猜押09反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)綜合（第23~24題））猜押考點3年山東濟(jì)南真題考情分析押題依據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合2024年山東濟(jì)南卷第23題，2023年山東濟(jì)南卷第24題、2022年山東濟(jì)南卷第25題山東濟(jì)南中考對反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)綜合考查以解答題為主，常通過函數(shù)圖象交點、三角形面積、相似三角形等問題考查。難度中等偏上，要求學(xué)生掌握函數(shù)性質(zhì)、幾何知識，具備綜合運用和邏輯推理能力，以解決復(fù)雜函數(shù)問題在近三年山東濟(jì)南中考中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)綜合都是重點考查內(nèi)容。反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合常融合函數(shù)與幾何知識，通過函數(shù)圖象交點、面積計算等形式，考查學(xué)生知識運用能力；二次函數(shù)綜合則結(jié)合多種知識，考查函數(shù)性質(zhì)、方程及幾何圖形相關(guān)內(nèi)容。這兩類題目綜合性強(qiáng)，能有效區(qū)分學(xué)生水平，所以2025年中考大概率會繼續(xù)對其進(jìn)行考查。二次函數(shù)綜合2024年山東濟(jì)南卷第24題，2023年山東濟(jì)南卷第25題、2022年山東濟(jì)南卷第27題題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合1．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，其中點，點B的橫坐標(biāo)為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點M為雙曲線在第一象限上的點，且，求點M的坐標(biāo)．(3)連接，P是x軸上的點，若，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或(3)或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法先求解，再求解，再求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）作，直線與在第一象限交于點，連接，過點作，直線與在第一象限交于點，連接，求出直線的表達(dá)式與反比例的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立，求解即可；（3）如圖，作，交軸于，，過作軸于，作交于，則，作軸于，證明，進(jìn)一步可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得，過作軸于，同理可得：，，進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：把點代入反比例函數(shù)，得，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵點的橫坐標(biāo)為．，∴將、的坐標(biāo)代入，得，，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：作，直線與在第一象限交于點，連接，過點作，直線與在第一象限交于點，連接，直線為，作于，交直線于點，，，，，此時，，一次函數(shù)的解析式為，直線為，令，（負(fù)值已舍去），；令，解得或（舍去），，，綜上所述，時，第一象限點M的坐標(biāo)為或；（3）解：如圖，作，交軸于，過作軸于，作交于，則，作軸于，，，∴，，而，∴，，∴，∵，設(shè)直線的解析式為，，，得的解析式為，當(dāng)時，，∴，過作軸于，，，同理可得：，∴，，，∴，∴；綜上：或．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及三角形的面積問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．2．在直角坐標(biāo)系中，已知，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點和點．已知點的橫坐標(biāo)是1，點的縱坐標(biāo)是．(1)求，的值；(2)根據(jù)圖像，直接寫出當(dāng)時自變量的取值范圍；(3)若直線與軸、軸分別交于、兩點，在軸上找一點，使得以、為頂點的三角形與相似，請直接寫出點坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可求解；（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）分兩種情況：或討論，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：對于，當(dāng)時，，∴，代入，得，∴，∴，當(dāng)時，，解得，∴代入，得，解得；（2）解：觀察函數(shù)圖象知：當(dāng)時，自變量x的取值范圍為或；（3）解：由（1）知：，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，解得，∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時，如圖，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；當(dāng)時，如圖，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；綜上，點P的坐標(biāo)為或．3．如圖1，反比例函數(shù)（）的圖象過點，直線：與軸交于點．(1)求和的值．(2)點，點均在第一象限，且滿足，直接寫出的取值范圍．(3)如圖2，若直線與反比例函數(shù)（）的圖象只有一個公共點．連接，，求證：．【答案】(1)，(2)(3)見解析【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運用，正確運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）把點代入反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式中可求出和的值，（2）先判斷出點，點分別在反比例函數(shù)和直線上，得出交點坐標(biāo)，根據(jù)可得結(jié)論．（3）聯(lián)立和，根據(jù)直線與反比例函數(shù)（）的圖象只有一個公共點求出，求出C點和B點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式求出，，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：把點代入反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式中可得：，，解得，，；（2）解：由（1）知，∴點，點，∴點P在反比例函數(shù)的圖象上，點Q在直線上，∴由（1）知兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為，∴當(dāng)，的取值范圍是．