，、與直線的交點分別為點、，請說明與全等的理由．【答案】理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關鍵：中線得到，平行得到，利用，即可得證．【詳解】解：與全等的理由如下：∵是邊的中線，∴，∵，∴，∴．2．如圖，點在同一直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，根據平行線的性質得到，由得出，再利用證明即可，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．【詳解】證明：，，，，，在和中，，．3．如圖，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，三角形內角和定理，平行線性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．根據平行線性質結合三角形內角和定理得到，再根據“”即可證明三角形全等．【詳解】證明：，，，，即，∵，，在與中，，．考點三、用SSS證全等1．如圖，四邊形中，，，，(1)求證：；(2)求證：；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質得，利用證明，根據全等三角形的性質求出，再根據角的和差得出結論．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，（2）證明：由（1）可知，，，在和中，，，，即．2．如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，．(1)求證：；(2)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．（1）先證明，再運用SSS證明；（2）根據三角形內角和定理可求，由（1）知，從而可得結論．【詳解】（1）在與中（2）3．如圖，在中，，，為延長線上一點，點在上，且，．(1)求證：；(2)若，，求的長度；(3)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)9(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識點．（1）利用證明與全等；（2）先根據全等三角形性質得出，進而求出，的長度，再計算；（3）先求出，再根據全等三角形性質得到，最后求出．【詳解】（1）證明：在和中，，；（2）解：，．∵，∴．又，．，，；（3）解：，，，，，，，，，．考點四、用HL證全等1．如圖，．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定，先根據，可得，再根據“斜邊，直角邊”證明即可．【詳解】證明：，，即．，和都是直角三角形，在和中，，∴．2．如圖，點C，D均在線段上，且，分別過點C，D在的異側作，連接交于點G，．(1)求證：．(2)求證：G是線段的中點．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質．（1）由得，證明，即可證明；（2）證明，得到即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，，∴，∴，即G是線段的中點．3．如圖，于，于，若，．(1)求證：；(2)已知，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．（1）求出，根據全等三角形的判定定理得出，推出；（2）根據全等三角形的性質得出，由線段的和差關系求出答案．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，；（2）解：，，，，在和中，，，．考點五、特殊的SSA證全等1．【問題呈現】如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時，符合條件的三角形有多少種？【問題探究】如圖1，，請你用圓規在的另一邊找到點C，使，這樣的點C有____________個，說明符合條件的三角形有____________種；我們可以發現，此時（即“邊邊角”對應相等）兩個三角形____________全等；【拓展思考】如圖2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）．【答案】[問題探究]2，2，不一定；[拓展思考]鈍角【分析】本題考查全等三角形的判定和性質：[問題探究]根據全等三角形的幾種判定方法解答即可；[拓展思考]根據全等三角形的性質解答即可．【詳解】解：[問題探究]如圖，這樣的點C有2個，說明符合條件的三角形有2種；我們可以發現，此時（即“邊邊角”對應相等）兩個三角形不一定全等；[拓展思考]∵是鈍角三角形，，∴一定是鈍角三角形；故答案為：[問題探究]2，2，不一定；[拓展思考]鈍角．2．[教材呈現]如圖是華師版八年級上冊65頁的部分內容．如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形．

把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時，符合條件的三角形有多少種?(1)【操作】如圖，，請你用圓規在的另一邊找到點，使；(2)【發現】（1）中的點有______個，說明符合條件的三角形有______種；此時（即“邊邊角”對應相等）兩個三角形______全等．（填一定或不一定）；(3)【思考】如圖，已知，若，則下列判斷不正確的是（

）

A．一定是鈍角三角形

B．

C．

D．的面積與的面積相等【答案】(1)作圖見解析(2)2，2，不一定(3)A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據要求畫出圖形即可得結論；（2）由（1）中所作圖形，利用全等三角形的性質判斷即可得到答案；（3）利用全等三角形的性質判斷即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：

