《任意角的三角函數——三角函數線》教學背景：

1．教材地位分析：三角函數是中學數學的重要內容之一，而三角函數線的概念及其應用不僅體現了數形結合的數學思想，又貫穿整個三角函數的教學.借助三角函數線可以推出三角函數誘導公式，求解三角函數不等式，探索三角函數的圖像和性質，可以說,三角函數線是研究三角函數的有利工具.2．學生現實分析：學習本節前,學生已經掌握任意角三角函數的定義,三角函數值在各象限的符號,以及誘導公式一,為三角函數線的尋找做好了知識準備.教學目標：1．知識目標:使學生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數值,并能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題.2．能力目標:通過尺規作圖讓學生經歷概念的形成過程，提高學生觀察、發現、類比、猜想和實驗探索的能力；充分發揮學生的自主探究性，讓學生借助所學知識自己去發現新問題，并加以解決，提高學生抽象概括、分析歸納、數學表述等基本數學思維能力.3．情感目標：激發學生對數學研究的熱情，培養學生勇于發現、勇于探索、勇于創新的精神；通過學生之間、師生之間的交流合作，實現共同探究、教學相長的教學情境.教學重點難點：1．重點：三角函數線的作法及其簡單應用.2．難點：利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用它們的幾何形式表示出來.教學方法與教學手段：1．教法選擇：“設置問題，探索辨析，歸納應用，延伸拓展”——科研式教學.2．學法指導：類比、聯想，產生知識遷移；觀察、實驗，體驗知識的形成過程；猜想、求證，達到知識的延展.教學過程：一、設置疑問,實驗探索（17分鐘）(一)設置疑問，點明主題前面我們學習了角的弧度制，角弧度數的絕對值，其中是以角作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑.特別地,當r=1時，，此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數值呢？這就是我們今天一起要研究的問題.設計意圖：既可以引出單位圓，又可以使學生通過類比聯想主動、快速的探索出三角函數值的幾何形式.（二）概念學習，分散難點有向線段：帶有方向的線段.（1）方向：按書寫順序，前者為起點，后者為終點，由起點指向終點.如：有向線段OM，O為起點，M為終點，由O點指向M點.（動態演示）(2)數值：（只考慮在坐標軸上或與坐標軸平行的有向線段）絕對值等于線段的長度，若方向與坐標軸同向，取正值;與坐標軸反向，取負值.如：OM=1，ON=-1，AP=設計意圖：相關概念的學習分散了教學難點,使學生能夠更多的圍繞重點展開探索和研究.（三）試驗探索角的終邊上任意一點P(除端點外)的坐標是（），它與原點的距離是r,比值叫做的正弦.思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢?學生聯想角的弧度數與弧長的轉化,類比猜測:若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點為P,過點P作軸的垂線，設垂足為M，則有向線段MP=.(學生分析的同時,教師用幾何畫板演示)請學生利用幾何畫板作出垂線段MP,并改變角的終邊位置,觀察終邊在各個位置的情形,注意有向線段的方向和正弦值正負的對應.特別地,當角的終邊在軸上時,有向線段MP變成一個點,記數值為0.這條與單位圓有關的有向線段MP叫做角的正弦線.2.思考:用哪條有向線段表示角的余弦比較合適?并說明理由.請學生推導說明,老師用圖形演示.有向線段OM叫做角的余弦線.3.如何用有向線段表示？討論焦點：若令=1,則=AT，但是第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標為1的點，若此時取=-1的點T‘，tan=-=T‘A‘,有向線段的表示方法又不能統一.引導觀察：當角的終邊互為反向延長線時，它們的正切值有什么關系？統一認識：方案1：在象限角的終邊或其反向延長線上取=1的點T，則=AT；方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三角形知識得到.動畫演示驗證:當角的終邊落在坐標軸上時，tan與有向線段AT的對應.這條與單位圓有關的有向線段AT叫做角的正切線.二、作法總結,變式演練（13分鐘）（一）作法總結正弦線、余弦線、正切線統稱為三角函數線.請大家總結這三種三角函數線的作法,并用幾何畫板演示(一學生描述,同時用電腦演示)：第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點P；第二步：過點P作軸的垂線，設垂足為M，得正弦線MP、余弦線OM；第三步：過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設為T，得角的正切線AT.特別注意：三角函數線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒.余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標軸的公共點為起點，其中點A為定點（1，0）.設計意圖：及時歸納總結，加深知識的理解和記憶.三、變式演練,提高能力：練習.利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：

