試題試題2024北京西城外國語學校高三9月月考數學2024年9月本試卷共4頁，全卷共150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.設集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A.(-∞，1) B.(-2，1)C.(-3，-1) D.(3，+∞)2.復數在復平面上的對應點落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函數中，值域為且在區間(0,+∞)上單調遞增的是A. B.C. D.4.設等差數列的前項和為,若,,則A. B. C. D.5.設，則（）A. B. C. D.6.已知函數的部分圖象如圖所示，則的表達式為（）A. B.C. D.7.“”是“函數為偶函數”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.點聲源在空間中傳播時，衰減量（單位：dB）與傳播距離r（單位：米）的關系式為，則r從5米變化到40米時，衰減量的增加值約為（）參考數據：A.24dB B.18dB C.16dB D.12dB9.已知函數，若（），則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ一定的難度.關鍵觀察分析區域面積最大時的狀態，并將面積用邊角等表示.二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分．）11.已知角終邊上一點，則______．12.函數的定義域為____.13.已知為第二象限角，，則______．14.已知函數的導函數為，且是偶函數，，.寫出一個滿足條件的函數______.15.已知函數，給出下列三個結論：①當時，函數的單調遞減區間為；②若函數無最小值，則的取值范圍為(0,+∞)；③若且，則，使得函數.恰有3個零點，，，且．其中，所有正確結論的序號是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求；（2）求的長.17.已知函數，且．（1）求a的值；（2）求函數的最小正周期及單調遞增區間；（3）若對于任意的，總有，直接寫出m的最大值．18.已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）求的單調性；（3）求函數在上的最小值．19.在中，已知．（1）求角C的大?。唬?）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長是．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．20.圖象識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人.工智能興趣小組研發了一套根據人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數據如下表（單位：張）：識別結果真實性別男女無法識別男902010女106010假設用頻率估計概率，且該程序對每張照片的識別都是獨立的.（1）從這200張照片中隨機抽取一張，已知這張照片的識別結果為女性，求識別正確的概率；（2）在新一輪測試中，小組同學對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當首次出現識別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設表示測試的次數，估計的分布列和數學期望；（3）為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數量之比為）中隨機抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為.試比較的大小.（結論不要求證明）21.已知函數．（1）求的單調區間；（2）若對恒成立，求a的取值范圍；（3）若，證明：．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【詳解】由題意得，，則．故選A．【點睛】本題考點為集合的運算，為基礎題目．2.【答案】D【分析】根據復數的四則運算可求解.【詳解】由題可知，所以復數對應的點為在第四象限，故選:D.3.【答案】C【分析】根據題意，依次分析選項中函數的單調性以及值域，綜合即可得答案．【詳解】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；（B）的值域是（0，＋∞），排除；（D）＝，在（0，）上遞減，在（，＋∞）上遞增，不符；只有（C）符合題意.故選C.【點睛】本題考查函數的單調性以及值域，關鍵是掌握常見函數的單調性以及值域，屬于基礎題．4.【答案】B【詳解】等差數列的前項和為Sn，，，故選5.【答案】B【分析】利用指數函數的性質，求得，再結合對數函數的性質，得到，即可求解.【詳解】由指數函數的性質和，可得，即根據對數函數的性質，可得，因為，所以，綜上可得.【點睛】本題主要考查了指數式與對數式的比較大小，其中解答中熟記指數函數與對數函數圖象與性質是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.6.【答案】C【分析】根據圖像求出，周期，利用周期公式可求，又過點，利用五點作圖法可求，即可求函數的解析式．【詳解】根據圖像得，，可得，∴，又過點，可得，由五點法可得，解得，所以．故選：C．7.【答案】C【分析】利用，得出，從而求出，再利用偶函數的定義進行判斷即可得出充分性成立，再利用，得出，從而判斷必要性成立，從而得出結果.【詳解】若，得到，所以，當時，，當時，，即或，當時，恒有，當時，，所以，若，則為偶函數，若為偶函數，則，所以，化簡得，所以，故選：C.8.【答案】B【分析】根據對數的運算法則化簡計算即可求得增加值.【詳解】由已知，所以r從5米變化到40米衰減量的增加值為，整理得.故選：B9.【答案】B【分析】由，可知由可得根據基本不等式可求的取值范圍.【詳解】若由，則與矛盾；同理也可導出矛盾，故而即故選B【點睛】本題考查分段函數的性質以及基本不等式的應用，屬中檔題.10.