華中師范大學龍崗附屬中學（集團）2022-2023學年第一學期九年級期中考試數學試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.如圖，下列條件中能使成為菱形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據菱形的判定定理可得．【詳解】解：A、AB=CD不能判定?ABCD是菱形，故不符合題意；B、AC=BD只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；C、∠BAD=90°只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；D、AB=BC能判定?ABCD是菱形，故符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了菱形的判定，熟練地掌握菱形的判定定理是解決問題的關鍵．2.學校招募運動會廣播員，從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先畫出樹狀圖，然后運用概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結果，恰好選出是一男一女兩位選手的結果有8種，俗好選出是一男一女兩位選手的概率為．故選C．【點睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，根據題意正確畫出樹狀圖成為解答本題的關鍵．3.已知是一元二次方程的兩個實數根，下列結論錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由根的判別式，可得出，選項A不符合題意；將代入一元二次方程中可得出，選項B不符合題意；利用根與系數的關系，可得出，進而可得出選項C不符合題意，選項D符合題意．【詳解】解：根據題意得∶，∴，選項A不符合題意；∵是一元二次方程的實數根，∴，選項B不符合題意；∵是一元二次方程的兩個實數根，∴，選項C不符合題意，選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式一，根與系數的關系是解題的關鍵．4.如圖，相交于點E，，則的長為（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據相似三角形對應邊長成比例可求得BE的長，即可求得BD的長．【詳解】∵∴∴∵，∴∵∴故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的對應邊長成比例，解題的關鍵在于找到對應邊長．5.如圖，在菱形中，對角線，則的面積為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】菱形的對角線互相垂直平分，故的面積為對角線的一半的乘積的．【詳解】是菱形的面積故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質及三角形面積，理解是直角三角形是解題的關鍵．6.用配方法解方程時，配方結果正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把常數項移到方程的右邊，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，然后把方程左邊利用完全平方公式寫成平方形式即可．【詳解】解：，，，，故選：D．【點睛】本題考查利用配方法對一元二次方程求解，解題的關鍵是：熟練運用完全平方公式進行配方．7.要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）A.測量兩條對角線否相等B.度量兩個角是否是90°C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等D.測量兩組對邊是否分別相等【答案】C【解析】【分析】由對角線的相等不能判定平行四邊形，可判斷A，兩個角為不能判定矩形，可判斷B，對角線的交點到四個頂點的距離相等，可判斷矩形，從而可判斷C，由兩組對邊分別相等判斷的是平行四邊形，可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：A、測量兩條對角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項A不符合題意；B、度量兩個角是否是90°，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項B不符合題意；C、測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等，可以判定為矩形，故選項C符合題意；D、測量兩組對邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本題的關鍵．8.函數的圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的根的情況是（）A.沒有實數根 B.有兩個相等的實數根C.有兩個不相等的實數根 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據一次函數圖象經過的象限找出k、b的正負，再結合根的判別式即可得出△＞0，由此即可得出結論．【詳解】解：觀察函數圖象可知：函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0．在方程中，△=，∴一元二次方程有兩個不相等的實數根．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數圖象與系數的關系以及根的判別式，根據一次函數圖象經過的象限找出k、b的正負是解題的關鍵．9.文博會期間，某公司調查一種工藝品的銷售情況，下面是兩位調查員和經理的對話．小張：該工藝品的進價是每個22元；小李：當銷售價為每個38元時，每天可售出160個；當銷售價降低3元時，平均每天將能多售出120個．經理：為了實現平均每天3640元的銷售利潤，這種工藝品的銷售價應降低多少元？設這種工藝品的銷售價每個應降低x元，由題意可列方程為（）A.（38﹣x）（160+×120）＝3640B.（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C.（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D.（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640【答案】D【解析】【分析】由這種工藝品的銷售價每個降低x元，可得出每個工藝品的銷售利潤為（38-x-22）元，銷售量為（160+×120）個，利用銷售總利潤=每個的銷售利潤×銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵這種工藝品的銷售價每個降低x元，∴每個工藝品的銷售利潤為（38-x-22）元，銷售量為（160+×120）個．依題意得：（38-x-22）（160+×120）=3640．故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．10.如圖1的圖案稱“趙爽弦圖”，是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的，它由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，我們在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為，空白部分的面積為，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖2，設，則可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m與x的關系式，在直角中，利用勾股定理列出方程，得到n與x的關系，最后根據等量代換進行運算即可．【詳解】解：設圖2：設∴∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，根據正方形的面積公式和三角形形的面積公式得出它們之間的關系是解題的關鍵．二．填空題（每題3分，共15分）11.若，則________．【答案】【解析】【分析】根據比例的基本性質進行化簡，代入求職即可．【詳解】由可得，，代入．故答案為．【點睛】本題主要考查了比例的基本性質化簡，準確觀察分析是解題的關鍵．12.已知是方程的一個根，則方程的另一個根是_____．【答案】【解析】【分析】根據根與系數的關系即可求出答案．【詳解】解：設另外一個根為x，由根與系數的關系可知：，即．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系．若是一元二次方程的兩根時，．13.如圖，．若，，則______．【答案】10【解析】【分析】根據平行線分線段成比例得到，由條件即可算出DF的值．【詳解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．14.