試題試題2024北京育才學(xué)校高三12月月考數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合，或，那么集合（）A. B.或x≥4C. D.x?1≤x≤32.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.2 D.?23.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.4.在中，若，，，則角的大小為（）A. B. C. D.或5.已知雙曲線的一個焦點是，漸近線方程為，則的方程是（）A. B.C. D.6.已知直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸，則的值為（）A.3 B.4 C.2 D.17.在中，為邊上的中線，為的中點.則（）A. B.C. D.8.已知都大于零且不等于1，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.設(shè)函數(shù)，若有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.0,1 B.0,+C. D.10.已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.無數(shù)條二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.的展開式中含有項的系數(shù)是______.12.已知直線：和：，若，則實數(shù)______.13.在等差數(shù)列中，若，，則______；使得數(shù)列前項的和取到最大值的______.14.已知點是拋物線上的一個動點，則拋物線的準線方程為______，點到點的距離與點到該拋物線準線的距離之和的最小值為______15.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對稱；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過；③存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使得曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.其中，正確結(jié)論的序號是________.三、解答題：本大題共6小題，共85分.16.已知函數(shù)，（1）如果點是角終邊上一點，求的值；（2）設(shè)，求的單調(diào)增區(qū)間.17.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（Ⅲ）證明：在線段BC1存在點D，使得AD⊥A1B，并求的值.18.某學(xué)校組織全體高一學(xué)生開展了知識競賽活動．從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了12名學(xué)生的競賽成績，數(shù)據(jù)如下表：男生818486868891女生728084889297（1）從抽出的男生和女生中，各隨機選取一人，求男生成績高于女生成績的概率；（2）從該校的高一學(xué)生中，隨機抽取3人，用樣本頻率估計概率，記成績?yōu)閮?yōu)秀分的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）表中男生和女生成績的方差分別記為，，現(xiàn)在再從參加活動的男生中抽取一名學(xué)生，成績?yōu)?6分，組成新的男生樣本，方差計為，試比較、、的大小．只需寫出結(jié)論19.已知橢圓過點．（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點，過點作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否過定點，并證明你的結(jié)論．20.已知函數(shù)，其中．（1）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當時，（ⅰ）證明：；（ⅱ）試判斷方程是否有實數(shù)解，并說明理由．21.已知數(shù)列，，，…，的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合，記的元素個數(shù)為.（1）若數(shù)列A：1，3，5，6，直接寫出集合和的值；（2）若是遞減數(shù)列，求證：“為等差數(shù)列”的充要條件是“”；（3）已知數(shù)列A：2，，，…，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意有.故選：A.2.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算化簡復(fù)數(shù)，即可由虛部定義求解.【詳解】由可得，故虛部為，故選：D3.【答案】B【分析】分析各選項中函數(shù)的定義域、奇偶性、在上的單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】對于A，函數(shù)定義域是，不是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)定義域為R，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，B是；對于C，函數(shù)定義域為R，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，C不是；對于D，函數(shù)定義域為R，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，D不是.故選：B4.【答案】D【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小.【詳解】由正弦定理得，即，又因為，則，所以或.故選：D5.【答案】D【分析】依題意設(shè)雙曲線方程為，即可得到，從而求出、，即可得解.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，設(shè)雙曲線方程為，則雙曲線的漸近線為，所以，解得，所以的方程是.故選：D6.【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可得，由此可得答案.【詳解】依題意得，所以，即，又，所以.故選：C.7.【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運算的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為為邊上的中線，所以，又因為為的中點，所以，故選：A.8.【答案】A【分析】等價于或，等價于或，然后可判斷出答案.【詳解】由可得，所以可得或，即或等價于或所以“”是“”的充分不必要條件故選;：A9.【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，方程有三個不同的實數(shù)根，等價于函數(shù)的圖象與直線有3個交點，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為；函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為[0,+∞)；函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為[0,+∞)；作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，觀察圖象知，只有當時，函數(shù)的圖象與直線有3個交點，所以有三個不同的實數(shù)根，實數(shù)的取值范圍為；故選：C10.【答案】D【分析】作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點N，M，連接MN，由平面KSHG有無數(shù)多個判斷.