第4講洛倫茲力的應用[目標定位]1.知道洛倫茲力做功的特點.2.掌握帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的規律和分析方法.3.知道回旋加速器、質譜儀的原理以及基本用途．一、帶電粒子在磁場中的運動1．垂直射入勻強磁場中的運動電荷受到的洛倫茲力不僅與磁感應強度方向垂直，而且與速度方向垂直，這表明，洛倫茲力對粒子不做功，它不改變粒子的速率，只改變粒子的運動方向．2．當運動電荷垂直射入勻強磁場中．(1)洛倫茲力提供向心力．即qvB＝eq\f(mv2,r).(2)軌道半徑r＝eq\f(mv,qB).(3)運動周期T＝eq\f(2πm,qB).二、回旋加速器和質譜儀1．回旋加速器回旋加速器的工作原理如圖1所示，D1和D2是兩個中空的半圓金屬盒，它們之間有一定的電勢差U.A處粒子源產生的帶電粒子，在兩盒間被電場加速．勻強磁場B與兩個D形盒面垂直，所以粒子在磁場中做勻速圓周運動．經過半個圓周后再次到達兩盒間的縫隙處，控制兩盒間的電勢差，使其恰好改變正負，于是粒子經過盒縫時再次被加速．如此反復，粒子的速度就能增加到很大．圖1想一想隨著粒子速度的增加，縫隙處電勢差的正負改變是否越來越快，以便能使粒子在縫隙處剛好被加速？答案雖然粒子每經過一次加速，其速度和軌道半徑就增大，但是粒子做圓周運動的周期不變，所以電勢差的改變頻率保持不變就行．2．質譜儀(1)原理如圖2所示圖2(2)加速：帶電粒子進入質譜儀的加速電場，由動能定理：qU＝eq\f(1,2)mv2①(3)偏轉：帶電粒子進入質譜儀的偏轉磁場，洛倫茲力提供向心力：qvB＝eq\f(mv2,r)②(4)由①②兩式可以求出粒子的比荷、質量、磁感應強度等．(5)應用：可以測定帶電粒子的質量和分析同位素．想一想質譜儀是如何區分同位素的呢？答案由上述①②兩式可求得r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，同種同位素電荷量相同，質量不同，在質譜儀熒光屏上顯示的半徑就不同，故能通過半徑大小區分同位素.一、帶電粒子在勻強磁場中的運動1．勻速直線運動：若帶電粒子(不計重力)的速度方向與磁場方向平行(相同或相反)，此時帶電粒子所受洛倫茲力為零，帶電粒子將以入射速度v做勻速直線運動2．勻速圓周運動：若帶電粒子垂直磁場方向進入勻強磁場，洛倫茲力提供了勻速圓周運動的向心力．設粒子的速度為v，質量為m，電量為q，由于洛倫茲力提供向心力，則有qvB＝meq\f(v2,r)，得到軌道半徑r＝eq\f(mv,qB).由軌道半徑與周期的關系得周期T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2π×\f(mv,qB),v)＝eq\f(2πm,qB).溫馨提示①由公式r＝eq\f(mv,qB)知，軌道半徑跟運動速率成正比；②由公式T＝eq\f(2πm,qB)知，周期跟軌道半徑和運動速率均無關，而與比荷eq\f(q,m)成反比．例1質子和α粒子由靜止出發經過同一加速電場加速后，沿垂直磁感線方向進入同一勻強磁場，則它們在磁場中的各運動量間的關系正確的是()A．速度之比為2∶1 B．周期之比為1∶2C．半徑之比為1∶2 D．角速度之比為1∶1答案B解析由qU＝eq\f(1,2)mv2①qvB＝eq\f(mv2,r)②，得r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，而mα＝4mH，qα＝2qH，故rH∶rα＝1∶eq\r(2)，又T＝eq\f(2πm,qB)，故TH∶Tα＝1∶2.同理可求其他物理量之比．二、帶電粒子在有界磁場中的運動1．著重把握“一找圓心，二求半徑，三定時間”的方法．(1)圓心的確定方法：兩線定一“心”①圓心一定在垂直于速度的直線上．如圖3甲所示已知入射點P(或出射點M)的速度方向，可通過入射點和出射點作速度的垂線，兩條直線的交點就是圓心.圖3②圓心一定在弦的中垂線上．如圖3乙所示，作P、M連線的中垂線，與其一速度的垂線的交點為圓心．