試題試題2024北京順義一中高三（下）開學考數學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復平面內，復數的對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知數列的前項和為，且，，則（）A. B. C.1 D.34.已知雙曲線的離心率，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.5.世紀30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用地震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級，其計算公式為，其中是被測地震的最大振幅，是標準地震的振幅.某地發生了地震，速報震級為里氏級，修訂后的震級為里氏級，則修訂后的震級與速報震級的最大振幅之比為（）A. B. C. D.6.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知直線與圓相交于兩點，且，那么實數k的取值范圍是（）A. B. C.或 D.8.廡殿（圖1）是中國古代傳統建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等高級建筑上，廡殿的基本結構包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”或“五脊殿”．圖2是根據廡殿頂構造的多面體模型，底面是矩形，且四個側面與底面的夾角均相等，則（）．A. B.C. D.9.邊長為2的正方形ABCD，點P在正方形內（含邊界），滿足，現有下列結論：①當點P在線段BD上時，則②的取值范圍為③當點P在線段BD上時，的最小值為④的最大值為12則結論中正確的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.現實生活中好多商標設計師的靈感來源于曲線C：，其中星形線E：常用于超輕材料的設計，則下列關于星形線的說法不正確的是（）A.E關于y軸對稱且關于對稱B.E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過C.E上的點到原點的距離最小值為D.曲線E所圍成圖形的面積小于2【答案】C【分析】A由、，均在曲線上即可判斷；B應用基本不等式即可判斷；C由，結合立方和公式及B的結論即可判斷；D根據與圖形的位置關系判斷.【詳解】對A，若在星形線E上，則也在E上，故E關于y軸對稱，交換位置，E的方程不變，即點也在E上，則E也關于對稱，A正確；對B，由，則，當且僅當時等號成立，B正確；對C，由，當且僅當時等號成立，故E上的點到原點距離的最小值為，C錯誤；對D，曲線E過，，由，則在所圍成的區域內部，而所圍成的面積為2，故曲線E所圍成圖形的面積小于2，D正確.故選：C【點睛】關鍵點點睛：應用基本不等式有，由及立方和公式求兩點距離，利用與圖形的位置判斷面積大小.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11.在的展開式中，的系數為__________．（用數字作答）12.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上.若，則________．13.已知是奇函數，當時，，則______.14.已知關于x的函數的圖象關于對稱，則的周期為______，實數______.15.已知函數，給出下列三個結論：①當時，函數的單調遞減區間為；②若函數無最小值，則a的取值范圍為；③對于任意實數a都存在，使得；④若且，則，使得函數恰有3個零點，，，且.其中，所有正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，.（1）求b的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的面積.17.國務院正式公布的《第一批全國重點文物保護單位名單》中把全國重點文物保護單位（下述簡稱為“第一批文保單位”）分為六大類.其中“A：革命遺址及革命紀念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及歷史紀念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遺址”、“F：古墓群”，某旅行機構統計到北京部分區的17個“第一批文保單位”所在區分布如下表：行政區門類個數東城區A：革命遺址及革命紀念建筑物3C：古建筑及歷史紀念建筑物5西城區C：古建筑及歷史紀念建筑物2豐臺區A：革命遺址及革命紀念建筑物1海淀區C：古建筑及歷史紀念建筑物2房山區C：古建筑及歷史紀念建筑物1E：古遺址1昌平區C：古建筑及歷史紀念建筑物1F：古墓葬1（1）某個研學小組隨機選擇該旅行社統計的北京市17個“第一批文保單位”中的一個進行參觀，求選中的參觀單位恰好為“C：古建筑及歷史紀念建筑物”的概率；（2）小王同學隨機選擇該機構統計到的北京市“第一批文保單位”中的“A：革命遺址及革命紀念建筑物”中的一個進行參觀；小張同學隨機選擇統計到的北京市“第一批文保單位”中的“C：古建筑及歷史紀念建筑物”中的一個進行參觀，兩人選擇參觀單位互不影響，求兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區的概率：（3）現在擬從該機構統計到的北京市“第一批文保單位”中的“C：古建筑及歷史紀念建筑物”中隨機抽取2個單位進行常規檢查.