第17講函數的零點與方程的解1．了解函數的零點、方程的解與圖象交點三者之間的關系；2．結合具體連續函數及其圖象的特點；3．會借助函數零點崔仔定理判斷函數的零點所在的大致區間；4．能借助函數單調性及圖象判斷零點個數。一、函數的零點與方程的解1、定義：如果函數在實數處的值等于零，即，則叫做這個函數的零點.2、注意事項：（1）函數的零點是一個實數，當函數的自變量取這個實數時，其函數值等于零；（2）函數的零點也就是函數的圖象與軸交點的橫坐標；（3）函數的零點就是方程的實數根．3、方程、函數、圖象之間的關系方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．二、零點存在定理及其推論1、定理：如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且，那么，函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解。【注意】（1）定義不能確定零點的個數；（2）不滿足定理條件時依然可能有零點；（3）定理中的“連續不斷”是必不可少的條件；（4）定理反之是不成立的.2、重要推論：（1）推論1：函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，，且具有單調性，則函數在區間內只有一個零點.（2）推論2：函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，函數在區間內有零點，且函數具有單調性，則三、零點個數的判斷方法1、直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.2、定理法：利用零點存在定理，函數的圖象在區間上是連續不斷的曲線，且，結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點.3、圖象法：（1）單個函數圖象：利用圖象交點的個數，畫出函數的圖象，函數的圖象與軸交點的個數就是函數的零點個數；（2）兩個函數圖象：將函數拆成兩個函數和的差，根據，則函數的零點個數就是函數和的圖象的交點個數4、性質法：利用函數性質，若能確定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是周期函數，則只需解決在一個周期內的零點的個數四、判斷函數零點所在區間的步驟第一步：將區間端點代入函數求函數的值；第二步：將所得函數值相乘，并進行符號判斷；第三步：若符號為正切在該區間內是單調函數，則函數在該區間內無零點；若符號為負且函數圖象連續，則函數在該區間內至少一個零點。五、已知函數零點個數，求參數取值范圍的方法1、直接法：利用零點存在的判定定理構建不等式求解；2、數形結合法：將函數的解析式或者方程進行適當的變形，把函數的零點或方程的根的問題轉化為兩個熟悉的函數圖象的交點問題，再結合圖象求參數的取值范圍；3、分離參數法：分離參數后轉化為求函數的值域（最值）問題求解．考點一：求函數的零點例1．（多選）函數的零點可以是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】函數的定義域為令，解得或，故的零點是和，故選：CD【變式訓練】函數的零點為________．【答案】2【解析】令，則，得.故答案為：考點二：判斷函數零點個數例2．函數的零點個數為（）A．1B．2C．1或2D．0【答案】C【解析】由，得，得或，當時，函數的零點個數為；當時，函數的零點個數為.所以該函數的零點個數是1或2.故選：C【變式訓練】已知則方程的實根個數為()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】在同一平面直角坐標系內作出的圖像，如圖所示：兩個函數的圖像有兩個交點，所以方程有兩個實根，故選:C.考點三：判斷函數零點（方程的解）所在的區間例3．函數零點所在的區間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，則函數圖像是連續的且單調遞增，則，，由函數零點存在定理可得函數零點所在區間為.故選：B【變式訓練】函數的零點所在的區間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為函數在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增.當時，，，，.由零點存在定理可得：函數的零點所在的區間是.故選：C考點四：由函數零點所在區間求參數例4．函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由零點存在定理可知，若函數在區間上存在零點，顯然函數為增函數，只需滿足，即，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D【變式訓練】若函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為函數在區間上存在零點，即與在上有交點，又，在上單調遞增，故時，則，設，則，由可得，即與在上有交點，則.故答案為：考點五：已知零點個數求參數例5．若函數在內有且只有一個零點，則的取值集合是______.【答案】【解析】由已知得，，.由二次函數圖象及函數零點存在定理可知，該函數在內只有一個零點，只需，解得.故答案為：.