（3）解：由（1）知直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，，整理得，，∵直線與反比例函數(shù)（）的圖象只有一個公共點，∴，解得，，∴反比例函數(shù)的解析式為；∵與軸交于點，∴令，則∴，聯(lián)立方程組，解得，，∴，∵，∴，，∴．4．如圖函數(shù)的圖象交x軸于點，交反比例函數(shù)的圖象于點．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)點D為反比例函數(shù)圖象第一象限上B點下方一個動點，過點D作軸交線段于點C．①若點D的橫坐標(biāo)為4，點E為x軸上的一個動點，且四邊形為平行四邊形，求點E的坐標(biāo)．②連接，當(dāng)點C的坐標(biāo)為多少的時候，的面積最大，求出最大值．【答案】(1)(2)①；②當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，的面積最大，最大值為．【分析】（1）把點A坐標(biāo)代入直線解析式中求得，從而求得直線解析式；再把點B坐標(biāo)代入直線解析式中可求得點B坐標(biāo)，從而可求得反比例函數(shù)解析式；（2）①根據(jù)點D的橫坐標(biāo)，可求得點D的縱坐標(biāo)，得點D的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點C的坐標(biāo)，求得的長，由平行四邊形性質(zhì)得，結(jié)合點A的坐標(biāo)即可求得點E的坐標(biāo)；②設(shè)，則可求得點C的坐標(biāo)，求得，則可得的面積關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，即可求得最大值．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象交x軸于點，∴，解得：，即；∵直線交反比例函數(shù)于點B，∴，即，∴，即，即反比例函數(shù)解析式為；（2）解：①∵點D的橫坐標(biāo)為4，∴，即；∵軸交線段于點C，∴點C的縱坐標(biāo)為4，∴，解得：，即，∴；∵四邊形為平行四邊形，∴；∵，∴，∴，∴；②設(shè)，∵軸交線段于點C，∴點C的縱坐標(biāo)為，∴，解得：，即，∴；∴，即，當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為，此時點C的坐標(biāo)為；∴當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，的面積最大，最大值為．【點睛】本題是函數(shù)與幾何的綜合，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．5．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸、軸分別交于點．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)直接寫出當(dāng)時，不等式的解集；(3)在中，若兩直角邊邊長的比值是2，求出一次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）分兩種情況討論．首先用表示出一次函數(shù)的表達(dá)式為，①當(dāng)時，②當(dāng)時，利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：由題意得當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象的下方，∴不等式的解集為；（3）解：如圖所示，有兩種情況．∵點在一次函數(shù)的圖象上，∴，即，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為，①當(dāng)時，設(shè)，則，∴點，點．將點，代入中，可得，∴，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；②當(dāng)時，設(shè)，則，∴點，點．將點，點代入中，可得，∴，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．綜上所述，一次函數(shù)的表達(dá)式為或．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，頂點在軸正半軸上，頂點在軸正半軸上，點在上運動，連接，，的面積為6．(1)直接寫出的值．(2)已知．①若，求直線的解析式；②當(dāng)時，，求的值．【答案】(1)(2)①，②當(dāng)或時，．【分析】（1）由矩形，的面積為6．可得矩形的面積為，結(jié)合的幾何意義可得答案；（2）①由，可得，設(shè)，則，，可得，求解：，可得，，再進(jìn)一步可得答案；②由，可得，結(jié)合①得：，，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵矩形，的面積為6．∴矩形的面積為，∴，（2）解：①∵矩形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴設(shè)，則，，∴，解得：（舍去）∴，∴，，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為；②∵，∴，當(dāng)時，結(jié)合①得：，，∴，∴，解得：，，經(jīng)檢驗符合題意；∴當(dāng)或時，．【點睛】本題考查的是求解一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，都在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，軸于點與的延長線相交于點．(1)若的面積為6．①求反比例函數(shù)的表達(dá)式．②當(dāng)時，求自變量的取值范圍．(2)已知，求的長．【答案】(1)①；②(2)12【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）①設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)三角形的面積公式可得，再將點代入反比例函數(shù)的解析式即可得；②先求出當(dāng)時，的值，再根據(jù)結(jié)合函數(shù)圖象即可得；（2）先得出，再求出，，則，，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：①由題意，設(shè)點的坐標(biāo)為，∵軸于點，∴，∵的面積為6，∴，∴，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．②當(dāng)時，，∵反比例函數(shù)中的，，∴函數(shù)的圖象位于第一象限，且在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時，．（2）解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，∴，∵點，都在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，軸于點，，∴，，∴，，又∵軸于點，軸于點，∴，∴，∴，即，∴．