8.4.1平面第八章

8.4

空間點、直線、平面之間的位置關系學習目標XUEXIMUBIAO1.了解平面的表示方法，點、直線與平面的位置關系.2.掌握關于平面基本性質的三個基本事實.3.會用符號表示點、直線、平面之間的位置關系.NEIRONGSUOYIN內容索引知識梳理題型探究隨堂演練1知識梳理PARTONE知識點一平面1.平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周

的.2.平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即

表示平面，它的銳角通常畫成

，且橫邊長等于其鄰邊長的

倍，如圖①.如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用

畫出來，如圖②.無限延展平行四邊形45°2虛線3.平面的表示法圖①的平面可表示為

、平面ABCD、

或平面BD.思考

幾何中的“平面”有邊界嗎？用什么圖形表示平面？答案沒有平行四邊形平面α平面AC知識點二點、線、面之間的位置關系1.直線在平面內的概念如果直線l上的

都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者說平面α經過直線l.2.一些文字語言與符號語言的對應關系：文字語言表達符號語言表示文字語言表達符號語言表示點A在直線l上_____點A在直線l外____點A在平面α內_____點A在平面α外____直線l在平面α內_____直線l在平面α外____直線l，m相交于點Al∩m＝A平面α，β相交于直線lα∩β＝l所有點A∈lA∈αl?αA?lA?αl?α知識點三平面的基本性質及作用1.基本事實內容圖形符號作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，______

一個平面

A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是判斷兩個平面重合的依據基本事實2如果一條直線上的

在一個平面內，那么這條直線在___________

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?_______既可判定直線和點是否在平面內，又能說明平面是無限延展的有且只有兩個點這個平面內l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的__________

P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據②判定點在直線上公共直線2.利用基本事實1和基本事實2，再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：推論1

，有且只有一個平面.推論2

，有且只有一個平面.推論3

，有且只有一個平面.經過一條直線和這條直線外一點經過兩條相交直線經過兩條平行直線思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.(

)2.兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于A點，記作α∩β＝A.(

)3.空間不同三點確定一個平面.(

)4.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.(

)×√××2題型探究PARTTWO例1

(1)若點A在直線b上，b在平面β內，則點A，直線b，平面β之間的關系用符號可以記作___________________.一、圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉換A∈b，b?β，A∈β(2)用符號表示下列語句，并畫出圖形.①點A在平面α內但在平面β外；解A∈α，A?β.(如圖①)②直線a經過平面α內一點A，α外一點B；解A∈a，B∈a，A∈α，B?α，a?α.(如圖②)③直線a在平面α內，也在平面β內.解α∩β＝a.(如圖③)反思感悟三種語言轉換方法：用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面，幾條直線及相互之間的位置關系，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.跟蹤訓練1

用符號表示下列語句，并畫出圖形.(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B.解用符號表示α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖.(2)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上.解用符號表示A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖.例2

如圖，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.證明因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β，所以直線a?β，點P∈β.因為P∈b，b?α，所以P∈α.又因為a?α，P?a，所以α與β重合，所以PQ?α.二、點、線共面問題反思感悟證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”.(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”.跟蹤訓練2

如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內.證明方法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內.方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內，∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.核心素養之邏輯推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI證明點共線、線共點問題典例(1)如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點.證明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB與CD必交于一點，設AB交CD于M.則M∈AB，M∈CD，又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共點.(2)如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F.求證：E，F，G，H四點必定共線.證明∵AB∥CD，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α與β的交線l上.同理，F，G，H也在α與β的交線l上，∴E，F，G，H四點必定共線.∴AB，CD確定一個平面β，素養提升點共線與線共點的證明方法(1)點共線：證明多點共線通常用基本事實3，即兩相交平面交線的唯一性.通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上.(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點.3隨堂演練PARTTHREE1.有以下說法：①平面是處處平的面；②平面是無限延展的；③平面的形狀是平行四邊形；④一個平面的厚度可以是0.001cm.其中正確的個數為A.1B.2C.3D.412345√解析平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，①②兩種說法是正確的；③④兩種說法是錯誤的.2.如果點A在直線a上，而直線a在平面α內，點B在平面α內，則可以表示為A.A?a，a?α，B∈αB.A∈a，a?α，B∈αC.A?a，a∈α，B?αD.A∈a，a∈α，B∈α√12345解析點A在直線a上，而直線a在平面α內，點B在平面α內，表示為A∈a，a?α，B∈α.123453.下圖中圖形的畫法正確的個數是A.1 B.2C.3 D.4√4.能確定一個平面的條件是A.空間三個點B.一個點和一條直線C.無數個點D.兩條相交直線12345√解析A項，三個點可能共線，B項，點可能在直線上，C項，無數個點也可能在同一條直線上.123455.如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點，若直線A