點及即為所求；（2）解：由（1）中所作圖形可知，這樣的點有2個，說明符合條件的三角形有2種；我們可以發現，此時（即“邊邊角”對應相等）兩個三角形不一定全等，故答案為：2，2，不一定；（3）解：，是鈍角三角形，一定是鈍角三角形，故選：A．3．教材呈現：如圖為華師版八年級上冊數學教材第65頁的部分內容．做一做，如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時符合條件的角形有幾種？(1)[操作發現]如圖（1），通過作圖我們可以發現，此時（即“邊邊角”對應相等）的兩個三角形______全等（填“一定”或“不一定”）．(2)[探究證明]閱讀并補全證明已知：如圖（2），在和中，，，．求證：．證明：在上取一點G，使，∵，∴______，又∵，而，∴______，∵，∴______，又∵______，∴（______），∴（______）．【答案】(1)不一定(2)，，，，，全等三角形對應邊相等【分析】本題主要考查了尺規作圖作三角形，全等三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）依題意，通過作圖可以得出結論；（2）根據已有的過程且結合全等三角形的判定與性質即可完成證明．【詳解】（1）解：如圖1，通過作圖我們可以發現，此時（即“邊邊角”對應相等）的兩個三角形不一定全等，故答案為：不一定；（2）證明：在上取一點G，使，∵，∴，又∵，而，∴，∵，∴，又∵，∴，∴（全等三角形對應邊相等），故答案為：，，，，，全等三角形對應邊相等．考點六、全等模型———線三等角1．如圖，在中，，直線經過頂點，過，兩點分別作的垂線，，，為垂足，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的常見模型：垂線模型，熟悉模型的構成及相關結論是解題關鍵．（1）證即可求證；（2）由（1）可得，據此即可求證．【詳解】（1）證明：，，.在和中，，.，，即.（2）解：，.又，，.2．通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：(1)如圖1，點A在直線l上，，過點B作于點C，過點D作交于點E．得．又，可以推理得到．進而得到結論：_____，_____．我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點C，于點E，與直線交于點，求證：．【答案】(1)，(2)見解析【分析】本題考查一線三直角全等問題，（1）由，得，則，而，即可證明，得，，于是得到問題的答案；（2）作于點，因為于點，于點，所以，由（1）得，因為，所以，則，而，即可證明，得，所以，再證明，則．【詳解】（1））解：于點，于點，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案為：，．（2）證明：如圖2，作于點，∵于點，于點E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．3．已知，中，，，直線m過點A，且于D，于E，當直線m繞點A旋轉至圖1位置時，我們可以發現．(1)當直線m繞點A旋轉至圖2位置時，問：與、的關系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數量關系？（直接寫出，不必證明）【答案】(1)，證明見解析；(2)，，．【分析】（1）利用條件證明，再結合線段的和差可得出結論；（2）根據圖，可得、、存在3種不同的數量關系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直線m在繞點A旋轉一周的過程中，、、存在3種不同的數量關系：，，．如圖1時，，如圖2時，，如圖3時，，（證明同理）【點睛】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質．考點七、全等模型——手拉手1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數．