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象交，兩點，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點C．(1)求一次函數(shù)解析式；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫出不等式的解集；(3)點P是x軸上一點，的面積等于面積的2倍，求點P坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式求點的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積求點的坐標(biāo)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）利用待定系數(shù)法求出，的坐標(biāo)即可解決問題．（2）觀察圖象寫出一次函數(shù)的圖象不在反比例函數(shù)的圖象下方的自變量的取值范圍即可解決問題．（3）根據(jù)，求出的面積，設(shè)，構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，，解得，，，，把、的坐標(biāo)代入得，解得，一次函數(shù)的解析式為．（2）解：觀察圖象，不等式的解集為：或．（3）解：連接，，由題意，，設(shè)，由題意，解得，或．9．綜合運用：如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使是直角三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)存在，、、或【分析】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，直角三角形的性質(zhì)，用分類討論和方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．（1）先把點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，求得的值，把的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為代入，即可得到結(jié)論；（2）利用一次函數(shù)的解析式求得點的坐標(biāo)，利用即可求解；（3）存在，在軸和軸上分兩種情況：①若時，如圖所示，利用兩點間的距離公式和勾股定理即可求解；②若時，如圖所示，過點作軸，垂足為點，即可求解．【詳解】（1）解：點的坐標(biāo)為在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式為，點的坐標(biāo)為也在上，，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為都在一次函數(shù)的圖象上，代入可得：，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）解：直線與軸交于點，當(dāng)時，可得，解得，，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，；（3）解：①若時，如圖所示，的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，如圖，設(shè)點，，，是直角三角形，，即，解得，點的坐標(biāo)為．③當(dāng)時，如圖，當(dāng)點在軸上時，設(shè)點，，，是直角三角形，，，解得，點的坐標(biāo)為．④若時，如圖所示，的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．綜上可得點的坐標(biāo)為、、或．10．如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B，點A的橫坐標(biāo)為，點B的橫坐標(biāo)為2．(1)求k和b的值；(2)若點C在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，直線與直線交于點M，且，求點C的坐標(biāo)；(3)若點C在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，點D是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點，且以點A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形，求點C的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點C的坐標(biāo)為或(3)點C的坐標(biāo)為或【分析】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)的表達(dá)式可得點B的坐標(biāo)為，將點A，B的坐標(biāo)分別代入，即可得到結(jié)論；（2）由（1）得，求得直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)．①當(dāng)點M在線段上時；②當(dāng)點M在線段的延長線上時；③，知，則點M不在線段的延長線上，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)點C的坐標(biāo)為，①當(dāng)為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，②當(dāng)為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)點A的坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)的表達(dá)式，得，∴點B的坐標(biāo)為，將點A，B的坐標(biāo)分別代入，得，解得，∴；（2）解：由（1），得，，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，∵直線與直線交于點M，∴點M在直線上，設(shè)，①如圖1，當(dāng)點M在線段上時，∵，∴，由相似比及線段長度與坐標(biāo)的關(guān)系，得，∴，解得，∴點M的坐標(biāo)為，此時直線的函數(shù)表達(dá)式為x，由得（負(fù)值舍去），∴點C的坐標(biāo)為；②如圖2，當(dāng)點M在線段的延長線上時，∵，∴同①，得，∴，解得，∴點M的坐標(biāo)為，∴直線的解析式為，由得（負(fù)值舍去），∴點C的坐標(biāo)為；③由，知，則點M不在線段的延長線上，綜上所述，點C的坐標(biāo)為或；（3）設(shè)點C的坐標(biāo)為，且，①如圖3，當(dāng)為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，則，∴，即，化簡，得，解得，（（與點B重合，舍去），∴點C；②如圖4，當(dāng)為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，則，∴，∴，化簡，得，解得，（負(fù)值舍去），（負(fù)值舍去），（與點B重合，舍去）；∴點C的坐標(biāo)為，綜上所述，點C的坐標(biāo)為或．