第16講對數函數及其性質1．理解對數函數的概念，會求簡單對數函數的定義域；2．初步掌握對數函數的圖象與性質；3．能夠利用對數函數的單調性比較大小、能夠解簡單的對數型不等式；4．了解反函數的概念及它們的圖象特點；一、對數函數的概念1、定義：函數（，且）叫做對數函數，其中x是自變量，定義域為．2、特殊的對數函數（1）常用對數函數：以10為底的對數函數.（2）自然對數函數：以無理數e為底的對數函數.二、對數函數的圖象與性質a＞10＜a＜1圖象性質定義域(0，＋∞)值域R過定點過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0函數值的變化當0＜x＜1時，y＜0；當x＞1時，y＞0當0＜x＜1時，y＞0；當x＞1時，y＜0單調性是(0，＋∞)上的增函數是(0，＋∞)上的減函數【小結】當時，圖象呈上升趨勢；當時，圖象呈下降趨勢；當時，a越大，圖象向右越靠近x軸；時，a越小，圖象向右越靠近x軸.三、判斷一個函數是否為對數函數的方法判斷一個函數是對數函數必須是形如的形式，即必須滿足以下條件（1）系數為1；（2）底數為大于0且不等于1的常數；（3）對數的真數僅有自變量四、利用對數函數的單調性比較大小常用方法1、同底數的兩個對數值的大小比較，常利用對數函數的單調性進行比較；2、底數不同且真數也不相同的兩個對數值的大小比較，常引用中間變量法比較，通常取中間變量為-1,0,1等；3、底數不同而真數相同的兩個對數值的大小比較，常利用數形結合思想來比較，也可利用換底公式化為同底，再進行比較?？键c一：對數函數概念及應用例1．下列函數是對數函數的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為函數(且)為對數函數，所以ABC均為對數型復合函數，而D是底數為自然常數的對數函數.故選：D.【變式訓練】（多選）下列函數為對數函數的是（）A．（，且）B．C．D．【答案】AC【解析】形如（，且）的函數為對數函數，對于A，由，且，可知，且，故A符合題意；對于B，不符合題意；對于C，符合題意；對于D，不符合題意；故選：AC.考點二：求對數型函數的定義域例2．函數的定義域為__________.【答案】【解析】函數有意義，則，得，故答案為：【變式訓練】函數的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題可知，即，解得或，故函數的定義域為.故選：D.考點三：對數函數的圖象判斷例3．如圖（1）（2）（3）（4）中，不屬于函數，，的一個是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【答案】B【解析】因為，（3）是，（4）是，又與關于軸對稱，（1）是．故選：B．【變式訓練】如圖是對數函數的圖象，已知a值取，，，，則相應的，，，的a值依次是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】B【解析】∵當時，圖象呈上升趨勢；當時，圖象呈下降趨勢，又當時，a越大，圖象向右越靠近x軸；時，a越小，圖象向右越靠近x軸，故，，，對應的a值依次是，，，．故選：B．考點四：對數函數過定點問題例4．若函數，且的圖像恒過定點，則點的坐標為______．【答案】【解析】令，得.又，所以的圖像經過定點.故答案為：【變式訓練】函數的圖象過定點，則點的坐標是______.【答案】【解析】由對數函數圖象性質可知，令可得，此時，所以函數的圖象過定點；即點的坐標是故答案為：考點五：對數型函數的單調性判斷例5．函數的單調遞增區間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得：，故函數的定義域是，函數在上單調遞增，在上單調遞減，而函數在定義域內是單調遞減函數，根據復合函數單調性之間的關系可知，函數的單調遞增區間是.故選：D【變式訓練】已知函數，則的單調增區間為_______.【答案】【解析】令，即，由，則在上遞增，在上遞減，綜上，在上遞增，在上遞減，而在定義域上遞增，所以的單調增區間為.故答案為：考點六：利用對數函數的性質比較大小例6．下列不等式錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，由函數在定義域上單調遞減，所以成立，故A正確；對于B，由，而，所以成立，故B正確；對于C，由，而，所以成立，故C正確；對于D，由，則，而，所以不成立，故D錯誤．故選：D．【變式訓練】（多選）已知，則a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由對數函數的單調性可知，，.即.故選：BC考點七：解簡單的對數型不等式例7．不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，不等式的解集為．故選：B【變式訓練】已知（且），則實數的取值范圍為____________.【答案】【解析】①當時，，得；②當時，，得.綜上所述，的取值范圍為，故答案為：考點八：對數型函數的奇偶性判斷例8．設函數，則下列函數中為奇函數的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，的定義域是，A選項，設，，解得，所以的定義域是，，所以是奇函數，A選項正確.B選項，，B選項錯誤.CD選項，的定義域是，所以，，所以和的定義域為，不關于原點對稱，CD選項錯誤.故選：A【變式訓練】若函數為奇函數，則a=____________．【答案】2【解析】由，則，因為函數為奇函數，所以，則，故，即函數為奇函數，故a=2.故答案為：2.考點九：對數型函數的值域求解例9．函數在上的值域是（）A．RB．(－∞，1]C．[0，1]D．[0，＋∞)【答案】C【解析】因為函數為單調增函數，所以在上的值域為故選：C【變式訓練1】函數，的值域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，，則在上單調遞增，又，，所以，又在上單調遞增，所以，即.故選：A【變式訓練2】函數的最小值為________．【答案】/【解析】顯然，∴，令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，則，當且僅當t＝－即x＝時，有.故答案為：考點十：反函數的概念及應用例10．與函數的圖象關于直線對稱的函數是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為函數與（且）互為反函數，且這兩個函數的圖象關于直線對稱，因此，與函數的圖象關于直線對稱的函數是.