5.2簡單的軸對稱圖形

第5章

圖形的軸對稱第1課時北師大版（2024）

七年級

下冊學習目標1.理解并掌握等腰三角形的性質；(重點)2.探索并掌握等腰三角形的軸對稱性及其相關性質，能初步運用其解決有關問題．(難點)新課導入復習回顧1.軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做

,這條直線叫做

.

軸對稱圖形的對稱軸是一條

,有些軸對稱圖形可能有多條對稱軸,有的甚至有無數條對稱軸.

軸對稱圖形對稱軸直線2.兩個圖形成軸對稱：如果兩個平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形

，這條直線叫做這兩個圖形的

.

成軸對稱對稱軸3.軸對稱的性質:在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中,對應點所連的線段被對稱軸

,對應線段

,對應角

.垂直平分相等相等新課導入情境引入觀察下列圖片，它們有什么共同的特征？等腰三角形是生活中常見的圖形，它有什么特征?下面我們一起來探究！②把一張正方形紙片沿對角線剪開可得到兩個等腰三角形.新課講授

探究一：等腰三角形

等腰三角形是比較常見的圖形，你有什么辦法可以得到一個等腰三角形？與同伴進行交流.方法不唯一。例如：①兩個完全相同的直角三角形，以它們對應的一條直角邊為公共邊可以拼成一個等腰三角形；(1)等腰三角形是軸對稱圖形嗎？如果是，沿它的對稱軸折疊，你能發現哪些相等的線段和相等的角？思考·交流新課講授解:（1）等腰三角形是軸對稱圖形.如圖，將等腰三角形沿過頂點的直線折疊,使得兩底角重合,折痕所在的直線即為等腰三角形的對稱軸.ABCD如圖，相等的線段有：AB=AC，BD=CD；相等的角有：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.新課講授(3)你認為等腰三角形有哪些特征?與同伴進行交流.(3)答案不唯一,如等腰三角形的兩個底角相等.(2)等腰三角形的對稱軸是一條怎樣的直線?你是如何描述的？(2)答案不唯一,如等腰三角形的對稱軸是頂角的平分線所在的直線.新課講授知識歸納等腰三角形的性質：(1)等腰三角形是

圖形.

(2)等腰三角形頂角的

、底邊上的

、底邊上的

重合(也稱“三線合一”),它們所在的直線都是等腰三角形的

.

(3)等腰三角形的兩個底角

.

軸對稱平分線中線高對稱軸相等ABC新課講授例已知一個等腰三角形的底角是頂角的2倍，求它的各個內角的度數.解:設這個等腰三角形頂角的度數為x°，則底角的度數為2x°.根據“三角形三個內角的和等于180°”，得

x+2x+2x=180.解得

x=36.2×36=72.所以，這個三角形的三個內角分別是36°，72°，72°.新課講授1.等腰三角形的一個內角是50°，則這個三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據三角形的內角和定理易得底角是65°.A分類討論思想.新課講授知識歸納等腰三角形中求角度的方法：

先明確已知角是底角還是頂角，再根據等腰三角形的兩個底角相等求另外兩個角；

若未指明，則需分類討論，注意若已知角是直角或鈍角，則該角只能是頂角.新課講授嘗試·思考

如圖所示，△ABC是一個等腰三角形，直線l是它的對稱軸。請在△ABC中畫出以直線l為對稱軸的一組對應點、一組對應線段、一組對應角，你能發現哪些相等的線段、相等的角，以及形狀、大小完全相同的圖形?D

如圖所示，設直線l與BC交于點D，點B與C，線段BD與CD，∠BAD與∠CAD為所作。相等的線段有：AB=AC，BD=CD；相等的角有：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC。形狀、大小完全相同的圖形為△BAD和△CAD。新課講授2.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E.試說明:∠CBE=∠BAD.解:∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD,∴∠CBE=∠BAD.新課講授知識歸納等腰三角形“三線合一”的應用：(1)等腰三角形“三線合一”的性質是說明角相等、線段相等和垂直關系的既重要又簡便的方法;(2)在等腰三角形中,作“三線”中的“一線”,利用“三線合一”的性質是解決有關等腰三角形問題的常見方法.

(1)等邊三角形有幾條對稱軸?思考·交流新課講授

探究二：等邊三角形(2)你能發現它的哪些特征?與同伴進行交流.解:(1)等邊三角形有3條對稱軸.(2)等邊三角形是軸對稱圖形,三個內角都為60°,三條邊都相等.等邊三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的所有的性質.新課講授知識歸納等邊三角形的性質:(1)等邊三角形是軸對稱圖形,有

條對稱軸.

(2)等邊三角形每條邊都

,每個角都

,都等于

.

(3)等邊三角形每條邊上的中線、高、該邊所對角的平分線重合(“三線合一”).三相等相等60°ABC新課講授3.如圖所示,△ABC是等邊三角形,D是BC的中點,點E在AC上,且AE=AD,求∠EDC的度數.

典例分析例1：如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E.試說明:CE=AB.解:因為AB=AC,AD是BC邊上的高,所以BD=CD.因為CE∥AB,所以∠E=∠BAE.在△ABD和△ECD中,因為∠ADB=∠EDC,∠BAD=∠E,BD=CD,所以△ABD≌△ECD(AAS).所以CE=AB.典例分析例2：如圖所示,在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D,BC的延長線上取一點E,使CE=CD.試說明:∠DBC=∠E.解:因為△ABC是等邊三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,所以∠ACE=120°.因為D為AC的中點,AB=BC,因為CE=CD,所以∠DBC=∠E.學以致用2.如圖所示,在等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為D,點E在線段AD上,∠EBC=45°,則∠ACE等于(

)A.15° B.30°C.45° D.60°A1.下列說法中錯誤的是(

)A.等腰三角形的兩個底角相等B.等邊三角形有一條對稱軸C.等腰三角形底邊上的中線平分頂角D.等邊三角形每個內角都等于60°B學以致用3.如圖所示，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,下列結論中不正確的是(

)A.∠B=∠C B.AD⊥BCC.AD平分∠BAC D.AB=2BD4.等腰三角形的一個角是50°,則它一腰上的高與底邊的夾角是(

)A.25° B.40°C.25°或40° D.不能確定CD學以致用6.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D,E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE,若BD=7,則CE的長為

.

5.如圖所示,小艾同學坐在秋千上,秋千旋轉了80°,小艾同學的位置也從A點運動到了A'點,則∠OAA'的度數為

.

50°77.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數為20°,則該等腰三角形頂角的度數為

.

110°或70°學以致用8.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊的中點，∠B=30°.求∠ADC和∠BAD的度數.解:因為AB=AC,D是BC邊的中點,所以AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.又因為∠B=30°,所以∠BAD=60°.學以致用9.如圖所示，在△ABC中,AB=AC，∠A=40°，BD平分∠ABC，求∠BDC的度數.

學以致用10.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊的中點,連接AD,BE平分∠ABC交AC于點E,過點E作EF∥BC交AB于點F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度數;(2)試說明:∠FBE=∠FEB.解:(1)因為AB=AC,所以∠C=∠ABC.因為∠C=36°,所以∠ABC=36°.因為BD=CD,AB=AC,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠BAD=90°-36°=54°.(2)因為BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE.因為EF∥BC,所以∠FEB=∠CBE,所以∠FBE=∠FEB.課堂小結簡單的軸對稱圖形1等腰三角形等邊三角形等腰三角形的兩個底角相等.等腰三角形