題型二二次函數(shù)綜合1．如圖，拋物線與x軸交于點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點，使是以為底邊的等腰三角形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出點P的坐標(biāo)；(3)若為拋物線對稱軸上的一點，連接，，將沿直線翻折得到，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)存在，或；(3)或；【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱等知識．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出的垂直平分線為，與二次函數(shù)聯(lián)立即可求出答案；（3）分兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點，拋物線的表達(dá)式為：；（2）存在，理由：是以為底邊的等腰三角形，則點P在的中垂線上，∵，∴，而，∴為等腰直角三角形，∵的中點為，∴的垂直平分線為，∴，解得：，∴或．（3）∵點，，∴，拋物線的對稱軸為直線，如圖，由題意得，設(shè)翻折后點和點B對應(yīng)，則，，，∴，∴，∴，當(dāng)點M在x軸下方時，根據(jù)對稱性，則點；故點M的坐標(biāo)為：或．2．拋物線與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），點是拋物線的頂點，連接、．(1)求、的坐標(biāo)（用含的式子表示）；(2)若拋物線與直線交于，兩點，當(dāng)，滿足時，直線是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標(biāo)，否則，請說明理由；(3)如圖，若是等腰直角三角形，點是一動點且滿足，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，求的最大值．【答案】(1)(2)直線l總經(jīng)過定點，理由見解析(3)最大值為【分析】（1）當(dāng)時，，求得點A的坐標(biāo)，將函數(shù)解析式化為頂點式，得到點C的坐標(biāo)；（2）由直線與拋物線相交得到，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，由等式變形后，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入求得，由此得到答案；（3）作于M，由是等腰直角三角形，得，求出，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，作于H，證得，推出，由，得，由兩點距離公式求出得到當(dāng)A，N，P三點共線時，有最大值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），∴當(dāng)時，，解得，∴，∵，∴；（2）解：直線l總經(jīng)過定點，理由如下：∵拋物線與直線交于，兩點，∴，整理得，∴，∵，∴∴，∴∴得，∴當(dāng)時，∴直線l總經(jīng)過定點；（3）解：作于M，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，作于H，則，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴當(dāng)A，N，P三點共線時，有最大值．【點睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)與特殊三角形問題，勾股定理，一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，頂點為，與軸交于點，且與直線交于點．(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)；(2)求的面積；(3)若點為拋物線上的一個動點，是否存在以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，頂點的坐標(biāo)為；(2)；(3)存在滿足條件的點，其坐標(biāo)為或．【分析】本題考查了兩點間的距離，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何圖形的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（）聯(lián)立求出，則，過頂點作軸的平行線與直線交于點，求出，所以，然后由即可求解；（）設(shè)，則，，，然后分當(dāng)和當(dāng)兩種情況，再解方程即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴設(shè)拋物線的解析式為，把點代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，即，∵，∴頂點的坐標(biāo)為；（2）解：聯(lián)立，解得：或，∴，∵，∴，如圖，過頂點作軸的平行線與直線交于點，∴，∴，∴；（3）解：存在，理由如下，∵，，點為拋物線上的一個動點，∴設(shè)，∴，，，由于以為直角邊的直角三角形，當(dāng)，∴，整理得：，即，解得：或（舍去），∴，∴點；當(dāng)，∴，整理得：，即，解得：或（舍去），∴，∴點，綜上可知：點的坐標(biāo)為或．4．已知拋物線與軸交于兩點（點在左邊），與軸交于點．(1)直接寫出三點的坐標(biāo)；(2)如圖（），為拋物線上第一象限內(nèi)一點，若，求點的坐標(biāo)；(3)如圖（），是線段上一點，直線分別交拋物線于另一點，連接，將的面積分別記為，求的值．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（）把，分別代入二次函數(shù)解析式解答即可求解；（）延長交軸于點，過點作于，可得，即得，設(shè)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，即得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，即得，求出即可求解；（）過點作軸于點，交于點，過點作軸于，交于，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，直線的解析式為，進(jìn)而聯(lián)立函數(shù)解析式可得，，即得，，得到，，即得，最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，，∴，，把代入得，，∴；（2）解：如圖，延長交軸于點，過點作于，∵，，∴，∴，設(shè)，直線的解析式為，則，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，把代入得，，解得，∴，∵，軸，∴，∴，整理得，，解得或，∵為拋物線上第一象限內(nèi)一點，∴，∴；（3）解：如圖，過點作軸于點，交于點，過點作軸于，交于，設(shè)，直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴，同理得，∴，，∴，，∴，∵，，∴，，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，經(jīng)過、兩點的拋物線與軸的另一交點為．