2025年中學數學知識競賽試題及答案一、選擇題（每題2分，共12分）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，其圖像在區間$[-1,1]$上：

A.在區間$(-1,0)$上單調遞增

B.在區間$(0,1)$上單調遞減

C.在區間$(-1,0)$上單調遞減

D.在區間$(0,1)$上單調遞增

答案：D

2.已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$ab$的最大值為：

A.1

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\frac{1}{4}$

答案：D

3.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$S_5=35$，$S_9=63$，則$a_7$的值為：

A.7

B.8

C.9

D.10

答案：B

4.已知圓$C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$的圓心為$(1,2)$，半徑為$r=2$，則圓心$C$到直線$2x-3y+5=0$的距離為：

A.$\sqrt{5}$

B.$2\sqrt{5}$

C.$\sqrt{10}$

D.$2\sqrt{10}$

答案：C

5.已知$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，則$AB$的值為：

A.$\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}19&22\\38&46\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}23&26\\51&58\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}23&26\\46&54\end{bmatrix}$

答案：B

6.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則$f(x)$的極值為：

A.$-\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{2}$

C.$0$

D.不存在

答案：A

二、填空題（每題3分，共18分）

1.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，則第$5$項與第$10$項的差為$\_\_\_\_\_\_d$。

答案：$5d$

2.已知圓$C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$，則圓心$C$的坐標為$\_\_\_\_\_\_(1,2)$。

答案：$(1,2)$

3.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，則第$5$項與第$10$項的比值為$\_\_\_\_\_\_\_q^5$。

答案：$q^5$

4.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(0)=\_\_\_\_\_\_\_1$。

答案：$1$

5.已知行列式$A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$，則$A=\_\_\_\_\_\_\_2$。

答案：$2$

6.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則$f'(x)=\_\_\_\_\_\_\_\frac{1}{x^2+2x+1}$。

答案：$\frac{1}{x^2+2x+1}$

三、解答題（每題8分，共32分）

1.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$S_5=35$，$S_9=63$，求該數列的公差$d$和第$7$項$a_7$。

解答：設該等差數列的公差為$d$，則有：

$$S_5=5a_1+10d=35$$

$$S_9=9a_1+36d=63$$

解得：$a_1=2$，$d=3$。

所以公差$d=3$，第$7$項$a_7=2+6\times3=20$。

2.已知圓$C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$的圓心為$(1,2)$，半徑為$r=2$，求圓心$C$到直線$2x-3y+5=0$的距離。

解答：圓心$C$到直線$2x-3y+5=0$的距離$d$為：

$$d=\frac{|2\times1-3\times2+5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$$

3.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$的極值。

解答：求導得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$。

當$x<-1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增；

當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調遞減；

當$x>1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增。

所以$f(x)$的極大值為$f(-1)=3$，極小值為$f(1)=-1$。

4.已知等比數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$S_5=35$，$S_9=63$，求該數列的公比$q$和第$7$項$a_7$。

解答：設該等比數列的首項為$a_1$，公比為$q$，則有：

$$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=35$$

$$S_9=\frac{a_1(1-q^9)}{1-q}=63$$

解得：$a_1=1$，$q=2$。

所以公比$q=2$，第$7$項$a_7=2^6=64$。

5.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的導數$f'(x)$。

解答：求導得$f'(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2+2x+1}$。

6.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(x)$的圖像。

解答：函數$f(x)=x^2-2x+1$是一個二次函數，其圖像為一個開口向上的拋物線，頂點坐標為$(1,0)$。

四、應用題（每題10分，共40分）

1.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$S_5=35$，$S_9=63$，求該數列的前$10$項和$S_{10}$。

解答：設該等差數列的公差為$d$，則有：

$$S_5=5a_1+10d=35$$

$$S_9=9a_1+36d=63$$

解得：$a_1=2$，$d=3$。

所以$S_{10}=10a_1+45d=10\times2+45\times3=135$。

2.已知圓$C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$的圓心為$(1,2)$，半徑為$r=2$，求圓$C$與直線$2x-3y+5=0$的交點坐標。

解答：圓$C$與直線$2x-3y+5=0$的交點坐標可以通過解方程組得到：

$$\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=4\\2x-3y+5=0\end{cases}$$

解得：$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{3}{2}$。

3.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值和最小值。

解答：求導得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$。

當$x<-1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增；

當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調遞減；

當$x>1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增。

所以$f(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值為$f(-1)=3$，最小值為$f(1)=-1$。

4.已知等比數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$S_5=35$，$S_9=63$，求該數列的公比$q$和第$7$項$a_7$。

解答：設該等比數列的首項為$a_1$，公比為$q$，則有：

$$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=35$$

$$S_9=\frac{a_1(1-q^9)}{1-q}=63$$

解得：$a_1=1$，$q=2$。

所以公比$q=2$，第$7$項$a_7=2^6=64$。

5.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$在區間$[1,2]$上的最大值和最小值。

解答：求導得$f'(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2+2x+1}$。

由于$f'(x)$在區間$[1,2]$上恒大于$0$，所以$f(x)$在區間$[1,2]$上單調遞增。

所以$f(x)$在區間$[1,2]$上的最大值為$f(2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，最小值為$f(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

6.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(x)$在區間$[0,2]$上的最大值和最小值。

解答：函數$f(x)=x^2-2x+1$是一個二次函數，其圖像為一個開口向上的拋物線，頂點坐標為$(1,0)$。

由于拋物線開口向上，所以$f(x)$在區間$[0,2]$上的最小值為$f(1)=0$，最大值為$f(0)=1$。

五、證明題（每題12分，共24分）

1.證明：若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$ab\leq\frac{1}{4}$。

證明：由基本不等式有：

$$\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$$

$$\sqrt{ab}\leq\frac{1}{2}$$

$$ab\leq\frac{1}{4}$$

等號成立當且僅當$a=b=\frac{1}{2}$。

2.證明：若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$S_5=35$，$S_9=63$，則公差$d=3$。

