第1課時余弦定理余弦定理?一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做____________．文字表述三角形中任何一邊的平方，等于__________________減去這兩邊與它們的__________________的兩倍公式表達a2＝________________，b2＝_______________，c2＝__________________推論cosA＝__________，cosB＝________，cosC＝__________其他兩邊平方的和夾角的余弦的積b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC

解三角形練習

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．(

)(2)余弦定理只適用于銳角三角形．(

)(3)已知三角形的三邊求三個內角時，解是唯一的．(

)(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．(

)√×√√

答案：D

微點撥?(1)余弦定理對任意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量．(3)余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．共學案【學習目標】

(1)了解向量法證明余弦定理的推導過程．(2)掌握余弦定理及其推論，并能用其解決一些簡單的三角形度量問題．(3)能應用余弦定理判斷三角形的形狀．【問題探究】

(1)在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c?(2)在(1)的探究成果中，若A＝90°，公式會變成什么？你認為勾股定理和余弦定理有什么關系？

筆記：已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊，此時需根據題意進行檢驗，需滿足大角對大邊，兩邊之和大于第三邊．

答案：D

一題多變1

本例條件不變，求△ABC最大角的余弦值．

筆記：已知三邊求解三角形的方法(1)利用余弦定理的推論求出相應角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角．其思路清晰，結果唯一．(2)若已知三角形的三邊的關系或比例關系，常根據邊的關系直接代入化簡或利用比例性質，轉化為已知三邊求解．訓練2

若△ABC三邊長a，b，c滿足等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，則cosC＝________．

題型

3利用余弦定理判斷三角形的形狀例3

在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試判斷該三角形的形狀．

(1)利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統一”入手，即使用轉化思想解決問題，一般有兩條思路：(2)判斷三角形的形狀時，常用到以下結論：①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC為銳角三角形?a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.訓練3

若在△ABC中，2a·cosB＝c，則三角形的形狀一定是(

)A．直角三角形

B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形答案：B

答案：A

答案：D

3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若acosB＝bcosA，則△ABC為(

)A．等腰且直角三角形B．等腰或直角三角形C．等邊三角形

D．等腰三角形答案：D

4．在△ABC中，角A、B、C所對邊分別是a、