(2)“求半徑”方法①由公式qvB＝meq\f(v2,r)，得半徑r＝eq\f(mv,qB)方法②由軌跡和約束邊界間的幾何關系求解半徑r(3)“定時間”方法①粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α時，其運動時間可由下式表示：t＝eq\f(α,360°)T(或t＝eq\f(α,2π)T)．方法②t＝eq\f(s,v)(其中s為粒子軌跡的長度，即弧長)，在周期T不可知時可考慮上式．2．圓心角與偏向角、圓周角的關系兩個重要結論：①帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向之間的夾角φ叫做偏向角，偏向角等于圓弧軌道eq\x\to(PM)對應的圓心角α，即α＝φ，如圖4所示．圖4②圓弧軌道eq\x\to(PM)所對圓心角α等于PM弦與切線的夾角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如圖4所示．例2如圖5所示，一束電荷量為e的電子以垂直于磁場方向(磁感應強度為B)并垂直于磁場邊界的速度v射入寬度為d的磁場中，穿出磁場時速度方向和原來射入方向的夾角為θ＝60°.求電子的質量和穿越磁場的時間．圖5答案eq\f(2\r(3)dBe,3v)eq\f(2\r(3)πd,9v)解析過M、N作入射方向和出射方向的垂線，兩垂線交于O點，O點即電子在磁場中做勻速圓周運動的圓心，連接ON，過N作OM的垂線，垂足為P，如圖所示．由直角三角形OPN知，電子的軌跡半徑r＝eq\f(d,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)d①由圓周運動知evB＝meq\f(v2,r)②解①②得m＝eq\f(2\r(3)dBe,3v).電子在無界磁場中運動周期為T＝eq\f(2π,eB)·eq\f(2\r(3)dBe,3v)＝eq\f(4\r(3)πd,3v).電子在磁場中的軌跡對應的圓心角為θ＝60°，故電子在磁場中的運動時間為t＝eq\f(1,6)T＝eq\f(1,6)×eq\f(4\r(3)πd,3v)＝eq\f(2\r(3)πd,9v).三、回旋加速器問題1．周期：周期T＝eq\f(2πm,qB)，由此看出：帶電粒子的周期與速率、半徑均無關，運動相等的時間(半個周期)后進入電場．2．帶電粒子的最大能量：由r＝eq\f(mv,qB)得，當帶電粒子的速度最大時，其運動半徑也最大，若D形盒半徑為R，則帶電粒子的最終動能Em＝eq\f(q2B2R2,2m).可見，要提高加速粒子的最終能量，應盡可能增大磁感應強度B和D形盒的半徑R.例3回旋加速器是用來加速一群帶電粒子使它們獲得很大動能的儀器，其核心部分是兩個D形金屬盒，兩盒分別和一高頻交流電源兩極相接，以便在盒內的窄縫中形成勻強電場，使粒子每次穿過狹縫時都得到加速，兩盒放在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圓心附近，若粒子源射出的粒子電荷量為q，質量為m，粒子最大回旋半徑為Rmax.求：(1)粒子在盒內做何種運動；(2)所加交變電流頻率及粒子角速度；(3)粒子離開加速器時的最大速度及最大動能．答案(1)勻速圓周運動(2)eq\f(qB,2πm)eq\f(qB,m)(3)eq\f(qBRmax,m)eq\f(q2B2R\o\al(2,max),2m)解析(1)帶電粒子在盒內做勻速圓周運動，每次加速之后半徑變大．(2)粒子在電場中運動時間極短，因此高頻交變電流頻率要符合粒子回旋頻率，因為T＝eq\f(2πm,qB)，回旋頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(qB,2πm)，角速度ω＝2πf＝eq\f(qB,m).(3)由牛頓第二定律知eq\f(mv\o\al(2,max),Rmax)＝qBvmax則Rmax＝eq\f(mvmax,qB)，vmax＝eq\f(qBRmax,m)最大動能Ekmax＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,max)＝eq\f(q2B2R\o\al(2,max),2m)借題發揮(1)洛倫茲力永遠不做功，磁場的作用是讓帶電粒子“轉圈圈”，電場的作用是加速帶電粒子．