記抽到海淀區的概率為，抽不到海淀區的概率為，試判斷和的大小（直接寫出結論）.18.如圖，在四棱錐中，因為平面，底面為菱形，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.求二面角的大小.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.19.已知橢圓的兩個頂點分別為，離心率為橢圓上的動點，直線分別交動直線于點C，D，過點C作的垂線交x軸于點H．（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．20.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，討論函數的單調性；（3）當時，恒成立，求a的取值范圍.21.已知數列，從中選取第項、第項、、第項，若，則稱新數列為的長度為m的遞增子列.規定：數列的任意一項都是的長度為1的遞增子列.（Ⅰ）寫出數列的一個長度為4的遞增子列；（Ⅱ）設數列.若數列的長度為p的遞增子列中，任意三項均不構成等差數列，求p的最大值；（Ⅲ）設數列為等比數列，公比為q，項數為.判定數列是否存在長度為3的遞增子列：？若存在，求出N的最小值；若不存在，說明理由.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：B2.【答案】D【分析】利用復數代數形式的乘法運算化簡，求出復數所對應點的坐標得答案.【詳解】由題得，所以在復平面內該復數對應的點的坐標為，該點在第四象限.故選：D【點睛】本題主要考查復數代數形式的乘法運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3.【答案】C【分析】根據等比數列基本量的計算即可求解.【詳解】由可得為等比數列且公比為，，故，故選：C4.【答案】D【分析】根據雙曲線方程，代入離心率公式，求解不等式.【詳解】由題意可知，，，所以，所以，且，所以.故選：D5.【答案】C【分析】先根據求得地震最大振幅關于的函數，將震級代入分別求出最大振幅，最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.【詳解】由，可得，即，，當時，地震的最大振幅為，當時，地震的最大振幅為，所以修訂后的震級與速報震級的最大振幅之比是.故選：C.6.【答案】B【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】若，滿足，但，若，，則，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.【答案】D【分析】利用弦長公式，建立關于的不等式，直接求解.【詳解】圓化簡為標準方程為，圓心到直線的距離，，解得：.故選：D8.【答案】A【分析】設點在底面上的射影為，作，，垂足分別為，，設四個側面與底面的夾角為，即可得到，根據三角形全等得到方程，整理即可.【詳解】如圖所示，設點在底面上的射影為，作，，垂足分別為，．則為側面與底面的夾角，為側面與底面的夾角，設四個側面與底面的夾角為，則在和中，，又為公共邊，所以，即，整理得．故選：A9.【答案】C【分析】根據平面向量基本定理，直接判斷①，利用點的坐標，表示，即可判斷②，根據，轉化為二次函數求最大值問題，即可判斷③，利用坐標表示數量積，再結合幾何意義，即可判斷④.【詳解】①當點在線段上時，三點共線，所以，故①正確；②建立平面直角坐標系，如圖所示，根據題意可得，，，，，設為，，因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，故②錯誤；③由①知，，，則，當時，取得最小值，故③正確；④,，所以，，，表示點到直線的距離，如圖所示，點到直線的距離最大，最大值為，所以的最大值為，故④正確.故選：C10.【答案】C【分析】A由、，均在曲線上即可判斷；B應用基本不等式即可判斷；C由，結合立方和公式及B的結論即可判斷；D根據與圖形的位置關系判斷.【詳解】對A，若在星形線E上，則也在E上，故E關于y軸對稱，交換位置，E的方程不變，即點也在E上，則E也關于對稱，A正確；對B，由，則，當且僅當時等號成立，B正確；對C，由，當且僅當時等號成立，故E上的點到原點距離的最小值為，C錯誤；對D，曲線E過，，由，則在所圍成的區域內部，而所圍成的面積為2，故曲線E所圍成圖形的面積小于2，D正確.故選：C【點睛】關鍵點點睛：應用基本不等式有，由及立方和公式求兩點距離，利用與圖形的位置判斷面積大小.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11.【答案】10【分析】根據二項式展開式的通項即可求解.【詳解】的展開式的通項為，令，可得，所以的系數為，故答案為：1012.【答案】【分析】根據焦半徑公式，即可求解.【詳解】因為拋物線方程為，所以，由焦半徑公式可知，，得.故答案為：13.【答案】【分析】根據函數的奇偶性求得正確答案.【詳解】因為是奇函數，則.故答案為：14.【答案】①.②.【分析】利用輔助角公式化解函數，判斷函數的周期，再結合對稱性與最值的關系，即可求解【詳解】，其中，所以函數的周期,若函數的圖象關于對稱，所以，即，兩邊平方后，整理為，得.