證明：設該等差數列的公差為$d$，則有：

$$S_5=5a_1+10d=35$$

$$S_9=9a_1+36d=63$$

解得：$a_1=2$，$d=3$。

六、綜合題（每題14分，共28分）

1.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值、最小值和零點。

解答：求導得$f'(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2+2x+1}$。

由于$f'(x)$在區間$[-1,1]$上恒大于$0$，所以$f(x)$在區間$[-1,1]$上單調遞增。

所以$f(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值為$f(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，最小值為$f(-1)=-\frac{1}{2}$。

令$f(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$。

2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$S_5=35$，$S_9=63$，求該數列的前$10$項和$S_{10}$，并求出該數列的通項公式。

解答：設該等差數列的公差為$d$，則有：

$$S_5=5a_1+10d=35$$

$$S_9=9a_1+36d=63$$

解得：$a_1=2$，$d=3$。

所以$S_{10}=10a_1+45d=10\times2+45\times3=135$。

該數列的通項公式為$a_n=2+3(n-1)=3n-1$。

本次試卷答案如下：

一、選擇題

1.D

解析：函數$f(x)=x^3-3x+1$的一階導數為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$。當$x<-1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x>1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，函數在區間$(-1,0)$上單調遞增，選項D正確。

2.D

解析：根據算術平均數與幾何平均數的關系，當$a>0$，$b>0$，$a+b=1$時，$ab$的最大值為$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$，選項D正確。

3.B

解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_5=35$和$S_9=63$，解得$a_1=2$，$d=3$，所以$a_7=a_1+6d=2+6\times3=20$，選項B正確。

4.C

解析：點到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入圓心坐標$(1,2)$和直線方程$2x-3y+5=0$，得$d=\frac{|2\times1-3\times2+5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$，選項C正確。

5.B

解析：矩陣乘法的結果為$\begin{bmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$，選項B正確。

6.A

解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的一階導數為$f'(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2+2x+1}$，令$f'(x)=0$得$x=-1$或$x=1$。當$x<-1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x>1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，函數的極大值為$f(-1)=3$，極小值為$f(1)=-1$，選項A正確。

二、填空題

1.5d

解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，所以第$5$項與第$10$項的差為$S_{10}-S_5=\frac{10}{2}(2a_1+9d)-\frac{5}{2}(2a_1+4d)=5d$。

2.$(1,2)$

解析：圓的標準方程為$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$為圓心坐標，$r$為半徑，所以圓心$C$的坐標為$(1,2)$。

3.$q^5$

解析：等比數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，所以第$5$項與第$10$項的比值為$\frac{a_5}{a_{10}}=\frac{a_1q^4}{a_1q^9}=q^5$。

4.1

解析：函數$f(x)=x^2-2x+1$代入$x=0$得$f(0)=0^2-2\times0+1=1$。

5.2

解析：行列式$A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times4-2\times3=2$。

6.$\frac{1}{x^2+2x+1}$

解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的導數為$f'(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2+2x+1}$。

三、解答題

1.解答：設該等差數列的公差為$d$，則有：

$$S_5=5a_1+10d=35$$

$$S_9=9a_1+36d=63$$

解得：$a_1=2$，$d=3$。

所以公差$d=3$，第$7$項$a_7=2+6\times3=20$。

2.解答：圓心$C$到直線$2x-3y+5=0$的距離$d$為：

$$d=\frac{|2\times1-3\times2+5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$$

3.解答：求導得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$。當$x<-1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增；當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調遞減；當$x>1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增。所以$f(x)$的極大值為$f(-1)=3$，極小值為$f(1)=-1$。

4.解答：設該等比數列的首項為$a_1$，公比為$q$，則有：

$$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=35$$

$$S_9=\frac{a_1(1-q^9)}{1-q}=63$$

解得：$a_1=1$，$q=2$。

所以公比$q=2$，第$7$項$a_7=2^6=64$。

5.解答：求導得$f'(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2+2x+1}$。

6.解答：函數$f(x)=x^2-2x+1$是一個二次函數，其圖像為一個開口向上的拋物線，頂點坐標為$(1,0)$。

四、應用題

1.解答：設該等差數列的公差為$d$，則有：

$$S_5=5a_1+10d=35$$

$$S_9=9a_1+36d=63$$

解得：$a_1=2$，$d=3$。

所以$S_{10}=10a_1+45d=10\times2+45\times3=135$。

2.解答：圓$C$與直線$2x-3y+5=0$的交點坐標可以通過解方程組得到：

$$\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=4\\2x-3y+5=0\end{cases}$$

解得：$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{3}{2}$。

3.解答：求導得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$。當$x<-1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增；當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調遞減；當$x>1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增。所以$f(x)$在區間$[-1,1]$上的最大值為$f(-1)=3$，最小值為$f(1)=-1$。

4.解答：設該等比數列的首項為$a_1$，公比為$q$，則有：

$$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=35$$

$$S_9=\frac{a_1(1-q^9)}{1-q}=63$$

解得：$a_1=1$，$q=2$。

所以公比$q=2$，第$7$項$a_7=2^6=64$。

5.解答：求導得$f'(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x^2+2x+1}$。由于$f'(x)$在區間$[1,2]$上恒大于$0$，所以$f(x)$在區間$[1,2]$上單調遞增。所以$f(x)