第十三章

三角形八上數學RJ13.3.2三角形的外角13.3三角形的內角與外角1.理解三角形的外角的概念，并能夠在復雜圖形中找出三角形的外角.2.掌握三角形外角的性質，會利用三角形外角的性質進行角度的計算和證明．同學們，假設現在我們在一個巨大的三角形廣場游玩.從頂點

A出發，依次沿著AB、BC、CA

邊走回起點，這三次轉身的角度藏著什么秘密？今天，就讓我們一起探索三角形外角的性質！ABC如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.外角BACD三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.外角BACDE思考

1.延長

AC到

E，∠BCE是不是△ABC的一個外角？是2.∠DCE是不是△ABC的一個外角？不是三角形的外角應具備的條件:①

角的頂點是三角形的頂點.②

角的一邊是三角形的一邊.③

另一邊是三角形中一邊的延長線.三角形的一個外角，就是三角形一個內角的鄰補角.向兩個方向延長三角形的各邊，可以畫出一個三角形所有的外角.ABC

三角形的每一個頂點處有兩個外角，它們互為對頂角，一個三角形共有六個外角.例1

如圖，∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？FABCDE解：∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC和△BEF的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.跟蹤訓練

如圖，點B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是

（

）A.∠BCF B.∠CBE

C.∠DBC D.∠BDFD思考

如圖，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個外角.能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關系？ABCD(((70°60°解：由三角形內角和定理，得∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.由平角的定義，得∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°.又∠A+∠B=70°+60°=130°，所以∠ACD=∠A+∠B.思考

任意一個三角形的一個外角與和它不相鄰的兩個內角是否都有這種關系？證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=180°-∠ACB.∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB.∴∠ACD=∠A+∠B.ABCD(((符號語言：∵∠ACD是△ABC的一個外角.∴∠ACD=∠A+∠B.ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和推論是由定理直接推出的結論．和定理一樣，推論可以作為進一步推理的依據.一般地，由三角形的內角和定理可以推出下面的推論：例2

如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：解法1由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.例2

如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：解法2如圖，∠BAE+∠1=180°，①∠CBF+∠2=180°，②∠ACD+∠3=180°，③又∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–180°=360°.三角形的外角和

三角形的每一個頂點處有兩個外角，它們互為對頂角，一個三角形共有六個外角.在每個頂點處各取個外角，則三角形的外角和為360°.

如圖，∠1+∠2+∠3=360°.跟蹤訓練

如圖所示，已知AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，則∠3的度數為__________.解析：∵AB∥CD,∴∠BCD=∠1=45°，∴∠3=∠2+∠BCD=35°+45°=80°.80°1.說出下列圖形中∠1和∠2的度數：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=18°，∠2=130°∠1=40°，∠2=140°2.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E.

求證：∠BAC=∠B+2∠E.解：∵∠1是△BCE的一個外角，∴∠1=∠B+∠E.∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分線，∴∠1=∠2.∵∠BAC是△ACE的一個外角，∴∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，即∠BAC=∠B+2∠E.ACEDB123.如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，E是邊AC上一點，BE，CD相交于點F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°.求∠BDC和∠BFD的度數.解：∵∠BDC是△ADC的一個外角.∠A=62°，∠ACD=35°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°.FADEBC62°35°97°在△BDF中，∠BDF+∠DBF+∠BFD=180°，∴∠BFD=180°-∠BDF-∠DBE.

=180°-97°-20°=63°.3.如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，E是邊AC上一點，BE，CD相交于點F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°.求∠BDC和∠BFD的度數.FADEBC62°35°97°4.如圖，AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°，求:∠1和∠2的度數.解：∵AB//CD,∴∠1=∠A=40°.∴∠2=∠D+∠1=45°+40°=85°.(40°(45°(1(