5.1軸對稱及其性質

第5章

圖形的軸對稱北師大版（2024）

七年級

下冊學習目標1.理解軸對稱圖形、兩個圖形成軸對稱的概念及意義；(重點)2.能夠識別軸對稱圖形和成軸對稱的圖形，并能指出它們的對稱軸；(重點)3.經歷探索軸對稱的性質的過程，理解軸對稱的性質；4.會畫與已知圖形成軸對稱的圖形，會利用軸對稱的性質進行簡單的計算以及解決實際問題.(難點)新課導入

軸對稱現象在生活中廣泛存在:無論是氣勢恢宏的大型建筑還是生活中隨處可見的各種標志，無論是傳統的民間藝術還是現代的工業設計，都不乏軸對稱的身影。你能發現生活中的軸對稱圖形嗎?對于軸對稱，你有怎樣的認識?

本章將在小學學習的基礎上，進一步研究軸對稱的性質，從軸對稱的視角探索等腰三角形、線段和角的一些性質，開展搜集、欣賞、設計軸對稱圖案的活動。在這一過程中，你將感知并描述平面圖形軸對稱的規律，積累研究平面圖形性質的經驗，初步形成合乎邏輯地思考、表達與交流的習慣，發展空間觀念、幾何直觀和推理能力等。新課導入情境引入

觀察圖中的圖片和圖形，它們有什么共同特點？你還能舉出一些類似的例子嗎？與同伴進行交流.它們都具有對稱性.新課講授

探究一：軸對稱圖形

如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸.軸對稱圖形的概念

右圖是一個軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸，沿對稱軸折疊后，點A與點A'重合，稱點

A關于對稱軸的對應點是點A'。類似地，線段

AB

關于對稱軸的對應線段是線段

A'B'，∠B關于對稱軸的對應角是∠B'.對稱軸是一條直線.新課講授對應點：點B與點B'，點C與點C'；對應線段：AC

與

A'C，BC

與

B'C等；對應角：∠BAC與∠B'A'C，∠ACB與∠A'CB'等.你還能在圖中找出其他的對應點、對應線段和對應角嗎?1.下列圖形中，是軸對稱圖形的是 (

)新課講授D方法歸納：判斷一個圖形是不是軸對稱圖形的關鍵是看能否找到一條直線,將圖形沿著這條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,若能找到,則該圖形就是軸對稱圖形,否則就不是軸對稱圖形.你能畫出下列各圖形中的對稱軸嗎？哪一個圖形的對稱軸最多？操作·思考新課講授圓的對稱軸最多，有無數條.新課講授知識歸納確定對稱軸的條數：一個軸對稱圖形的對稱軸可能有1條，也能有多條，還可能有無數條.

通過對所給圖形的直觀感知，分析圖形的特征，依據軸對稱圖形的概念，確定出對稱軸的條數.2.觀察下面的圖形，哪些圖形是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，請畫出對稱軸.新課講授解:如圖所示.新課講授

探究二：兩個圖形成軸對稱觀察·交流觀察下圖中的每組圖案，你發現了什么？與同伴進行交流.每組圖案中的兩個圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合.新課講授知識歸納兩個圖形成軸對稱：

如果兩個平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱,這條直線叫做這兩個圖形的對稱軸.新課講授BDCA3.下列四組圖片中有哪幾組圖形成軸對稱？新課講授知識歸納軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區別與聯系：軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱圖形區別聯系一個圖形具有的特殊形狀兩個全等圖形的特殊的位置關系1.都是沿著某條直線折疊后能重合.2.可以互相轉化.下圖是一個軸對稱圖形,直線l是它的對稱軸.觀察這個圖形,回答下列問題:新課講授觀察·思考(1)在圖中任意選一組對應線段，這兩條線段之間有什么關系?為什么?(2)在圖中任意選一組對應角，這兩個角之間有什么關系?說說你的理由.解:(1)任意選一組對應線段，如選擇AD與A'D'，則AD=A'D'，因為沿對稱軸折疊后它們能夠互相重合.(2)任意選一組對應角，如選擇∠1與∠2，則∠1=∠2，因為沿對稱軸折疊后它們能夠互相重合.

探究三：軸對稱的性質新課講授(3)連接對應點A與A',線段

AA'與對稱軸之間有什么關系?連接其他任意一組對應點再試一試.(3)線段

AA'被對稱軸垂直平分.其他任意一組對應點所連線段也被對稱軸垂直平分.思考·交流如圖，將一張長方形紙對折,然后用筆尖扎出數字“14”,將紙打開后鋪平.新課講授在鋪平的圖中：(1)兩個“14”之間有什么關系？關于直線l對稱.新課講授連接對應點的線段均垂直于對稱軸l且被對稱軸l平分，如：線段AA′，EE′等.(2)對應線段相等，如：AB=A′B′，CD=C′D′等.對應角相等，如：∠1=∠2，∠D=∠D′等.(2)對應線段之間有什么關系？對應角之間有什么關系？連接對應點的線段與對稱軸l之間有什么關系？請舉例說明，并與同伴進行交流.新課講授知識歸納軸對稱的性質：