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點E，再分別以點C，E為圓心、大于CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交CD于點G，則CG的長為__________________．【答案】【解析】【分析】根據作圖過程可得BF是∠EBC的平分線，然后證明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的長．【詳解】解：如圖，連接EG，根據作圖過程可知：BF是∠EBC的平分線，∴∠EBG＝∠CBG，在△EBG和△CBG中，，∴△EBG≌△CBG（SAS），∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，∴AE＝＝8，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，∴EG2﹣DE2＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，解得CG＝．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，作圖-基本作圖，解決本題的關鍵是掌握矩形的性質．15.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是邊AB上的點，且，過點E作DE的垂線交正方形外角的平分線于點F，交邊BC于點M，連接DF交邊BC于點N，則MN的長為_____．【答案】【解析】【分析】根據正方形的性質、相似三角形的判定和性質，可以求得CN和BN的長，然后根據，即可求得MN的長．【詳解】解：作交于點H，作于點K，∵BF平分，，∴四邊形BHFK是正方形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵正方形ABCD的邊長為3，，∴，設，則，∴，解得，即；∵，∴。又∵，∴，∴，∵，∴，設，則，∴，解得，即，∵，∴，∴，∴，解得，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確作出輔助線，熟練運用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．三．解答題（共55分）16.用適當的方法解下列方程：．【答案】【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：解得：．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用因式分解法解一元二次方程成為解答本題的關鍵．17.小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學的解法都錯誤，正確過程見解析【解析】【分析】根據因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以，得，則．（×）小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．（×）正確解答：移項，得，提取公因式，得，去括號，得，則或，解得，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準確計算是解題關鍵．18.為慶祝建黨100周年，某大學組織志愿者周末到社區進行黨史學習宣講，決定從A，B，C，D四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩名志愿者參加．抽簽規則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字，（1）“A志愿者被選中”是______事件（填“隨機”或“不可能”或“必然”）；（2）請你用列表法或畫樹狀圖法表示出這次抽簽所有可能的結果，并求出A，B兩名志愿者被選中的概率．【答案】（1）隨機；（2）【解析】【分析】（1）隨機事件是在一定條件下，可能發生，也可能不發生的事件，隨機事件與確定性事件相比，是不確定的，因為對這種事件我們不能確定它是發生呢，還是不發生，即對事件的結果無法確定．根據定義可得答案；（2）先畫樹狀圖得到所有的等可能的結果數，得到都被選中的結果數，再利用概率公式計算即可得到答案．【詳解】解：（1）由隨機事件的定義可得：“A志愿者被選中”隨機事件，故答案：隨機．（2）畫樹狀圖如下：一共有種等可能的結果，其中都被選中的結果數有種，A，B兩名志愿者被選中的概率【點睛】本題考查是隨機事件的概念，利用畫樹狀圖或列表的方法求解簡單隨機事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖的方法是解題的關鍵．19.如圖，在菱形ABCD中，點E，F分別是邊AD，AB的中點．（1）求證：；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）2．【解析】【分析】（1）利用菱形的性質，由SAS證明即可；（2）證是等邊三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵點E，F分別是邊AD，AB的中點，∴AF＝AE，在和中，，∴（SAS）；（2）解：連接BD，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴是等邊三角形，∵點E是邊AD的中點，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝AD×BE＝2×＝2．【點睛】本題考查的是菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的面積的計算，掌握以上知識是解題的關鍵．20.如圖，將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積是300，求原正方形鐵皮的邊長．【答案】16cm【解析】【分析】設正方形鐵皮的邊長應是xcm，則做成沒有蓋的長方體盒子的長為cm，寬為cm，高為3cm，根據長方體的體積計算公式列方程解答即可．【詳解】解：設正方形鐵皮的邊長應是xcm，則做成沒有蓋的長方體盒子的長為cm，寬為cm，高為3cm，根據題意列方程得，解得（不合題意，舍去）．∴原正方形鐵皮邊長是16cm．【點睛】本題考查一元二次方程的應用．根據題意正確的列出一元二次方程是解題的關鍵．21.(1)【問題呈現】如圖1，和都是等邊三角形，連接．求證：．(2)【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接．則=_______．(3)【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接．①求的值；②延長交于點，交于點．若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)；(3)①；②【解析】【分析】(1)證明，從而得出結論；(2)證明，進而得出結果；(3)①先證明，再證得，進而得出結果；②在①的基礎上得出，進而，進一步得出結果．【詳解】(1)證明：∵和都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴；(2)解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴；(3)解：①∵，設，∴．∴，，∴，∴，∴；②由①得：，，，則∴，∵，∴，∴．∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．22.綜合與實踐數學是以數量關系和空間形式為主要研究對象的科學．數學實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去發現其中的位置關系和數量關系，讓我們在學習與探索中發現數學的美，體會數學實踐活動帶給我們的樂趣．如圖①，在矩形ABCD中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點，連接EF、DF，H為DF的中點，連接GH．將△BEF繞點B旋轉，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當△BEF繞點B順時針旋轉90°時，請解決下列問題：（1）圖②中，AB=BC，此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數量關系，并證明你的猜想；（2）圖③中，AB=2，BC=3，則；（3）當AB=m,BC=n時．．（4）在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點C的對應點P落在AB的延長線上，若PM平分∠APN，則CM長為．【答案】（1），證明見解析（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）先證明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根據中位線性質得GH=，等量代換即可；（2）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根據中位線性質得GH=，等量代換即可；（3）連接AF，先證明△A