【答案】B【分析】由題意首先確定面積最大時點P的位置，然后結合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值，此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數學應用意識、數形結合思想及數學式子變形和運算求解能力，有一定的難度.關鍵觀察分析區域面積最大時的狀態，并將面積用邊角等表示.二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分．）11.【答案】##【分析】根據任意角三角函數定義可得，再結合倍角公式運算求解.【詳解】因為角終邊上一點，則，所以.故答案為：.12.【答案】【分析】根據函數有意義得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得且，所以函數的定義域為故答案為：13.【答案】【分析】利用誘導公式與同角的正余弦的平方關系和兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】因為，所以，因為為第二象限角，所以，所以.故答案為：.14.【答案】（答案不唯一）【分析】結合導數公式寫出一個滿足條件的函數即可.【詳解】因為是偶函數，設，則，由題意可知，，解得，故.故答案為：.15.【答案】②③【分析】由題意結合函數單調性的概念舉出反例可判斷①；畫出函數的圖象數形結合即可判斷②；由題意結合函數圖象不妨設，進而可得，，，令驗證后即可判斷③；即可得解.【詳解】對于①，當時，由，，所以函數在區間不單調遞減，故①錯誤；對于②，函數可轉化為，畫出函數的圖象，如圖：由題意可得若函數無最小值，則的取值范圍為(0,+∞)，故②正確；對于③，令即，結合函數圖象不妨設，則，所以，，，所以，令即，當時，，存在三個零點，且，符合題意；當時，，存在三個零點，且，符合題意；故③正確.故答案為：②③.【點睛】本題考查了分段函數單調性、最值及函數零點的問題，考查了運算求解能力與數形結合思想，合理使用函數的圖象是解題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）計算出、，利用兩角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出的長，然后在中利用余弦定理可求得的長.【詳解】（1）因為，，則、均為銳角，所以，，，，，則，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，因此，.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理.17.【答案】（1）；（2）函數的最小正周期為，單調遞增區間為，；（3）m的最大值為.【分析】(1)由條件列方程求a，(2)由輔助角公式化簡函數表達式，結合正弦函數的性質求函數的最小正周期及單調遞增區間；(3)解不等式求x的范圍，由此確定的最大值.【小問1詳解】因為，，所以，所以，所以，所以，【小問2詳解】由(1)，化簡得，所以，所以函數的最小正周期，由，，得，，所以函數的單調遞增區間為，；【小問3詳解】由，可得，所以，所以，，化簡可得由對于任意的，總有可得的最大值為.18.【答案】（1）.（2）當時，單調遞減；當時，單調遞增.（3）答案見解析.【分析】（1）當時，求出的值，利用導數的幾何意義求解即可；（2）求導得，利用導數的正負即可得到單調性；（3）按a的取值情況，再借助單調性討論求解即可.【小問1詳解】當時，，則，所以，，所以曲線在處的切線方程為.【小問2詳解】由題意得，因為恒成立，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.【小問3詳解】由（2）得，①當時，在上單調遞減，；②當時，在單調遞減，在單調遞增，；③當時，在上單調遞增，.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理邊化角即可結果；（2）利用正弦定理可得.若選條件①：根據題意可得，進而分析其唯一性即可；若選條件②：利用余弦定理可得，，進而求，進而可得面積；若選條件③：根據周長可得，利用余弦定理并分析其唯一性.【小問1詳解】因為，即，可得，且，所以.【小問2詳解】因為，，由正弦定理可得，可得.若選條件①：因為，，即，可得，可知滿足條件的角A有兩個，不唯一，不合題意；若選條件②：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，則，，因為兩角和兩邊均已確定，根據三角形全等可知三角形存在且唯一，又因為，所以的面積；若選條件③：因為的周長是，則，即，由余弦定理可得，即，整理可得，且，可知方程有2個不相等的實根，且，可知方程有2個不相等的正實根，即邊a不唯一，不合題意.綜上，只有選條件②符合題意.20.【答案】（1）（2）分布列見解析；（3）【分析】（1）利用用頻率估計概率計算即可（2）由題意知的所有可能取值為，分別求出相應的概率，然后根據期望公式求出即可（3）分別求出方案一?方案二?方案三進行識別正確的概率，然后比較大小可得【小問1詳解】根據題中數據，共有張照片被識別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以該照片確為女性的概率為.【小問2詳解】設事件輸入男性照片且識別正確.根據題中數據，可估計為.由題意知的所有可能取值為..所以的分布列為123所以.【小問3詳解】由題可知，調查的200張照片中，其中女生共有80個，男生共有120個，程序將男生識別正確的頻率為，識別為女生的頻率為，無法識別的頻率為，程序將女生識別正確的頻率為，識別為男生的頻率為，無法識別的頻率為，由頻率估計概率得，，，所以21.【答案】（1）時單調遞增，時，單調遞減；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）求導，根據導數的符號確定單調區間；（2）運用參數分離的方法，構造函數求導，計算函數最大值即可；（3）作圖，根據函數圖像確定的范圍，再構造函數，利用函數的單調性證明.【小問1詳解】，顯然有，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減；【小問2詳解】由得：，，令，則有，令，顯然是減函數