故答案為：；15.【答案】②④【分析】結合函數的圖象，即可判斷①②③，由題意結合函數圖象不妨設，進而可得，，，令驗證后即可判斷.【詳解】①時，，，，則，所以函數在區間不單調遞減，故①錯誤；②，畫出函數的圖象，如圖所示，由題意可得，函數無最小值，則a的取值范圍為，故②正確；③設，則，，則，如圖，當時，與并不總有交點，故③錯誤；④令，即，結合函數圖象，不妨設則，則，即，所以，即，當時，，存在三個零點，且，符合題意，當時，，存在三個零點，且，符合題意，故④正確.故答案為：②④【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是結合函數的圖象，討論的取值，利用數形結合判斷問題.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據余弦定理，即可求解；（2）根據正弦定理求，再根據余弦定理求，最后根據面積公式求解.【小問1詳解】,所以；【小問2詳解】因為，所以,中，根據正弦定理，得，，即，即，解得：或（舍），所以，且，.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由題意知總樣本數為，C:古建筑及歷史紀念建筑物共有，利用古典概型概率公式從而求解.（2）由題意可知小王參觀A:革命遺址及革命紀念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀念建筑物在同一個區的只有東城區，然后分別求出他們參觀東城區的概率，從而求解.（3）利用分類討論求出抽到海淀區的概率和抽不到海淀區的概率，從而求解.【小問1詳解】設選中參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀念建筑物”為事件，由題意知總共有個，“C:古建筑及歷史紀念建筑物”有，所以.【小問2詳解】設兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區為事件，由題意可知小王參觀A:革命遺址及革命紀念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀念建筑物在同一個區的只有東城區，所以小王參觀東城區景區的概率為，小張參觀東城區景區的概率為，所以.【小問3詳解】當抽到的2個都是海淀區的概率為，當抽到的2個中有1個是海淀區的概率為，所以，，所以.18.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取中點，連接、，證明四邊形是平行四邊形，即可求證；（2）選擇條件①，先通過三角形全等證是正三角形，進而證，即可通過建立空間直角坐標系求解；選擇條件②，通過證平面證，然后通過建立空間直角坐標系求解.【小問1詳解】證明：取中點，連接、，，分別為，的中點，所以，；在菱形中，因為，；所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】選擇條件①：連接，因為平面，且、、均在平面中，所以，，，所以，又因為，，所以，所以，又因為底面為菱形，所以，即是正三角形，又因為為的中點，所以，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，又因為，,且是正三角形，，所以，則，，，，，設平面的法向量為，則，不妨令解得；根據已知條件，可得平面的法向量為，所以，所以二面角的大小為.選擇條件②：因為平面，平面，平面，所以有，，又因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以；以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，又因為，,且是正三角形，，所以，則，，，，，設平面的法向量為，則，不妨令,解得；根據已知條件，可得平面的法向量為，所以，所以二面角的大小為.19.【答案】（1）（2）存在；【分析】（1）由離心率及頂點坐標結合即可求解；（2）結合兩點式得直線方程，進而得到點坐標，由直線與直線垂直得到直線的斜率，結合點斜式得直線的方程，進而的到點坐標，結合數量積的坐標運算及二次函數的最值即可求解.【小問1詳解】由，又兩個頂點分別為，則，，故橢圓E的方程為；【小問2詳解】為橢圓上的動點，則，故直線的斜率存在且不為0，則直線：，即，則點，則直線：，即，則點，則直線的斜率為，故直線：，令,得，又在橢圓上，則，整理得，所以，則，所以綜上，存在，使得有最大值.【點睛】按題意結合兩點式，點斜式求得點坐標，結合數量積運算及二次函數的最值即可求，思路相對明確，運算要細心，是中檔題.20.【答案】（1）（2）的單調增區間為；單調減區間為.（3）【分析】（1）根據導數幾何意義求出導數即為斜率，根據點斜式寫出直線方程；（2）由題意得，討論根據判定其單調區間；（3）法一：由題意得，討論根據單調性判定是否成立即可得出答案；法二：原命題等價于在上恒成立，用參變分離法求出函數最值.【小問1詳解】當時，，

，

所以切線方程為：，即：；【小問2詳解】由題，可得由于，的解為，①當，即時，，則在上單調遞增；②當，即時，在區間上，，在區間上，，所以的單調增區間為；單調減區間為.【小問3詳解】解法一：①當時，因為，所以，，所以，則在上單調遞增，成立

②當時，，所以在上單調遞增，所以成立.

③當時，在區間上，；在區間，，所以在上單調遞減，上單調遞增