章末復習第八章

立體幾何初步NEIRONGSUOYIN內容索引知識網絡考點突破隨堂演練1知識網絡PARTONE2考點突破PARTTWO一、幾何體的表面積與體積1.空間幾何體的表面積求法(1)多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用.2.空間幾何體體積問題常見類型(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.(2)若所給的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解.例1

如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體的表面積和體積.解由題意知，所求幾何體的表面積由三部分組成：圓臺下底面、側面和一半球面，S半球＝8πcm2，S圓臺側＝35πcm2，S圓臺底＝25πcm2，故所求幾何體的表面積為68πcm2.反思感悟熟記各類空間幾何體的表面積公式和體積公式.跟蹤訓練1

如圖所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，則三棱錐B1－ABC1的體積為√二、空間中的平行關系1.判斷線面平行的兩種常用方法面面平行判定的落腳點是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法是必要的，判定線面平行的兩種方法：(1)利用線面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性質，即當兩平面平行時，其中一平面內的任一直線平行于另一平面.2.判斷面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理.例2

如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.解當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接BD與AC交于點O，連接FO，則PF＝

.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點，∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.∴PF∥MA且PF＝MA，∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.反思感悟跟蹤訓練2

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，N是EC的中點，求證：平面DMN∥平面ABC.證明∵M，N分別是EA與EC的中點，∴MN∥AC.又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC.∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC.∵N為EC的中點，EC＝2BD，∴NC∥BD，NC＝BD.∴四邊形BCND為矩形，∴DN∥BC.又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，MN?平面DMN，DN?平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.三、空間中的垂直關系1.判定線面垂直的方法(1)線面垂直定義.(2)線面垂直判定定理.(3)平行線垂直平面的傳遞性質(a∥b，b⊥α?a⊥α).(4)面面垂直性質(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α).2.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義.(2)面面垂直的判定定理.例3

如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥底面ABCD；證明因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；證明因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.證明因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.又因為AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因為CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.反思感悟跟蹤訓練3

如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求證：AC⊥平面BCE；證明在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)求證：AD⊥AE.證明因為AF⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF.又AE?平面ABEF，所以AD⊥AE.四、空間角的求法常見題型1.異面直線所成角.2.求直線與平面所成的角.3.二面角的平面角.例4

如圖，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的大??；解∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO?平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角為30°.(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；解如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE?平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角.(3)平面AOB與平面AOC所成角的大小.解由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.反思感悟(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角).(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(即作垂線、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②三垂線法；③垂面法.跟蹤訓練4

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.(1)若AB＝AD，直線PB與CD所成的角為45°，求二面角P－CD－B的大??；解∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.又直線PB與CD所成的角為45°，∴∠PBA＝45°，PA＝AB.∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小為45°.(2)若E為線段PC上一點，試確定點E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并說明理由.解當點E在線段PC上，且滿足PE∶EC＝1∶2時，平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：連接AC交BD于點O，連接EO.由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.又EO?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.3隨堂演練PARTTHREE1.過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為√12345解析設球的半徑為R，所得的截面為圓M，圓M的半徑為r.2.如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直線B1D1與BC所成的角為45°.其中正確結論的個數為12345A.4B.3C.2D.1√12345解析在①中，由正方體的性質得，BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，故①正確；在②中，由正方體的性質得AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，AC，CC1?平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，又AC1?平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正確；在③中，由正方體的性質得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，同理可證AC1⊥CB1，12345∵B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1?平面CB1D1，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正確；在④中，異面直線B1D1與BC所成的角就是直線BC與BD所成的角，故∠CBD為異面直線B1D1與BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直線B1D1與BC所成的角為45°，故④正確.故選A.3.如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分別為AB，AC，AA1的中點，設三棱錐A－FED的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2的值為_____.解析設三棱柱的高為h，∵D，E分別是AB，AC的中點，12345123454.如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于A，B兩點)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點，有以下四個結論：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的結論是________.(填序號)②④12345解析由題意可知PA在平面MOB內，所以①不正確；因為M為線段PB的中點，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM?平面PAC，PA?平面PAC，所以MO∥平面PAC，②正確；當OC與AB不垂直時，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正確