(2)兩D形盒窄縫所加的是與帶電粒子做勻速圓周運動周期相同的交流電，且粒子每次過窄縫時均為加速電壓，每旋轉一周被加速兩次．(3)粒子射出時的最大速度(動能)由磁感應強度和D形盒的半徑決定，與加速電壓無關．四、質譜儀原理：利用磁場對帶電粒子的偏轉，由帶電粒子的電荷量、軌道半徑確定其質量，粒子由加速電場加速后進入速度選擇器，勻速運動，電場力和洛倫茲力平衡qE＝qvB1，v＝eq\f(E,B1)粒子勻速直線通過進入偏轉磁場B2，偏轉半徑r＝eq\f(mv,qB2)，可得比荷eq\f(q,m)＝eq\f(E,B1B2r).溫馨提示①速度選擇器兩極板間距離極小，粒子稍有偏轉，即打到極板上．②速度選擇器對正負電荷均適用．③速度選擇器中的E、B1的方向具有確定的關系，僅改變其中一個方向，就不能對速度做出選擇．例4質譜儀的構造如圖6所示，離子從離子源出來經過板間電壓為U的加速電場后進入磁感應強度為B的勻強磁場中，沿著半圓周運動到達記錄它的照相底片上，測得圖中PQ的距離為L，則該粒子的比荷eq\f(q,m)為多大？圖6答案eq\f(8U,B2L2)解析粒子在電壓為U的電場中加速時，根據動能定理得：qU＝eq\f(1,2)mv2①粒子進入磁場后做圓周運動，根據牛頓第二定律有：qvB＝meq\f(v2,r)②r＝eq\f(L,2)③解①②③得eq\f(q,m)＝eq\f(8U,B2L2).帶電粒子在磁場中的圓周運動1．兩相鄰勻強磁場區域的磁感應強度大小不同、方向平行．一速度方向與磁感應強度方向垂直的帶電粒子(不計重力)，從較強磁場區域進入到較弱磁場區域后，粒子的()A．軌道半徑減小，角速度增大B．軌道半徑減小，角速度減小C．軌道半徑增大，角速度增大D．軌道半徑增大，角速度減小答案D解析由于速度方向與磁場方向垂直，粒子受洛倫茲力作用做勻速圓周運動，即qvB＝eq\f(mv2,r)，軌道半徑r＝eq\f(mv,qB)，從較強磁場進入較弱磁場后，速度大小不變，軌道半徑r變大，根據角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(qB,m)可知角速度變小，選項D正確．帶電粒子在有界磁場中的運動2．如圖7所示，在第Ⅰ象限內有垂直紙面向里的勻強磁場，一對正、負電子分別以相同速率沿與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，則正、負電子在磁場中運動的時間之比為()圖7A．1∶2 B．2∶1C．1∶eq\r(3) D．1∶1答案B解析正、負電子在磁場中運動軌跡如圖所示，正電子做勻速圓周運動在磁場中的部分對應圓心角為120°，負電子圓周部分所對應圓心角為60°，故時間之比為2∶1.回旋加速器問題3．回旋加速器是加速帶電粒子的裝置，其核心部分是分別與高頻交流電源相連接的兩個D形金屬盒，兩盒間的狹縫中形成的周期性變化的電場，使粒子在通過狹縫時都能得到加速，兩D形金屬盒處于垂直于盒底面的勻強磁場中，如圖8所示，要增大帶電粒子射出時的動能，下列說法中正確的是()圖8A．增加交流電的電壓 B．增大磁感應強度C．改變磁場方向 D．增大加速器半徑答案BD解析當帶電粒子的速度最大時，其運動半徑也最大，由牛頓第二定律qvB＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\f(qBr,m).若D形盒的半徑為R，則R＝r時，帶電粒子的最終動能Ekm＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(q2B2R2,2m).所以要提高加速粒子射出的動能，應盡可能增大磁感應強度B和加速器的半徑R.質譜儀問題4．A、B是兩種同位素的原子核，它們具有相同的電荷量、不同的質量．為測定它們的質量比，使它們從質譜儀的同一加速電場由靜止開始加速，然后沿著與磁場垂直的方向進入同一勻強磁場，打到照相底片上．如果從底片