（1）;

（2）.學生先做,然后投影展示一學生的作品,并強調三角函數線的位置和方向.設計意圖：鞏固練習,準確掌握三角函數線的作法.例1在單位圓中畫出滿足的角的終邊.共同分析：設角的終邊與單位圓交于P(),則,所以要作出滿足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標為的點P，則射線OP即為的終邊.（幻燈片動態演示）設計意圖：逆向思維,靈活運用三角函數線,并為利用三角函數線求解三角函數不等式(組)作鋪墊.例2在單位圓中畫出滿足的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：分析：先作出滿足的角的終邊(例1已做)，然后根據已知條件確定角終邊的范圍.（幻燈片演示）答案：（1）練習：1.在單位圓中畫出滿足的角的終邊.2.在單位圓中畫出滿足的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合.3.求函數的定義域.答案：.設計意圖：數形結合思想表現在由數到形和由形到數兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現了由數到形的轉化；借助三角函數線求解三角函數方程和不等式又發揮了由形到數的巨大作用.四、思維拓展，論壇交流觀察角的終邊在各位置的情形,結合三角函數線和已學知識，你能發現什么規律,得出哪些結論？引導學生進行發散式思維，自主探究三角函數線在數學中的應用學生得出的結論有以下幾種：(1)；(2)│sin│+│cos│≥1;(3)-1≤sin≤1,-1≤cos≤1,tan∈R;(4)若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數;(5)當角的終邊在第一象限逆時針旋轉時，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;(6)當角的終邊在直線的右下方時,sin＜cos;當角的終邊在直線的左上方時,sin＞cos;……設計意圖：給學生建設一個開放的、有活力、有個性的數學學習環境.論壇交流既能展示個人才華,又能照顧到各個層次的學生.來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識又被他人的視點喚起，產生新的思想.這樣的學習過程使學生在輕松達成一個個階段目標之后，順利到達數學學習的新境界.五、歸納小結,課堂延展（一）歸納小結1.回顧三角函數線作法.2.三角函數線是利用數形結合思想解決有關問題的重要工具，自從著名數學家歐拉提出三角函數與三角函數線的對應關系，使得對三角函數的研究大為簡化，現在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數圖像與性質的基礎.設計意圖：回顧三角函數線作法,再次加深理解和記憶.點明三角函數線在其他方面的應用,以及數形結合思想,便于學生在后續學習中更深入的思考,更廣泛的研究.（二）鞏固創新，課堂延展鞏固作業:習題4.3

1,2提升練習：1.已知：，那么下列命題成立的是（

）A．若、是第一象限的角，則cos>cos.B.若、是第二象限的角，則tan>tan.C.若、是第三象限的角，則cos>cos.D.若、是第四象限的角，則tan>tan.2．求下列函數的定義域：（1）y=;

(2)y=lg(3－4sin2x).設計意圖：既能保證全體學生的鞏固應用，又兼顧學有余力的學生，同時將探究的空間由課堂延伸到課外.六、板書設計和教學反思七、作業布置：教學設計說明：1.積極響應新課標教學理念，把課堂教給學生，提倡學生自主學習.在新課標教學理念指導下，充分發揮多媒體的優勢，既豐富三角函數線的概念，又培養了學生發現問題、解決問題的能力，提高學生的探索精神、創新意識.2.不僅要讓學生掌握數學的基礎知識,更要讓他們領悟科學的研究方法.課堂教學最終是為了讓學生擺脫課堂,獨立學習,所以不僅要讓學生掌握數學的基礎知識,更要讓他們領悟科學的研究方法.本節課所采用的科研式教學法體現了研究新問題的一般思路,讓學生逐步領