(1)點的坐標(biāo)是_______，點的坐標(biāo)是_________；(2)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3)點是該拋物線上的動點，過點作軸于點，交AC于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時，則點的坐標(biāo)是_________；②求面積與的函數(shù)表達(dá)式，并求的最大值．【答案】(1)(2)(3)①；②；最大值．【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）對于函數(shù)，令和分別求出點A和C的坐標(biāo)即可；（2）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，將點代入即可求解；（3）設(shè)則求出長，然后根據(jù)列方程，并解方程即可；②根據(jù)，計算即可得到解析式，然后配方找最值即可．【詳解】（1）解：對于函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，解得，∴直線與軸，軸的交點坐標(biāo)分別為，故答案為：（2）∵拋物線與軸的另一交點為，設(shè)所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把點代入,得:解得∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,即；（3）①設(shè)則∴，，當(dāng)時，，解得：或（與A重合，舍去），當(dāng)時，，故；故答案為：②，，∴當(dāng)時,有最大值．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，，交軸于點，為軸上一動點，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點在線段上時，連接，，過點作交直線于點．①直接寫出面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；②在①的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，是平移后的拋物線上一動點，連接，若，求點的坐標(biāo)；(3)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)①面積的最大值為，此時點的坐標(biāo)為；②點的坐標(biāo)為或(3)或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）①由，即可求解；②當(dāng)時，在中，，用解直角三角形的方法求出點H的坐標(biāo)，即可求解；當(dāng)點在y軸右側(cè)時，同理可解；（3）由題意可分：當(dāng)點M在線段上時，當(dāng)點M在點A的左側(cè)時，然后分別畫出函數(shù)圖象，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：①由題意知，點、、，設(shè)直線的表達(dá)式為：，∴，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，同理可得直線的表達(dá)式為：，連接，∵，則面積面積，則直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立直線和直線的表達(dá)式得：，解得：，則點，則，故面積的最大值為，此時，則點；②由可知：是等腰直角三角形，即，∴該拋物線沿射線方向平移個單位長度，則相當(dāng)于將拋物線向左向上分別平移1個單位，則新拋物線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，如圖：當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，設(shè)交x軸于點H，過點H作于點N，在中，，，，則設(shè)，則，則，則，則，則點，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為：，∴，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，解得：（舍去），即點；當(dāng)點在y軸右側(cè)時，同理可得直線的表達(dá)式為：，將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，解得：（不合題意的值已舍去），即點；（3）解：由題意可分：當(dāng)點M在線段上時，且與點O重合，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，此時點與點B重合，符合題意；當(dāng)點M不與點O重合時，且旋轉(zhuǎn)后恰好在拋物線上時，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∴，∴，解得：（負(fù)根舍去），∴當(dāng)時，線段與拋物線只有一個公共點；當(dāng)點M在點A的左側(cè)時，且旋轉(zhuǎn)后恰好在拋物線上時，如圖所示：∴，∴，解得：（正根舍去），當(dāng)點M在點A的左側(cè)時，且旋轉(zhuǎn)后恰好在拋物線上時，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)可知：，，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴當(dāng)時，線段與拋物線只有一個公共點；綜上所述：當(dāng)或時，線段與拋物線只有一個公共點．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，頂點為．其中，．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)是該拋物線上一點．①連接，若，求點的坐標(biāo)；②在第三象限內(nèi)拋物線上找點，使，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把點代入，即可求解；（2）①過點B作交于點F，過點F作軸于點G，過點D作軸于點H，根據(jù)題意可得，再由，可得，，從而得到，再求出點，可得，在中，利用勾股定理可得，，從而得到點F的坐標(biāo)為，再求出直線的解析式，進(jìn)而得到直線的解析式，即可求解；②過點E作軸于點F，過點D作軸于點G，則，設(shè)點E的坐標(biāo)為，則，可得，然后根據(jù)，求出m的值，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把點代入得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：①如圖，過點B作交于點F，過點F作軸于點G，過點D作軸于點H，∵點，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，對于，當(dāng)時，，解得：，∴點，∴，在中，，∴，∴或0（舍去），∴，∴點F的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，∴可設(shè)直線的解析式為，把點代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立得：，解得：或，∴點E的坐標(biāo)為；②如圖，過點E作軸于點F，過點D作軸于點G，則，∵點，，∴，當(dāng)時，，∴點，∴，設(shè)點E的坐標(biāo)為，則，∴，∵，∴，∴，即，解得：或0（舍去），∴點E的坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，解直角三角形，勾股定理等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．