第1頁/共1頁2021-2025北京高考真題數學匯編第三道解答題（第18題）一、解答題1．（2025北京高考真題）某次考試中，只有一道單項選擇題考查了某個知識點，甲、乙兩校的高一年級學生都參加了這次考試.為了解學生對該知識點的掌握情況，隨機抽查了甲、乙兩校高一年級各100名學生該題的答題數據，其中甲校學生選擇正確的人數為80，乙校學生選擇正確的人數為75.假設學生之間答題相互獨立，用頻率估計概率.(1)估計甲校高一年級學生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級學生中各隨機抽取1名，設X為這2名學生中該題選擇正確的人數，估計的概率及X的數學期望；(3)假設：如果沒有掌握該知識點，學生就從題目給出的四個選項中隨機選擇一個作為答案；如果掌握該知識點，甲校學生選擇正確的概率為，乙校學生選擇正確的概率為.設甲、乙兩校高一年級學生掌握該知識點的概率估計值分別為，，判斷與的大小（結論不要求證明）.2．（2024北京高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：賠償次數01234單數假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）3．（2023北京高考真題）為研究某種農產品價格變化的規律，收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）4．（2022北京高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）5．（2021北京高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)

參考答案1．(1)(2)，(3)【分析】（1）用頻率估計概率即可求解；（2）利用獨立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據題設可得關于的方程，求出其解后可得它們的大小關系.【詳解】（1）估計甲校高一年級學生該題選擇正確的概率.（2）設為“從甲校抽取1人做對”，則，，設為“從乙校抽取1人做對”，則，，設為“恰有1人做對”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故.（3）設為“甲校掌握這個知識點的學生做該題”，因為甲校掌握這個知識點則有的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，故，即，故，同理有，，故，故.2．(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值大于（i）中估計值【分析】（1）根據題設中的數據可求賠償次數不少2的概率;（2）（ⅰ）設為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數學期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求，從而即可比較大小得解.【詳解】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設中的統計數據可得.（2）（ⅰ）設為賠付金額，則可取，由題設中的統計數據可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設保費的變化為，故（萬元），從而.3．(1)(2)(3)不變【分析】（1）計算表格中的的次數，然后根據古典概型進行計算；（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進行計算；（3）通過統計表格中前一次上漲，后一次發生的各種情況進行推斷第天的情況.【詳解】（1）根據表格數據可以看出，天里，有個，也就是有天是上漲的，根據古典概型的計算公式，農產品價格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態，從前次的次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計第次不變的概率最大.4．(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【詳解】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優秀的概率為0.4，乙獲得優秀的概率為0.5，丙獲得優秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優秀為事件A1,乙獲得優秀為事件A2，丙獲得優秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數越多，對丙越有利.5．（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，