在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等.提示：(1)關于某條直線成軸對稱的兩個圖形是全等圖形，但全等圖形不一定成軸對稱.(2)成軸對稱的兩個圖形的對應線段所在的直線有以下3種位置關系：①平行；②重合；③相交，且交點在對稱軸上.(3)若對應點所連線段被某一直線垂直平分，則此直線為這兩點的對稱軸.新課講授4.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，則∠BCD的度數是(

)A．130°B．150°C．40°D．65°解析：∵這種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°-150°-40°-40°＝130°.A

下圖是一個軸對稱圖形的一半，直線MN是這個軸對稱圖形的對稱軸，請畫出這個圖形的另一半.例新課講授解:如圖所示，延長AO至

A'，使

OA'=OA;延長BN至B'，使NB'=NB;依次連接

MA'，MB'，A'B'，A'P，B'P。這樣畫出的圖形就是這個圖形的另一半.A′B′新課講授(1)找:找出已知圖形的關鍵點（如端點、頂點或拐點）;(2)畫:過關鍵點關于對稱軸的對應點;(3)連:按已知圖形的順序依次連接相應的對應點.知識歸納畫軸對稱圖形的步驟：新課講授5.下圖是一個圖案的一半,其中的虛線是這個圖案的對稱軸,畫出這個圖案的另一半.解:如圖所示.典例分析例1：下面的圖形都是軸對稱圖形或成軸對稱的圖形，請分別找出每個圖形的對稱軸．典例分析例2：如圖所示，畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的三角形.解:如圖所示,△A'B'C'即為所求.典例分析例3：如圖所示,△ABC與△ADE關于直線MN對稱,BC與DE的交點F在直線MN上.若ED=4cm,FC=1cm,∠BAC=76°,∠EAC=58°.(1)求BF的長;(2)求∠CAD的度數;(3)連接EC,線段EC與直線MN有什么關系?解:(1)因為△ABC與△ADE關于直線MN對稱,ED=4cm,所以BC=ED=4cm,所以BF=BC-FC=4-1=3(cm).(2)因為△ABC與△ADE關于直線MN對稱,∠BAC=76°,所以∠EAD=∠BAC=76°,所以∠CAD=∠EAD-∠EAC=76°-58°=18°.(3)直線MN垂直平分線段EC.學以致用1.下列倡導節約的圖案中,是軸對稱圖形的是(

)2.右圖是由“○”和“□”組成的軸對稱圖形,該圖形的對稱軸是直線(

)A.l1 B.l2

C.l3 D.l4CC學以致用4.將一張正方形紙片按如圖所示的步驟①②對折兩次,然后沿③中的虛線剪去一個角,展開鋪平后的圖形是(

)3.下列幾組圖案中成軸對稱的有(

)A.3組 B.2組 C.1組 D.0組AB學以致用6.如圖所示,△ABC和△AB'C'關于直線l對稱,有下列結論:①△ABC≌△AB'C';②∠BAC'=∠B’AC;③直線l垂直平分線段CC';④直線BC和B'C'的交點不一定在直線l上.其中正確的有(

)A.4個 B.3個C.2個D.1個5.下列關于軸對稱性質的說法中,不正確的是(

)A.對應線段互相平行B.對應線段相等C.對應角相等D.對應點的連線與對稱軸垂直AB學以致用7.如圖所示的四個汽車標志圖案中是軸對稱圖形的有

(填序號).

①③8.下列說法中,正確的是

(填序號).

①軸對稱圖形只有一條對稱軸;②軸對稱圖形的對稱軸是一條線段;③若兩個圖形成軸對稱,則這兩個圖形是全等圖形;④全等的兩個圖形一定成軸對稱;⑤軸對稱圖形是指一個圖形,而成軸對稱是對于兩個圖形而言的.③⑤學以致用9.如圖所示，△ABC與△DEF關于直線MN對稱.(1)若AB=7cm,則DE=

;

(2)若∠A=70°,∠B=50°,則∠F=

°;

(3)若S△DEF=56cm2,則S△ABC=

.

7cm6056cm210.將五邊形紙片按右圖所示的方式折疊,折痕為AF,點E,D分別落在點E',D'處,已知∠AFC=76°,則∠CFD'的度數為

.

28°學以致用11.如圖所示的圖形分別是正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形.(1)分別說出它們各有幾條對稱軸，并作出各圖形的所有對稱軸;(2)通過作圖與思考,你發現了什么規律?試寫出幾條.解:(1)正三角形有3條對稱軸,正方形有4條對稱軸,正五邊形有5條對稱軸,正六邊形有6條對稱軸.對稱軸如圖所示.(3)答案不唯一,如:①正n(n≥3且n為整數)邊形有n條對稱軸.②正多邊形的對稱軸都交于同一點.學以致用12.如圖所示,D是△ABC的邊BC上一點,以直線AD為對稱軸作出△ABC的對稱圖形.解:如圖所示,△AB'C'即為所求.學以致用13.如圖所示，△ABC與△DEF關于直線MN對稱,其中∠C=90°,AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm.(1)連接AD,線段AD與直線MN的關系是什么?(2)求∠F的度數;(3)求△ABC的周長和△DEF的面積.解:(1)因為△ABC與△DEF關于直線MN對稱,所以直線MN垂直平分線段AD.(2)因為△ABC與△DEF關于直線MN對稱,所以△ABC