故選：C.【變式訓練】已知函數為的反函數，則__________．【答案】16【解析】因為函數為的反函數，所以所以故答案為：161．若函數為對數函數，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可知：函數為對數函數所以或，又且所以故選：B2．函數，則（）A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】由，得，則.故選：D.3．下列函數中，既是偶函數又在上是增函數的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對選項A：，函數為偶函數，當時，為增函數，正確；對選項B：在上為減函數，錯誤；對選項C：，函數為奇函數，錯誤；對選項D：在上為減函數，錯誤；故選：A4．當時，在同一坐標系中，函數與的圖象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當時，，函數為底數大于1的指數函數，是增函數，函數為底數大于0、小于1的對數函數，是減函數，故選：C.5．圖中曲線是對數函數的圖象，已知取，，，四個值，則相應于，，，的值依次為A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】A【解析】由已知中曲線是對數函數的圖象，由對數函數的圖象和性質，可得，，，的值從小到大依次為：，，，，由取，，，四個值，故，，，的值依次為，，，，故選：．6．若，，，則，，的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，，，所以，故選：D7．函數的定義域為___．【答案】且【解析】要使函數函數有意義，需滿足，解得且，故函數的定義域為且，故答案為：且8．函數（，且）的圖像一定經過的點是________．【答案】【解析】由題意得：令，即解得所以故圖像一定經過定點.故答案為：9．函數的單調遞減區間是____________.【答案】【解析】令，解得，則的定義域為，記，由于的對稱軸為，故其在上單調遞減，而在定義域內單調遞增，由復合函數單調性的原則可知：在單調遞減，故答案為：.10．若點在函數的圖像上，點在的反函數圖像上，則______.【答案】【解析】因為點在函數的圖像上,所以,計算得，因為,所以的反函數為,又因為點在的反函數圖像上,所以,因為,所以,即得.故答案為:.11．若，，，，則a，b，c的大小關系是_____.【答案】【解析】因為，又函數在上單調遞增，所以，即，所以，又，即，因為，所以，即則，又，所以，所以，即，綜上，.故答案為：.12．函數的反函數為__________．【答案】【解析】因為，所以，，則，由，互換，得，所以函數的反函數為.故答案為：.13．已知函數為定義在上的偶函數，當時，的圖象過點．（1）求a的值：（2）求的解析式；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因為當時，的圖象過點，所以，解得．（2）設，則，則．因為為定義在上的偶函數，則．綜上所述，（3）由，得或解得或．故不等式的解集為．14．已知函數且.（1）判斷并證明函數的奇偶性；（2）若，指出函數的單調性，并求函數在區間上的最大值.【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）答案見解析.【解析】（1）函數為奇函數，證明如下：根據題意，，則,解得，則函數的定義域為，又由，則是奇函數；（2）當時，為上的減函數，為上的增函數，故為上的減函數，函數在區間上單調遞減，則的最大值為；當時，為上的增函數，為上的減函數，故為上的增函數，函數在區間上單調遞增，則的最大值為；15．已知函數過點．（1）求解析式；（2）若，求的值域．【答案】（1），；（2）【解析】（1）將代入，得，解得，所以，其中（2），由，解得，令，，∵，∴由二次函數的性質可知，在時，，又在上單調遞減，所以的值域為．(注：也正確)1．下列函數是對數函數的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】對數函數（且），其中為常數，為自變量．對于選項A，符合對數函數定義；對于選項B，真數部分是，不是自變量，故它不是對數函數；對于選項C，底數是變量，不是常數，故它不是對數函數；對于選項D，底數是變量，不是常數，故它不是對數函數．故選：A．2．函數的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函數有意義，則，解得且，所以函數的定義域為.故選：C.3．函數且恒過定點（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當，即時，，所以函數恒過定點為.故選：B.4．已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因為函數為減函數，所以又因為函數圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D5．函數的值域為（）A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]【答案】C【解析】因為，所以，所以，即函數的值域為[3，＋∞).故選：C6．已知，則有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，，所以.故選：B.7．已知為對數函數，，則______．【答案】1【解析】設（，且），則，∴，即，∴，∴．故答案為：1.8．已知函數是函數且的反函數，且的圖象過點，則_______.【答案】【解析】因為的反函數為，又的圖象過點，所以，，即，故答案為：.9．已知，則實數的取值范圍是_______.【答案】【解析】因為函數在上單調遞減，由，得，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：10．函數的單調遞增區間是________．【答案】【解析】任取且，則，因為，所以，，即，所以在上單調遞增，的單調遞增區間是，故答案為：.11．函數的值域是__________．【答案】【解析】令，則，因為，所以的值域為，因為在是減函數，所以，所以的值域為，故答案為：12．比較下列各組中兩個數的大?。海?），；（2），；（3），．【答案】（1）；（2）（3）當時，；當時，；【解析】（1）因為函數是增函數，且，所以（2）因為函數是減函數，且，所以（3）當時，函數是增函數，且，所以；當時，函數是減函數，且，所以.13