【變式訓練】已知函數，若關于x的方程有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是__________．【答案】【解析】當時，函數是增函數，函數值集合是，當時，是減函數，函數值集合是，關于的方程有兩個不同的實根，即函數的圖象與直線有兩個交點，在坐標系內作出直線和函數的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線和函數的圖象有兩個交點，即方程有兩個不同的實根，所以實數的取值范圍為.故答案為：.1．函數的零點所在區間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，在上均遞減，所以在上遞減，又，，所以零點所在區間為.故選：C．2．函數的零點所在的區間可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，則函數的零點即為函數的交點的橫坐標，如圖，作出函數的圖象，由圖可知函數的交點在第一象限，且只有一個交點即函數的零點大于零，且只有一個零點，又，所以函數的零點所在的區間可以是.故選：C.3．已知方程的解在內，則（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】令函數，顯然函數在上單調遞增，而，，因此函數的零點，所以方程的解在內，即.故選：C4．函數有兩個零點，且分別在與內，則實數a的取值范圍是（）A．B．或C．D．【答案】C【解析】由題意可得：，解得.故選：C.5．已知函數且，且，則的零點是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知：，整理化簡可得：，即，解得：或（舍），所以.令可得：，所以函數的零點是，故選：.6．若方程有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，由于當時，，，且；當時，，，且，=作出函數的圖象如圖所示，則當時，函數與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不同的實數根，的取值范圍是．故選：C．7．已知函數，則方程的實數解的個數為（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】當時，由，解得；當時，由，得或，解得或．故方程的實數解的個數為3．故選：B8．函數的零點為_________．【答案】或4【解析】令，得，解得或4故答案為：或4.9．函數的零點的個數為___________.【答案】【解析】由題意，即函數的零點的個數即為的交點的個數，在同一直角坐標系中畫出兩個函數圖像數形結合可知，兩個函數有3個交點故函數的零點的個數是3故答案為：310．函數的零點個數是__________．【答案】2【解析】當時，由解得，當時，由解得，所以函數的零點個數是2個故答案為：2.11．已知函數.（1）若，求實數的值；（2）若恰有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得，解得或，因為，故，故.（2），設，則，則，，令，則，則，由題得直線與函數在圖象上有兩交點，，，令，或0（舍）作出圖象如下圖所示：則，解得.12．已知函數是定義域為的偶函數，當時，.（1）求函數的解析式.（2）討論直線與曲線的交點個數.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）當時，.所以又因為為偶函數，所以所以，函數的解析式為.（2）畫出的圖像如下圖所示，當時，二次函數開口向上，對稱軸為，取得最小值，當時，直線與曲線無交點；當或時，直線與曲線有2個交點；當時，直線與曲線有3個交點；當時，直線與曲線有4個交點.1．函數的零點的個數是（）A．0B．1C．2D．無數個【答案】C【解析】令，則，所以的零點為1和，故有兩個零點，故選：C2．若是二次函數的兩個零點，則的值是（）A．3B．15C．D．【答案】B【解析】由題意知是二次函數的兩個零點，故是的兩個根，則，且，則且，故，故選：B3．函數的零點所在區間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,所以在單調遞增，因為所以由零點存在性質定理知，的零點在.故選：B4．函數的零點所在的區間為()A．B．C．D．【答案】B【解析】因為函數、均為上的增函數，故函數為上的增函數，因為函數在上是連續的曲線，且，，所以，函數的零點所在的區間為.故選：B.5．已知函數的零點位于區間內，則整數（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因為函數與在上均為增函數，所以函數在上為增函數，因為，，，所以函數的零點位于區間內，故.故選：B.6．方程的解的個數是()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由得，在同一平面直角坐標系內作出與的圖象，兩個函數的圖象有兩個交點，所以方程有兩個解，故選：C.7．已知函數()，若函數有三個零點，則a的取值范圍是(

)A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數有三個零點，所以的圖象與的圖象有三個交點.因為，所以當時，由得，或，所以當時，的圖象與的圖象有兩個交點，則當時的圖象與的圖象有1個交點.令，得，所以符合題意;令，得或(舍去)，所以符合題意.綜上，的取值范圍