2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（1）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．已知集合，，，若，，或，則稱集合A具有“包容”性.（Ⅰ）判斷集合和集合是否具有“包容”性；（Ⅱ）若集合具有“包容”性，求的值；（Ⅲ）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64個(gè)，，試確定集合C.2．對(duì)于給定的兩個(gè)向量a和b，定義運(yùn)算，.（1）已知，，，求，并說(shuō)明其幾何意義.（2）設(shè)，，求.（3）在平行六面體中，側(cè)棱與底面所成的角為，底面四邊形中較小的內(nèi)角為，，且該六面體所有棱長(zhǎng)之和為，求該六面體體積的最大值.3．[2024屆·山東濱州·二模]定義：函數(shù)滿足對(duì)于任意不同的，，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“2類函數(shù)”；（2）若為上的“3類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.4．[2024屆·吉林通化·模擬考試校考]已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).若斜率為的直線與橢圓E相切于點(diǎn)T，過(guò)直線上異于點(diǎn)T的一點(diǎn)P，作斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，定義為點(diǎn)P處的切割比，記為.（1）求E的方程；（2）證明：與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān)；（3）若，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則當(dāng)時(shí)，求直線的方程.5．設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列，，…，為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.（1）若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用k，n表示）.（2）若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用k，n表示）.（3）記n階“曼德拉數(shù)列”的前k項(xiàng)和為，若存在，使，試問(wèn)：數(shù)列能否為n階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.6．信息在傳送中都是以字節(jié)形式發(fā)送，每個(gè)字節(jié)只有0或1兩種狀態(tài)，為保證信息在傳送中不至于泄露，往往需要經(jīng)過(guò)多重加密，若A，B是含有一個(gè)字節(jié)的信息，在加密過(guò)程中，會(huì)經(jīng)過(guò)兩次加密，第一次加密時(shí)信息中字節(jié)會(huì)等可能的變?yōu)?或1，且0，1之間轉(zhuǎn)換是相互獨(dú)立的，第二次加密時(shí)，字節(jié)中0或1發(fā)生變化的概率為p，若A，B的初始狀態(tài)為0，1或1，0，記通過(guò)兩次加密后A，B中含有字節(jié)1的個(gè)數(shù)為X.（Ⅰ）若兩次加密后的A，B中字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2，且，求A，B通過(guò)第一次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2的概率；（Ⅱ）若一條信息有n（，）種等可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵，試求A，B通過(guò)兩次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為X的信息熵H；（Ⅲ）將一個(gè)字節(jié)為0的信息通過(guò)第二次加密，當(dāng)字節(jié)變?yōu)?時(shí)停止，否則重復(fù)通過(guò)第二次加密直至字節(jié)變?yōu)?，設(shè)停止加密時(shí)該字節(jié)通過(guò)第二次加密的次數(shù)為.證明：.參考答案

一、解答題1．答案：（Ⅰ）集合不具有“包容”性；集合具有“包容”性（Ⅱ）（Ⅲ），，，或解析：（Ⅰ）集合中的，，所以集合不具有“包容”性.集合中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，得到的兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，所以集合具有“包容”性.（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，記，則，易得，從而必有，不妨令，則，且，則，且，①當(dāng)時(shí)，若，得，此時(shí)具有包容性；若，得，舍去；若，無(wú)解②當(dāng)時(shí)，則，由且，可知b無(wú)解，故.綜上，.（Ⅲ）因?yàn)榧螩的子集有64個(gè)，所以集合C中共有6個(gè)元素，且，又，且C中既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，其中，，，根據(jù)題意，且，從而或.①當(dāng)時(shí)，，并且由，得，由，得，由上可得，并且，綜上可知；②當(dāng)時(shí)，同理可得.綜上，C中有6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合C有5個(gè)，分別是，，，或.2．答案：（1），其幾何意義為的面積（2）（3）解析：（1）由題意，得，，，且，，，.，其幾何意義為的面積.（2），，，，.（3）設(shè)平行六面體一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，不妨設(shè)棱a，b的夾角為，側(cè)棱長(zhǎng)為c，則，即.由（1）知底面面積，高，.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，且當(dāng)時(shí)，，.故該六面體體積的最大值為.3．答案：（1）為上的“2類函數(shù)”（2）（3）證明見(jiàn)詳解解析：（1）對(duì)于任意不同的，，不妨設(shè)，即，則，所以為上的“2類函數(shù)”.（2）因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，對(duì)于任意不同的，，不妨設(shè)，則恒成立，可得，即，均恒成立，構(gòu)建，，則，由可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立；同理可得：內(nèi)恒成立；即在內(nèi)恒成立，又因?yàn)椋矗淼茫傻茫丛趦?nèi)恒成立，令，因?yàn)椋趦?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)，；當(dāng)，；可知，可得在內(nèi)恒成立，構(gòu)建，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則；可得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）（i）當(dāng)，可得，符合題意；（ⅱ）當(dāng)，因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，不妨設(shè)，①若，則；②若，則；綜上所述：，，.4．答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）或解析：（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意知，，所以，解得.又橢圓E過(guò)點(diǎn)，所以，結(jié)合，解得，，所以E的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，由消去y，得（*），，由直線與橢圓E相切，得.設(shè)切點(diǎn)，則，，所以.設(shè)，，由（*）式同理可得，，所以，易知，點(diǎn)在橢圓E外，所以，所以，.結(jié)合與的表達(dá)式知，要想與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān)，需要從的表達(dá)式中分離出，由，得，即.因?yàn)?所以，所以.所以，與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān).（3）由（2）得，，所以，因?yàn)椋寓?又，所以②，由①②解得或（舍去）.所以直線OT的方程為，由解得或故切點(diǎn)T的坐標(biāo)為或.所以直線的方程為或.5．答案：（1）或（2）（3）數(shù)列不為n階“曼德拉數(shù)列”解析：（1）設(shè)等比數(shù)列，，，…，的公比為q.若，則由①得，得，由②得或.若，由①得，，得，不可能.綜上所述，.或.（2）設(shè)等差數(shù)列，，，…，的公差為d，，，，即，，當(dāng)時(shí)，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾，當(dāng)時(shí)，據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得，，，即，由得，即，.當(dāng)時(shí)，同理可得，即.由得，即，.（3）記，，…，中非負(fù)項(xiàng)和為A，負(fù)項(xiàng)和為B，則，，得，，，即.若存在，使，由前面的證明過(guò)程知：，，…，，，，…，，且.若數(shù)列為n階“曼德拉數(shù)列”，記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，則.，又，，，.又，，，…，，，又與不能同時(shí)成立，數(shù)列不為n階“曼德拉數(shù)列”.6．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）證明見(jiàn)解析解析：（