專題復習：圓錐曲線中的定點、定值問題一、方法指導圓錐曲線是高考數學中的重點和難點，其中定點問題更是難點中的難點。通過對近幾年高考數學試卷的分析，可以發現圓錐曲線定點問題一直是高頻考點，且題目難度較大，對學生的數學思維和解題能力要求較高。因此，在高三二輪復習中，學生需要加強對圓錐曲線定點問題的復習，掌握其解題方法和技巧。

二、知識梳理

圓錐曲線的定義和性質

直線與圓錐曲線的位置關系

圓錐曲線的定點問題及其解法

三、方法總結

直接法：通過聯立直線和圓錐曲線的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根與系數的關系進行求解。這種方法適用于直線過定點但不與x軸平行的情況。

參數法：引入參數來表示直線的斜率或截距，再通過參數的取值范圍來確定定點。這種方法適用于直線過定點且與x軸平行或重合的情況。

反證法：假設定點不是坐標原點，則過該定點的直線與圓錐曲線有兩個交點。根據韋達定理，這兩個交點的橫坐標之和等于兩倍的定點橫坐標，這與題意矛盾。因此，定點必須是坐標原點。這種方法適用于直線過定點且與x軸垂直的情況。由特殊到一般法如果要解決的問題是一個定值（定點）問題，而題設條件又沒有給出這個定值（定點），那么我們可以這樣思考：由于這個定值（定點）對符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我們根據特殊情況先找到這個定值（定點），明確了解決問題的目標，然后進行一般情況下的推理證明.3.利用推論解題推論1過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點A，B，則直線AB必過一定點（等軸雙曲線除外）.推論2過圓錐曲線的準線上任意一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB必過焦點.推論3

過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB已知且必過定點.推論4過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點，則kAB為定值.推論5

設點A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別是k1推論6

過圓錐曲線的焦點F的直線（斜率存在）交圓錐曲線于P，Q兩點，PQ的中垂線交x軸于點M，則MFPQ=e2，e為圓錐曲線的離心率.推論7

過圓錐曲線的焦點F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，過點A，B分別作較近準線l的垂線AA1，BB1，垂足分別為點A1，B1，設準線l與焦點所在軸交于點P，M為PF中點，則（1）AA1與BB1過點M;（2）A1F+B1F為定值.動直線過定點齊次式：例1、橢圓C:x24+y2=1，C(0，1)，設直線l不過點P，且與C交于A、B兩點，若kPA+kPB=?參數法：例2、（2021·湖北襄陽市高三期末）已知，分別為橢圓的左?右頂點，為的上頂點，.（1）求橢圓的方程；（2）過點作關于軸對稱的兩條不同直線，分別交橢圓于與，且，證明：直線過定點，并求出該定點坐標.特殊到一般例2、（2022·全國·統考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．待定系數法例3、橢圓C：左右頂點分別為A、B，k≠0的直線與C交于M、N兩點，KBM=2KAN解：A(?2，0)B(2，0)設直線：y=kx+b(k≠0)M(x1，y1)N(x2直線與曲線聯立得：(3+4k2)x2+8kbx+4則x1xKBM=2KAN所以yx2y1+2即kx1x2?(4k+b)x2+2(b?代入得：?12b2k?8k2b?12k?18b?(6k+8k3+9b+12k2待定系數有：?12得(2k?b)(2k+3b)=0若b=2k,則過定點(?2，0)，不成立；若?3b=2k,則過定點(23y1?y例4、已知雙曲線C：x23?y2=1,過(3，0)的直線l交C于P、Q兩點，過P作直線x解：當l斜率不存在時P(3，2)Q(3，?2)或P(3，?2)Q(3，過P作x=1垂線：A(1，2)或A(1，?2此時AQ：y=2x?22或y=?2x+22當l斜率存在時l：y=k(x?3)P(x1，y1)Q(x2，y2)與雙曲線聯立得：(1?3k2)x2+18k2x?27k2?3=0有x1x2=?27k2?31?3k2AQ:y=y1令y=0x=y2?x2y1y=27k2=31?3k過定點（2，0）二、動點在定直線上的問題例3、（2021·山東威海市高三期末）已知橢圓的離心率為分別是它的左、右頂點，是它的右焦點，過點作直線與交于(異于)兩點，當軸時，的面積為.（1）求的標準方程;（2）設直線與直線交于點，求證:點在定直線上.解:（1）由題意知，所以，又，所以當軸時，的面積為，所以解得所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，設直線的方程為，與橢圓聯立，得.顯然恒成立.設，所以有直線的方程為，直線的方程為，聯立兩方程可得，所以由式可得，代入上式可得，解得故點在定直線上.三、其他曲線過定點例4、（2021·湖北武漢市高三月考）設P是橢圓C：上異于長軸頂點A1，A2的任意一點，過P作C的切線與分別過A1，A2的切線交于B1，B2兩點，已知|A1A2|=4，橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）以B1B2為直徑的圓是否過x軸上的定點？如果過定點，請予以證明，并求出定點；如果不過定點，說明理由.解：（1）由題可知，解得，由得，橢圓的方程為.（2）設，由于是異于長軸頂點的任意一點，故切線斜率存在.設過的橢圓的切線為，聯立方程，得，，得，由所以，則，即所以，則解得過點的切線方程為，即由于分別過的切線分別為，解得的坐標為.在軸上取點，則，，所以.當時，.所以，以為直徑的圓過軸上的定點為.二、例題講解eq\a\vs4\al(例1)A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB(O為坐標原點)，求證：(1)A，B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積分別都是定值；(2)直線AB經過一定點．eq\a\vs4\al(例2)如圖，直線y＝eq\f(1,2)x與拋物線y＝eq\f(1,8)x2－4交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y＝－5交于Q點．(1)求點Q的坐標；(2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含A，B)的動點時，求△OPQ面積的最大值．eq\a\vs4\al(例3)如圖，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的相異兩點，Q，P到y軸的距離的積為4，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0.(1)求該拋物線的標準方程；(2)過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸的交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．三、課時練習1．已知λ∈R，則不論λ取何值，曲線C：λx2－x－λy＋1＝0恒過定點()A．(0，1)B．(－1，1)C．(1，0)D．(1，1)2．若AB是過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM、BM與兩坐標軸均不平行，kAM、kBM分別表示直線AM、BM的斜率，則kAM·kBM＝()A．－eq\f(c2,a2)B．－eq\f(b2,a2)C．－eq\f(c2,b2)D．－eq\f(a2,b2)3．直線y＝kx－1與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a)＝1相切，則k，a的取值范圍分別是()A．a∈(0，1)，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．a∈(0，1]，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))C．a∈(0，1)，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．a∈(0，1]，k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))4．已知點P是拋物線y2＝4x上的點，設點P到拋物線的準線的距離為d1，到圓(x＋3)2＋(y－3)2＝1上一動點Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A．3B．4C．5D．3eq\r(2)＋15．拋物線y2＝12x與直線3x－y＋5＝0的最近距離為______．6．已知動點P(x，y)在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，若A點坐標為(3，0)，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(PM,\s\up6(→))|的最小值是____．7．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，左頂點為A，若|F1F2|＝2，橢圓的離心率為e＝eq\