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根據旋轉的性質證明△ABE≌△CBD（SAS），進而得證；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據三角形內角和定理進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，利用旋轉的性質證明是解題的關鍵．2．問題發現：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉，線段，交于點，則與之間的關系是否仍然成立？請說明理由．【答案】問題發現：，；拓展探究：成立，理由見解析【分析】問題發現：根據題目條件證△ACE≌△DCB，再根據全等三角形的性質即可得出答案；拓展探究：用SAS證，根據全等三角形的性質即可證得．【詳解】解：問題發現：延長BD，交AE于點F，如圖所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案為：，；拓展探究：成立．理由如下：設與相交于點，如圖1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關鍵．3．如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．（1）求證：；（2）若把繞點任意旋轉一個角度，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析．【分析】（1）根據等邊三角形邊長相等的性質和各內角為的性質可求得，根據全等三角形對應邊相等的性質即可求得．（2）根據題意畫出圖形，證明方法與（1）相同．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，與都是等邊三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD，（2）成立；理由如下：如圖2中，、均為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質的運用及全等三角形的判定和性質的運用．解決本題的關鍵是證明三角形全等，屬于中考?？碱}型．考點八、全等模型——倍長中線1．安安同學遇到這樣一個問題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍.寧寧提示她可以延長到，使，連接，證明，經過推理和計算使問題得到解決.請解答：(1)和全等嗎？請說明理由；(2)求出的取值范圍.【答案】(1)全等，理由見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形的三邊關系；（1）根據中線的性質可得，延長到，使，根據證明，即可；（2）根據三角形的三邊關系，即可求解．【詳解】（1）解：∵是中線，∴，延長到，使，又，∴（2）由（1）可知，，，在中，，，∴，即，∴.2．（1）如圖，在中，，，點G是的中點，求中線的取值范圍；（2）如圖，在四邊形中，，點E是的中點．若是的平分線．試探究，，之間的等量關系，并證明你的結論．【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，證明見解析【分析】（1）延長DG至M，使GM=DG，連接MF，利用SAS可證得，利用全等三角形的對應邊相等可得到DE=MF，再利用三角形的三邊關系定理，可求出DG的取值范圍；（2）延長AE，DC相交于點F，利用平行線的性質可知∠BAE=∠F，利用AAS可證得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性質可證得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分線的定義去證明∠F=∠DAF，利用等角對等邊可證得AD=DF，然后根據DF=DC+CF，代入可證得結論．【詳解】（1）解：延長DG至M，使GM=DG，連接MF，在和中，∴(SAS)，∴DE=MF=3，∵DF-MF＜DM＜DF+MF，∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∵，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；（2）AD=CD+AB，理由如下：解：延長AE，DC相交于點F，∵，∴∠BAE=∠F，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，在和中，∴（AAS），∴AB=CF，∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD，∵FD=CD+CF，CF=AB，∴AD=CD+AB．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形三邊關系，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握這些知識點并添加輔助線．3．【發現問題】（1）數學活動課上，馬老師提出了如下問題：如圖1，在中，，．是的中線，求的取值范圍．【探究方法】第一小組經過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉化在中；③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是________；方法總結：解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三角形【問題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，下列四個選項中：直接寫出所有正確選項的序號是________．①；②；③；④【問題拓展】（3）如圖3，，，與互補，連接、，E是的中點，試說明：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長交于點F，，，則的面積是________．【答案】（1）；（2）②④；（3）見解析；（4）【分析】（1）由“”可證，可得，由三角形的三邊關系可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，，即可求解；（3）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結論；（4）由全等三角形的性質可得，，，由三角形的面積公式可求解．【詳解】（1）解：如圖1中，延長至點，使．在和中，，，，，，，；（2）解：如圖2，延長至，使，連接，是中線，，又，，，，，，，，為中線，，，，又，，，，，∴正確選項的序號是：②④；（3）證明：如圖3，延長至，使，連接，是的中點，，又，，，，，，，與互補，，，又，，，，；（4），，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，中點的性質，平行線的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．知識導圖記憶1．如圖，在與中，若，則，這個結論的理由是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了直角三角形全等的判定的應用，注意判定兩三角形的全等方法有，，，，，選用適當的方法證明兩三角形全等是解題的關鍵．利用證明，即可求解．【詳解】解：在與中，∵，∴．故選：C2．工人師傅常用角尺平分一個任意角．做法如下：如圖，是一個任意角，在邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點，重合．過角尺頂點的射線便是的平分線．這種方法是通過判定得到，其中判定的依據是（

