有理函數(shù)的積分第四章不定積分

基礎(chǔ)教學(xué)部有理函數(shù)的積分01三角有理函數(shù)的積分02目錄4.4.1有理函數(shù)的積分3有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù)，也稱為有理分式.有理分式的一般表達(dá)式為其中為自然數(shù)；及都是實(shí)數(shù)，并且.在有理分式中，當(dāng)時(shí)，稱之為真分式；當(dāng)時(shí)，稱之為假分式．任意一個(gè)假分式都可以化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式的和．例如因此有理函數(shù)的積分可以轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式或真分式的積分，多項(xiàng)式的積分比較簡單，所以只需要討論真分式的積分.4.4.1有理函數(shù)的積分4要求解真分式的積分，需要用到代數(shù)學(xué)中的兩個(gè)結(jié)論：（1）任一多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都可分解為一次因式和二次質(zhì)因式的乘積；（2）分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解成如下形式：其中，則真分式可以被分解為如下最簡分式（分母只含一個(gè)一次因式或一個(gè)二次質(zhì)因式的真分式）的和.4.4.1有理函數(shù)的積分5其中等為待定常數(shù)，利用待定系數(shù)法可以將所有的系數(shù)確定.4.4.1有理函數(shù)的積分6真分式的積分最終歸結(jié)為如下面兩種部分分式的積分：對于第(1)種部分分式的積分，將湊成，然后利用換元和基本積分公式直接可以積出.下面我們重點(diǎn)討論第（2）種部分分式的積分.若，則第(2)種部分分式變?yōu)椋瑢⒈环e函數(shù)的分母配方得4.4.1有理函數(shù)的積分7令，將代入到被積函數(shù)，則被積函數(shù)變形為此時(shí)記，，則有，4.4.1有理函數(shù)的積分8若，借助于上述記法，則4.4.1有理函數(shù)的積分9例1求解

被積函數(shù)是真分式，可分解為最簡分式之和其中為待定系數(shù)，可以按照如下的方法求出待定系數(shù).在分解式兩端消去分母得比較的各次冪的系數(shù)得4.4.1有理函數(shù)的積分10解得，.從而所以4.4.1有理函數(shù)的積分11解得，.從而所以4.4.1有理函數(shù)的積分12例2求解被積函數(shù)的分母含有和二次質(zhì)因式，按照式（4.3）等式的兩端去分母得：比較的各次冪的系數(shù)得的分解公式，得4.4.1有理函數(shù)的積分13解得，，，.所以4.4.1有理函數(shù)的積分14例3求通分得.解先將被積函數(shù)分解成最簡分式之和，分別取，可求得，，.于是4.4.1有理函數(shù)的積分15例4求兩端去分母，得.解先將被積函數(shù)分解成最簡分式之和,取分別取，可求得，，.于是4.4.1有理函數(shù)的積分16以上將有理真分式函數(shù)分解為簡單分式之和求其積分的方法稱為待定系數(shù)法.確定簡單分式分子中的待定常數(shù)，例1和例2所用的方法稱為比較系數(shù)法；例3和例4采用了對x取特殊值的方法，稱為特殊值法.例5求解4.4.1有理函數(shù)的積分17例6求解有理函數(shù)的積分01三角有理函數(shù)的積分02目錄4.4.2三角有理函數(shù)的積分19由，及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得的函數(shù)稱為關(guān)于，的有理式，并用來表示.其中稱為三角有理函數(shù).萬能公式4.4.2三角有理函數(shù)的積分20可以看出，在此組公式中，都是關(guān)于的有理函數(shù)，所以在三角有理函數(shù)的積分中，如果令，則，，就可以將三角有理函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的有理函數(shù).即4.4.2三角有理函數(shù)的積分21例7求解取令，則，，，于是4.4.2三角有理函數(shù)的積分22例8求解取令，則，，于是4.4.2三角有理函數(shù)的積分23