8．如圖，已知拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C．直線過拋物線的頂點P．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點E，與直線BC交于點F．①當(dāng)取得最大值時，求m的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時，求點E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①當(dāng)時，取最大值，②或或【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．（1）由拋物線與軸交于和兩點，得拋物線對稱軸為直線，即可得拋物線頂點為，設(shè)拋物線函數(shù)解析式為，將代入可得，故拋物線函數(shù)解析式為；（2）①求出，得直線解析式為，故，，得；②根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；③由，，，得，，；分三種情況列方程可解得答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于和兩點，拋物線對稱軸為直線，在中，令得，拋物線頂點為，設(shè)拋物線函數(shù)解析式為，將代入得：，解得，拋物線函數(shù)解析式為；（2）解：①如圖：在中，令得，，設(shè)直線解析式為，將，代入得，解得，直線解析式為，設(shè)，則，，當(dāng)時，取最大值，②設(shè)，則，，，，；若，則，解得（與重合，舍去）或，；若，則，解得（舍去）或或（不符合題意，舍去），，；若，則，解得（舍去）或或（不符合題意，舍去），；綜上所述，的坐標(biāo)為或或．9．已知，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點D為拋物線上位于直線上方的一點，于點E，軸交于點F，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，求點D的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿y軸向下平移，得到的新拋物線與y軸交于點G，軸交新拋物線于點P，射線與新拋物線的另一交點為Q．當(dāng)時，求點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出圖形，利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可即可解答；（2）證明為等腰直角三角形，則最大時，的周長最大，設(shè)，則，可利用表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可；（3）分類討論，分當(dāng)點在軸正半軸或當(dāng)點在軸負(fù)半軸，利用相似三角形的性質(zhì)表示出點的坐標(biāo)，代入拋物線解方程即可．【詳解】（1）解：把，代入可得，解得，∴此拋物線的解析式為；（2）解：當(dāng)時，，則，設(shè)直線的解析式為，把，代入可得，解得，直線的解析式為，，為等腰直角三角形，軸，，，為等腰直角三角形，，故要使的周長最大，即最大，設(shè)，則，，其中，故當(dāng)時，最大，即的周長最大，此時；（3）解：設(shè)新拋物線的解析式為：，則，拋物線的對稱軸為直線，，如圖，當(dāng)點在軸正半軸上時，過點作軸于點，，，,，，，點必定在第一象限，點必定在第三象限，，代入拋物線可得，解得，如圖，當(dāng)點在軸負(fù)半軸上時，過點作軸于點，，，,，，，點必定在第四象限，點必定在第四象限，，代入拋物線可得，解得，，綜上，點的坐標(biāo)為或．10．拋物線與軸交于點，，與軸交于點．已知，拋物線的頂點坐標(biāo)為，點是拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點在線段上方的拋物線上運動（不與，重合），過點作，垂足為，交于點．作，垂足為，求的面積的最大值；(3)如圖2，點是拋物線的對稱軸l上的一個動點，在拋物線上，是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)的表達(dá)式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，三角形面積最值問題，判定平行四邊形求動點的坐標(biāo)等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)并靈活應(yīng)用．（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)假設(shè)拋物線頂點式表達(dá)式，將點坐標(biāo)代入即可求出拋物線表達(dá)式；（2）求出二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，求出一次函數(shù)圖象的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷出等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，斜邊最大時面積最大，假設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)，表示出斜邊長度，從而得出最長斜邊，即可求出最大面積；（3）根據(jù)平行四邊形的判定定理，分別以為平行四邊形的邊和對角線來進(jìn)行分類討論，對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，假設(shè)出點的坐標(biāo)，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴假設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得，，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令,則，令，則，解得，∴，，，假設(shè)直線的表達(dá)式為，將代入得，，解得，∴直線的表達(dá)式為，∵，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，當(dāng)斜邊最大時，的面積最大，假設(shè)，，求頂點橫坐標(biāo)為，，頂點縱坐標(biāo)為的最大值，，是等腰直角三角形，，∴的面積為；（3）解：分兩種情況討論，①當(dāng)為平行四邊形的邊時，則有，且，如圖，過點作對稱軸的垂線，垂足為，設(shè)交對稱軸于點，則，在和中，，，，點到對稱軸的距離為3，又，拋物線對稱軸為直線，設(shè)點，則，解得：或，