【詳解】解：如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點N，M，連接MN，由面面平行的性質(zhì)得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有無數(shù)多個，所以平行于平面ABCD的MN有無數(shù)多條，故選：D．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】寫出展開式的通項公式，令，即可求得答案.【詳解】展開式的通項為，令，得，所以展開式中含的項的系數(shù)為.故答案為：12.【答案】【分析】若直線：與直線：垂直，則，代入數(shù)據(jù)計算即得.【詳解】直線：、：，且，，解得.故答案為：.13.【答案】①.9②.5【分析】等差數(shù)列中，建立方程組即可求解，計算出列前項的和，根據(jù)二次函數(shù)即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，所以數(shù)列前項的和，因為開口向下，當時，取得最大值，所以當時，取最大值為25.故答案為：9；5.14.【答案】①.②.【分析】根據(jù)拋物線，其準線方程為，由拋物線的定義有，則，由兩點間距離公式即可求解.【詳解】因為拋物線，所以，所以準線方程為,E0,2，過點作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義有，所以當點在直線時，，故答案為：；.15.【答案】①②【分析】將代入也成立得①正確；利用不等式可得，故②正確；聯(lián)立得四個交點，滿足條件的最小正方形是以為中點，邊長為2的正方形，故③不正確.【詳解】對于①，將代入得成立，故曲線關(guān)于直線對稱，故①正確；對于②，因為，所以，所以，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過，故②正確；對于③，聯(lián)立得，從而可得四個交點，，，，依題意滿足條件的最小正方形是各邊以為中點，邊長為2的正方形，故不存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使得曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界），故③不正確.故答案為：①②【點睛】本題考查了由曲線方程研究曲線的對稱性，考查了不等式知識，考查了求曲線交點坐標，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共85分.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，先求出正弦和余弦；再根據(jù)兩角和的正弦公式，即可求出結(jié)果；（2）先利用輔助角公式，將原式化為,再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為點是角終邊上一點，所以，，則；【小問2詳解】,由得，即的單調(diào)增區(qū)間是.17.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作——證——求”的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第（Ⅲ）題，求解有難度，可以空間向量完成.（Ⅰ）因為為正方形，所以.因為平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，所以⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC,⊥AB.由題意知，所以.如圖，以A為原點建立空間直角坐標系,則.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以.同理可得，平面的法向量為.所以.由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.（Ⅲ）設(shè)是直線上的一點，且.所以，解得，所以.由，即，解得.因為，所以在線段上存在點D，使得，此時.【考點定位】本題考查了平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用和二面角的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力.【詳解】請在此輸入詳解！18.【答案】（1）（2）分布列見解析，；（3）【分析】（1）由古典概型的列舉法求男生成績高于女生成績的概率.（2）由題設(shè)，成績優(yōu)秀人數(shù)可取且服從分布，應(yīng)用二項分布的概率求法求各可能值的概率，即可寫出分布列，進而求期望即可.（3）應(yīng)用方差公式求出、、，進而比較它們的大小關(guān)系.【小問1詳解】設(shè)“從抽出的男生和女生中，男生成績高于女生成績”為事件A，由表格得：從抽出的12名學(xué)生中男女生各隨機選取一人，共有種組合，其中男生成績高于女生，，，，.所以事件A有17種組合，因此；【小問2詳解】由數(shù)據(jù)知，在抽取的12名學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀（分）的有3人，即從該校參加活動的高一學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生成績優(yōu)秀的概率為.因此從該校高一學(xué)生中隨機抽取3人，成績優(yōu)秀人數(shù)可取且,，，，所以隨機變量的分布列0123數(shù)學(xué)期望.【小問3詳解】男生的平均成績?yōu)椋瑒t；女生的平均成績?yōu)椋瑒t；由于從參加活動的男生中抽取成績?yōu)?6分的學(xué)生組成新的男生樣本，所以，則；所以.19.【答案】（1）橢圓方程為，離心率為（2）定點為，證明見解析【分析】（1）代入聯(lián)立方程，解方程可得，，進而得到橢圓方程；即可由離心率公式求解（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，運用韋達定理，令，代入化簡可得，即可得直線恒過定點；【小問1詳解】將代入橢圓方程可得且，解得，故，故橢圓方程為，離心率為【小問2詳解】聯(lián)立與橢圓方程，消去可得，設(shè),，,，可得，，則的方程為，又，令，則故直線經(jīng)過定點．20.【答案】（1）；（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）答案見解析．【分析】（1）對求導(dǎo)，則問題等價于在上恒成立，參變分離后即可求解；（2）（ⅰ）證明的最大值小于等于零（ⅱ）設(shè)，，再求出，最后判斷方程沒有實數(shù)解．【詳解】（1）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立，即，在上恒成立，則；（2）（ⅰ）當時，，．令，得，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以成立．（ⅱ）由（ⅰ）知，，所以．設(shè)，，所以．令，得，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，即，所以，即．所以方程沒有實數(shù)解．【點睛】（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題、最值和零點問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題，把零點問題轉(zhuǎn)化為最值問題，，，所以方程沒有實數(shù)解．21.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析；【分析】（1）利用T集合的定義求解；（2）必要性：由即可；充分性：根據(jù)A是遞減數(shù)列，得到，，從而得到即可；（3）先根據(jù)題意得到，再由數(shù)列A：2，，，…，，證明不存在即可.【小問1詳解】解：因為數(shù)列A：1，3，5，6，所以，所以集合，；【小問2詳