）A．三邊分別相等的兩個三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法，進行判斷即可．【詳解】解：由題意，可知：，∴；故選A．3．如圖1，已知，，線段，求作．作法：如圖2，①作線段；②在的同旁作，，與的另一邊交于點．則就是所作三角形，這樣作圖的依據是（）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角【答案】C【分析】本題考查作圖—復雜作圖，全等三角形的判定，解題的關鍵是理解作圖過程中產生的相等元素，據此得出全等的判定方法．【詳解】解：由作圖可知，這個作圖的依據是：兩角夾邊對應相等的兩個三角形全等，即．故選：C．4．如圖，，垂足為，且，點在上，若用“”證明，則需添加的條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查運用“”證明三角形全等，根據“”證明三角形全等的條件即可解答．【詳解】解：∵，∴，當時，在和中，∴．故選：B5．如圖，是銳角，點在上，，點在上，點到直線的距離為2，當時，的形狀、大小唯一確定，則的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定，點到直線的距離，關鍵是要分三種情況討論．當時，，的形狀、大小唯一確定；當時，有兩個；當時，的形狀、大小唯一確定，于是得到m的取值范圍．【詳解】解：當時，，由判定的形狀、大小唯一確定；當時，C的位置有兩個，有兩個；當時，的形狀、大小唯一確定；∴m的取值范圍是或．故選：B．6．如圖，用尺規作的依據是．【答案】全等三角形的對應角相等【分析】此題考查了全等三角形的判定，尺規作一個角等于已知角，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．利用全等三角形的判定方法判斷即可．【詳解】解：由作法得：，∴，∴（全等三角形的對應角相等）．故答案為：全等三角形的對應角相等．7．工人師傅常常利用角尺構造全等三角形的方法來平分一個角，如圖，在的兩邊、上分別在取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合，這時過角尺頂點的射線就是的平分線．這里構造全等三角形的依據是．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和性質定理．根據全等三角形的判定定理推出，根據全等三角形的性質得出，根據角平分線的定義得出答案即可．【詳解】解：在和中，.∴，∴，即就是的平分線，故答案為：．8．如圖，已知，在不添加任何輔助線的前提下，請你添加一個條件，使．【答案】（答案不唯一）【分析】此題考查了全等三角形的判定，和中，，，滿足兩組對角相等，根據全等三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：和中，，，添加或，利用即可得到兩三角形全等，添加，利用即可得到兩三角形全等，故答案為：（答案不唯一）．9．生活情境·滑滑梯

如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，且左邊滑梯水平方向的長度與右邊滑梯的高度相等，若，則．【答案】/58度【分析】此題考查了全等三角形的應用，做題時要注意找已知條件，根據已知選擇方法得出全等三角形是解題關鍵．由已知可根據判定，再根據全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：在和中，，∴，∵∴∴．故答案為：．10．如圖，在四邊形中，．動點P以的速度從點A出發沿邊向點D勻速移動，動點Q以的速度從點B出發沿邊向點C勻速移動，動點M從點B出發沿對角線向點D勻速移動，三點同時出發．連接，當動點M的速度為時，存在某個時刻，使得以P、D、M為頂點的三角形與全等．【答案】5或【分析】本題考查了全等三角形的性質和二元一次方程組的求解，正確理解題意、分情況討論是解題的關鍵；設運動的時間為ts，動點M的速度為vcm/s，則，，，表示出，，再分與兩種情況，根據全等三角形的性質構建方程組求解即可．【詳解】解：設運動的時間為ts，動點M的速度為vcm/s，由題意得，，，，所以，，∵，∴，當時，則，∴，解得：，∴，解得：；當時，則，∴，解得：，∴，解得：；綜上，動點M的運動速度是2或；故答案為：5或．11．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形為“箏形”，，，對角線與相交于點．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，證明，即可證明．【詳解】證明：∵，，，∴，∴．12．【主題】軍事訓練中的距離測量問題【素材】在某次重要的軍事訓練任務中，士兵小王肩負著一項關鍵使命：精準測量我方陣地（點）與對岸目標（點）之間的距離．然而，擺在小王面前的是諸多棘手難題，河流湍急無法直接過河，且身處野外環境沒有攜帶任何專業測量工具．但小王憑借著扎實的數學知識和冷靜的頭腦，巧妙地運用了以下方法來解決這一難題：【實踐操作】如圖所示：步驟1：面向點豎直站立，調整目視高度，使視線恰好經過帽檐到達點：步驟2：保持身體姿態不變，原地轉過一個角度，標記此時視線落在河岸的點；步驟3：步測得米，已知小王身高為，帽頂到眼睛的垂直距離為．【問題解決】(1)由上面實踐操作可以知道距離是_____米；(2)如何測得我方陣地與對岸目標之間的距離？請用你所學數學知識說